Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Показать, что эта группа совпадает с группой изотропии бзо = 1. Упражнение 3.2.0. Показать, что собственно-ортогонадьные преобразования образуют группу, которая называется группо6 собственно-ортогональныд преобразований (1о). показать, что эта группа совпадает с группой бзз — зо. Упражнение 3.2.10. Поквзвтсч что множество вессс преобразований (Зл), в которысс допускается квк +1, твк и -1, образуют группу, называемую полно6 унимодулдрной (11). Упражнение 3.2.11. Поквзатсч что из опредедения 3.2 следует, что левая единица явпяется также и правой единицей, а левый обратный элемент явпяется также и правым обратным.
3 З.З. Симметрия конечных тел 3.3.1. Симметричные тела Ло сих пор мы рассматривали свойства только самих преобразований координат (3.1). Пусть теперь в пространстве )й~ определена некоторая ограниченная замкнутая область У. Будем называть ее далее нонечным телом У. Тело У называют неоднородным (составным нли нусочно-однородны и), если для него введено разбиение на конечное число замкнутых областей Ус, общими точками которых могут быть только точки на нх границах.
Если же для области У такое разбиение не введено, то будем называть тело У геомеспричесни однородным или просто одно- род Гпеиег. Г ппып еоб езоиений Без ограничения общности будем рассматривать далее тела, образующие связные множества. Если введена некоторая система координат г', то каждой точке тела М й У можно взаимнооднозначно поставить в соответствие координаты в1 б У,т.е.
ввести биективное отображение Х вз: У вЂ” + У С ге~. 1з и Однако такое отображение не единственно возможное. ПерекоРис. Ю.вО. ПР еРезовение и пРи дя к новой системе координат Х', получим другое отображение ~рх. У вЂ” + Кх С ы~, где их — область изменения координат Х' точек М б У (рис.3.20). Исследуем как связаны между собой образы тел У и их, если системы координат я1 и Х' связаны ортогональными преобразованиями (3.1). При таких преобразованиях каждая точка М тела с координатами гм в области У имеет координаты Хзм в области Ух, причем расстояние в между любыми двумя точками М и )з(, принадлежащими У, в областях У и Ух не меняется,так как з з (яам — яй)' зп,> Б", (Хм — Х )Б; (Хм — Хч) = а=1 а=1 з = бб(Хмз — Хгз1)(Хм — Х)г) = У (Хм — Х~)1, (3.29) а=1 согласно свойству (3.5). Это означает, что при ортогональных преобразованиях область У преобразуется в область их как жесткое целое в пространстве Йз.
Опрвднпвнив 3.4. Будем говорить, что тело У обладает симметрией (является симметричным) относительно ортогонального преобразования (8.1), если образ тела У до и после такого преобразования неотличим (т.е. области и' и их совпадают). Если тело У вЂ” неоднородное, то для его симметрии необходимо, чтобы области Уе и Кх совпадали. Тело может быть симметричным относительно нескольких преобразований. З.З. Симмет ия конечных теп Хг Рис. оо.оо1. Пример оси симметрии Рис. 3.22. Пример оси симметрии четвертого порядка третьего порвдка Оцрндвпвцин 3.6. Будем говорить, что тело является симметричным относительно группы С„если оно симметрично относительно каждого преобразования в этой группе. 3.3.2.
Оси симметрии При ортогональных преобразованиях, как было показано в п.1.6.3, образ тела У может либо поворачиваться вокруг некоторой оси,либо зеркально отражаться относительно некоторой плосхости или центра. В первом случае дев (А' ) = 1, во втором — с1е1 (А' ) = -1. Возможно также совместное действие этих преобразований. Анализируя приведенные в п.3.1.2 матрицы А' ортогональных преобразований, нетрудно заключить, что в рассмотренных выше точечных группах присутствуют повороты только на углы: л/3, л/2, (2/3)л, л и 2л, т.е. на 2л/и, где и =1, 2, 3, 4 и 6. Поворот на О' эквивалентен повороту на 2л.
Вообще же для конечных тел возможны повороты и на другие углы, при которых имеет место симметрия. Обоснование, почему в группах гя„в = 1... 32, присутствуют только указанные повороты, мы дадим в п.3.3.11. Поворот на углы 2л и О' является тождественным преобразованием и описывается матрицей Е. Матрицы А', соответствующие другим углам поворота, указаны в п.3.1.2. Если тело У вЂ” симметрично относительно преобразования поворота на угол 2л/и, то говорят, что оно обладает осью симметрией и-ого порядка. На рис.3.21 изображено неоднородное тело, имеющее вертикальную ось симметрии четвертого порядка. 'Гела, изображенное на рис.3.22, имеет ось симметрии третьего порядка Ь[111], равнонаклоненную к Глава 3.
