Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Показать, что матрицы Ю35 определяют преобрвзо. ванне поворота вокруг оси Ок на угол ф = жи/3. 3 и определяют преобразование поворота на угол ф = щи/3 вокруг оси Ь[111] с последующим зеркальным отражением относительно плоскости (111) (рис.3.13), а матрицы ВбМа имеют внд: Глава 3. Г ппы и аб рвений 170 х Х -х 3 Рис. 8.17. Преобразование повороте Рис. 8.18. Преобрвзоввние отрвжеВ~Тз ния ЯзЯз 'Упражнение 3.1.14. Показать, что матрицы Рз8п Рз83, Р353 и Р383 определяют преобразование поворота на угол ф = и/2 вокруг осей Ь: [1 /Зо], [1~/30], [~/310] ° [ /310], ° ответственно (рие.3.13).
Упражнение 3.1.15. Показать, что матрицы СЯт определяют преобразование поворота нв угол ф = ж2л/3 вокруг оси Ои е поеледующей инвер- 3 сией отнаеительно точки О. Рцб. 8. 18. Преобрвзоввние поворота Мз Упрджнение 3.1.10. Показать, что матрицы СЯ„опреяеляют также преобразование поворота нв угол ф = ч-и/3 вокруг оси Ое е поеледующим зер- 3 квльным отражением относительно плаекости поворота [001), 7 = 1, 2.
Упр 3.1.17. Показать, что матрице поворота Я (З.б) имеет еле- Ф дующие еабственные значения: Лд — е ~, л Упражнение 3.1.18. Показать, что матрицы 7~а имеют гледующие еобатвенные знвчендж: Ло,б щ 1~ Лт = -1, гг щ 1,2,3. Упражнение 3.1.19. Поквзать, что матрицы Мб имеют еледующие аобетвеиные знвчения: . /3 Лу а 2 2 Зд. Г ппы и еов езооеппй в еэпппяовом и осе апстве 171 2 3.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 3.2.1. Определение группы Рассмотрим теперь не одно, а множество преобразований координат (3.1). Оказывается, что зти множества могут обладать определенной симметрией, например, образовывать группу.
Опгвдндвнии 3.2. Множество М называют группой С, если в нем определена операция умножения а,ЬЕМ вЂ” » с=а ° ЬЕМ, (3.26) которая обладает следующими свойствами: 1' ассоциативносепь (а ° 6) ° с = а ° (6 ° с), 2е существуета леван единица, т.е. тпакой элемент е ч М, что е ° а=а, 3' для любого а существует левый обратный элемент а 1 й М такой, чтпо а ° а = е. Группу С называют ко.имуепативной (или Абелевой), если а ° Ь=Ь ° а. (3.27) Если группа имеет конечное число элементов, то ее называют точечной (или конечной); если бесконечное, то - непрерывной. 3.2.2. Сингонии, классы и группы симметрии Поскольку у нас определено произведение двух матриц А' и Вз» вЂ” это матрица С'» с компонентами С'» — — А' ВУ», определена единичная матрица б': А'Я = Аею н для всякой невырожденной матрицы существует обратнгл: А' (А 1)1» — — б», то множества матриц могут образовывать группы.
Оказывается, что из 64 преобразований, описываемых матрицами (3.13), (3.13а), (3.21) и (3.22), можно образовать 32 точечные группы преобразований, эти группы объединяют в 7 систем (сингоний), сннгонии состоят из одного или двух классов. Гиввв 3. Г ииы и еаб эаввиий 172 1. Тринлиннак сингония (триклинный класс Е): группы: 61 — — (Е), 62 = (Е, С). 11. Мононлиннаю сингония (моноклинный класс (М)): группы: Оз = (Е, Вз)~ 66 = (Е, Рз), 66 = (Е, С, Вз, Рз) 111. Ромбичеснал сингонил (класс ортотропии (0)): группы: 66 = (Е~ В1~ВЗ~Рз)~ 67 = (Е~ Ра)~ Ог = (Е,С,В,Р ).
1У. Тетрагональная сингонит тетрагональный класс (Т): гРУппы: 68 = (Е, Рз, Р»ТЗ), 61о = (Е, Рз, В,ТЗ), 'У = 1, 2; Оы = (Е,С,Вз,РЗ,В,ТЗ, Р Тз); класс квазитрансверсальной изотропии (Кз): группы. 612 = (Е, Р, Тз, РаТ3) 613 — (Е, В» РЗ, Тз, В Тз, 03Тз)~ 6ы = (Е~Ра~СТз~ВаТз)~ 016 = (Е,С~Ла~Ра~Тз~ СТз,ВаТзуРаТЗ) 12 = 1,2,3. 17. Ромбоэдричесная (тригональнал) сингониа А-ромбоэдрический класс (А): группы: 616 = (Е~ Яу)~ 617 = (Е~ 57~ С~ СЯ»)~ В-ромбоздрическнй класс (В): группы: ее18 = (Е~Я»~В1,В157)~ 619 = (Е~51,01~Р151)у 626 = (Е,Я»,С СЯ»,ВПВ15-„01 РЗЯ»).