Г ппы п еоб ваний 178 Рис. 8.23. Оси симметрии для Рис. ЮЩ. Оси симметрии бееконечного куба е шаром внутри порядка для конуса, пилиндраи шара координатным осям Ов'. Одно и то же тело может иметь несколько осей симметрии. Так куб с шаром внутри имеет четыре оси третьего порядка, направленные по главным диагоналям куба, три оси четвертого порядка, нормальные к каждой паре параллельных граней, и шесть осей второго порядка, проходящих через середины ребер, противолежащих по отношению к центру куба (рис.3.23). Символически эти оси изображены следующим образом: ° — — поп 2 ° — — иш4, й — — п = 6. Лля них также используют название главные оси симметрии.
В непрерывных группах Тз-класса возможны повороты на произвольный угол относительно оси Овз, а в группах изотропного класса — относительно любой оси. Такие оси называют осями бесконечного порядка. На рис.3.24 показано, что, например, тело У в виде конуса имеет одну ось бесконечного порядка, а шар — бесконечное число таких осей. З.З.З. Плоскости симметрии и центр симметрии Если тело У является симметричным при преобразованиях отражения относительно некоторой плоскости, то говорят, что оно обладает плоскостью симметрии. Преобразование отражения относительно плоскостей Овбху описывается матрицами Л„(см. 73.1).
Последовательное отражение относительно трех координатных плоскостей приводит х преобразованию инверсии, являющейся отражением относительно точки Π— центра симметрии. Это преобразо- вание описывает матрица С. З.з. Снммот нк конечных тен 179 Если тело У является симметричным при преобразованиях инвер. сии, то его называют центрально-силькетричнььн. На рис.3.21 изображено тело, имеюп1ее плоскость симметрии, а на рис.3.23 — центрально- симметричное тело.
3.3.4. Зеркально-поворотные и инверсиоииоповоротные оси Комбинация поворота на угол 2я/и вокруг какой-либо оси и отражения относительно плоскости поворота называется зеркально-поворотнььн преобразованиеас Если тело У является симметричным относительно такого преобразования, то говорят, что оно обладает зеркально-поворотной осью и-ого порядка. Комбинацию оси бесконечного порядка и ортогональной к ней плоскости зеркального отражения называют зеркально-поворотной осью бесконечного порядка. Если тело У является симметричным при преобразованиях поворота на угол 2л(п вокруг какой-либо оси с последующим отражением относительно центра О, то говорят, то тело обладает инверсионноповоротной осью и-ого порядка. 3.3.5.
Соответствие между элементами симметрии и матрицами преобразований Оси и центр симметрии, а также плоскости отражения называются элементами силснетрии. Каждую матрицу А' ортогонального преобразования можно отнести к одному из элементов симметрии. Ниже, на основании результатов п.3.1.2 и упражнений к 33.1, приведена таблица 3.2 соответствия между матрицами преобразований А' точечных групп С, и элементами симметрии, здесь а ф ф ф 7 ф р, а, )3 = 1, 2, 3, г, р хх 1, 2.
3.3.6. Классы сопряженных элементов Рассмотрим теперь вопрос о том, какие из элементов симметрии входят в каждую группу С,. Лля этого вначале выясним возможность переставимости операций умножения матриц в группах ипи, что то же самое, о переставимости операций симметрии. Если дпя любой пары матриц преобразований А' ., К'. из группы С, их произведение переставимо: А К = К А, э'А, К Е С„ (З.ЗЮ) то такая группа, как было отмечено в п.3.2.1, называется кольнутативной.
Однако свойством коммутативности обладают только некоторые группы преобразований С, (какие именно будет указано ниже). Дпя некоммутативных групп С, целесообразно ввести некоторое разделение элементов группы на классь1 сопрянсенныэ элементов. Покажем как это можно осуществить. Глава 3. Г ппы и еоб аеованнй 180 Таблица Э.Э.
Перепишем операцию коммутативности (З.ЗО) в виде: К~ А К=А, (3.31) или, учитывая, что А и К вЂ” ортогональные матрицы, получим: К А К=А. (3.32) Проверку коммутативности группы с', можно проводить следующим образом: выбирать поочередно элементы А из группы (для непрерывных групп надо указать некоторое правило перебора всех элементов) и составлять произведения Кз А ° К со всеми остальными элементами группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