171. Гексагональнал сингонию (гексагональный класс (Н)): 621 — (Е~ 5»~ ВЗ ВЗЯу)~ 622 — (Е~ 57~ Р~З~ РЗЯ»)у Озз =(Е,Я»,С,СЯ»уВз ВзЯ» Рз>РзБ») 626 — (Е~ 5 1~ В1! В157~ В2~ В257 ~ РЗ~ РЗ57 ) ! 627 = (Е~ 51~ С~ СЯ»~ Ва~ ВаЯ»у~ Ра~ РаЯу)~ 7=1,2; а=1,2,3. уу11. Кубическое сингоник (класс квазиизотропии (К)): 628 = (Е~ Ра~ М»~ РаМ»)~ В скобках указано обозначение класса Е, М, О, Т, Кз, К, Аз, Вз, Н. 3.2. Г впы и еов ееовеввй в евввввовон и оет енееве 173 Непрерывных групп, называемых также гпекстурани, существует 7 штук, объединенных в 2 класса. Класс пгрансвсрсальной иэогаропии (Тз): Сзз = Ядг 0 < ф < 2л); Сзе = Яд, 0 < ф < 2гг; ЮзВз)~ азв — Язф, О < Ф < 2л; ЛДФ); бзв=йз 0<ф<2л; РЯД; Сзг = Яз~ 0 < ф < 2я", Р.~(ь~зг зсоЮз) 7 = 1,2.
Класс иэотропии (1)г Сзв = (1дфхв, О < ф, Х < 2л, 0 < д < л); егзг — Яфхз~ 0 < ф~ Х < 2л, 0 < д < гг; гсогдфхз). Здесь обозначена матрица поворота Цфхв на углы ф, Х и д вокруг осей Ок;, ее компоненты имеют вид: сфсХ вЂ” зфзХсд -сфзХ вЂ” зфзХсд зфзд Йфхз)11 = зфсХ+ сфзХсд — зфзХ + сфзХсд -сфзд, (3.28) зХзд сХзд сд где с = соз, з = зш. Матрица гдзф поворота на угол ф вокруг оси Огз определяется по (3.6).
Опгндвдвнин 3.3. Подгруппой Я, группы С, называется подмножество элементов группы 6„которое само образует группу относительно той же операции умножения, которая определена в б,. Отношение групп 5, и С, в этом случае обозначают Я, С С,. Максимальной группой в классе называют такую гв„для которой выполняется соотношение с41 С С, для всех групп из данного класса. Максимальные группы в классах показаны в табл.3.1.
Таблица 3.1 Глава 3. Г ппм п об азоввний 174 Эти группы иногда называют соответственно названию класса: Св - моноклнннаЯ гРУппа, Св - гРУппа оРтотРопии, Сзе - гРУппа тРансверсальной изотропии и т.д. Группа изотропии Сзэ совпадает с полной группой оршогональныз преобразований 1, содержащей все ортогональные матрицы (3.5) (см. упр.3.2.8).
3.2.3. Оси аиизотропии Поскольку с каждым преобразованием координат (3.1) можно связать как матрицу преобразований Аз;, так и тензор ьв линейного преобразования, то введенным выше группам преобразований С, (в = 1,... 39) соответствуют не только группы матриц Аз<, но также группы, составленные из соответствующих тензоров преобразований.
Буквенные обозначения для элементов этих групп одинаковы и соответствуют обозначениям п.3.2.2. Так 'как тензоры линейных преобразований определены нами по формуле (3.24) в некотором фиксированном базисе, например е;, то и группы тензоров преобразований будут отнесены к тому же базису, который называют криспзаллоузизическим базисом, а линии действия векторов этого базиса называют осями анизотропии. Далее, если не оговорено специальным образом, подразумевается, что группы тензоров преобразований отнесены к декартову базису е;. 3.2.4. Симметрическая группа Множество всех подстановок (п11... гл„) длиной п также образует группу, поскольку в этом множестве имеется единичный элемент— тождественная подстановка (12...и), определены произведение подстановок (см.
п.1.8.2): (гл1... пз„)(11... 1„) = (пзв,... пн„) и обратная подстановка (улз...пз„)(зд1...зв„) = (12...п). Эту группу называют силмепзрической. упражнения к 2 3.2. ХцражИЕИИЕ 3.2.1. Показать, что множества преобразований, нредстввленнмк в п.2.2.2, действительно являются труппами, т.е. удовлетворяют определению 2.2. з пражнепие 3.2,2.
Показать, что внутри классов имеют место следуюшие отношения групп: 'б С1СС) 1=1,...32; С1ССз, 1=345; 61ССв 1=6,7,8; 6 СС11, 1=9,10,11; С' С Сзз, з = 9, .15; Сзе С С17, Сз С Сзо з = 18,... 20; С1 СС27, з'=21 ..27; С; ССзз 1=28 ..32' 3.3. Симмет ия конечных теп 173 б С бзт, з'= 33, 37; бзв С бзв. Упражнение 3.2.3. Показать, что бз С бзе, бв С бззс бт С бзв, бг С бзт. Упражнение 3.2.4. Показать, что группа 034 явпяется мвксимапьной по отнопсению ко всем группам точечных кдвссов, а бу; явдяется мвксимапьной ко всем группам бс, с = 1,...
37. Упражнение 3.2.5. Показатсч что все линейные невырожденные (бес Ас ф 0) преобразования, опредепяемые по (3.1) образуют группу линейных преобразо. ваний. Упражнение 3.2.0. Поквзатсч что все нелинейные невырожденные преобразования координат, определяемые формудами (1.4), образуют группу кривопинейных преобразований. Упр 3.2.7. Поквзвтсч что мноясество всех унимсдудярньпс преобразований (3.4) образуют группу, называемую собсспвгнной унимодулярной ((70). УПРажНЕНИЕ 3.2.8. Псесаэать, что все ортогонадьные преобразования (З.З) образуют группу, называемую полной группой ортогональных преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
