Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В этой связи возникает задача: пусть имеется некоторое матричное представление группы С,;требуется установить является ли оно Гдова э. Г ппы п еоб взоввний гоо приводимым, и если да, то требуется найти его квэзидиагонэльный вид с максимально возможным количеством блоков (т.е., иначе говоря, найти все его неприводимые представления).
Как будет показано далее в гл.4, эта задача непосредственно связана с нахождением числа Й независимых компонент тензора. 3.4.5. Характеры матричных представлений Оцрндндннин 3.10. Характером матрицы А1в1 размером 3" х 3" называют сумму ее диагональных компонент (след), ц обозначают его следуютцим образом: (3.55) твц Характпером матпрпчного представления п-го уровня для группы О, называется множество (конечное или континуальное) характеров всех матриц и-го уровня А1а1 данной группы: Х(А" )...Х(Ат"1)...Х(А50) С, = (А~"~ ...А1"т ...А1"1) (3.56) где р — общее число элементов в группе (для конечных групп), непрерывные группы будут рассмотрен далее в гл.4.
Учитывая структуру (3.44) матриц А<" 1 можно установить соотнощения между характерами матриц и-го и первого уровня: Х(Ат"1) = Х(А' )Х(А1" ~1) = Х(А' )Х(А' )Х(А1" ~т) и т.д., (3.57) т.е. получаем Х(А~"1) = Х" (А). (3.58) На этом мы закончим краткое знакомство с теорией представлений групп, более подробно о них можно узнать, например, из [21).
Упражнения к 3 3.4. 'Упражнение 3.4.1. Показать, что характеры матричных представлений Х(А) групп бз, в = 1... 38, вычисляются согласно данным табп.з.з и зл. Упражнение 3,4.2. Показать, что характеры матричного представпеиия Х(А) группы зззэ — з имеют вид: Х(А) = соз(ф — Х)(1 — созВ)(-1)з+соэо, если А'. Е (В;звзфхв), у = 1т2~ Х(А) = соэ(д — Х)(1+ созб) — соэд, если А' Е (Лзьгехв). ГЛАВА 4 индиеэкркнтнык ткнзоры и инВАРиАнты З 4.1. Индифферентные тензоры 4.1.1. Принцип Неймана Выше в 33.3 были рассмотрены способы описания только геометрической симметрии тел.
Реальные физические тела могут обладать определенным физическими свойствами (например, упругостью, сжимаемостью, теплопроводностью, тепловым расширением и т.п.), которые описываются некоторыми тензорами "й. Эти физические свойства также могут обладать определенной симметрией, т.е. зависеть определенным образом от преобразования координат. В этом случае говорят, что тела обладают анпзо7лроппей физических свойств. Связь между геометрической симметрией и симметрией физических свойств устанавливает ириннил Неймана, который говорит о том, что группа элементов симметрии любого физического свойства должна иметь подгруппу элементов геометрической симметрии. Рассмотрим теперь способы описания симметрии физических свойств тел, которые определяются некоторым тензором "й. Начнем с формул преобразования компонент этого тензора при линейных преобразованиях (3.
1) . 4.1.2. Преобразование компонент тензоров при линейных преобразованиях координат При линейных преобразованиях (3.1) формулы (1.129) и преобразования компонент йб произвольного тензора й второго ранга имеют вид: йб = йыВ'.В', и ь йы = А" А' йо. ! (4.1) Аналогичным образом преобразуются компоненты любого тензора л-ого ранга "й: "й = у''"я"е;, 8...<ре; = й""'"е;, З ...Эе;„о > 1, (4.2) й1 —.' — Пу -4"А"....А'з .
П 1 Гиввв В. Ииии е еитиые теней ы и иивв увиты 202 4.1.3. Определение индифферентных тензоров ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Если при любых линейных преобразованиях координат ф.1) колепоненты й""'" некоторого тензора "й в базисе е; не изменяются, гп.е. й"'"'" = й""'" и > 1 (4.3) тпо такой гпенэор "Й называется индифферентным относительно преобразований (Я.1). ОДРеделение 4.2. Если условие 14.Я) неизменяемости компонент й)4-'" выполнено тполько для некоторой группы СА линейных преобразований (8.1), то такой тензор "й называется инди фф ерентным относительно группы С„а группу С, в этом случае называют группой симметрии тензора "Й. Не все компоненты индифферентных тензоров являются независимыми, т.к. между ними существуют зависимости, вытекающие из (4.2) и (4.3) й""" = йу'"д" А" ...А44 и > 1.
(4.4) В частности, индифферентным является сам тензор линейных преобразований 44, компоненты которого совпадают с матрицами преобразований (см. п.3.1.3): (4.5) ЭЕ = А' е1 ® е;. В самом деле, используя формулы (3.23), перейдем в новый базис: эе = А' еэ9е; = А'1Аь; Ву е Зеь = А~;б' е Эеь = А~ее'62еь. (4.6) Отсюда и следует, что компоненты тензора С~ в базисах е; и е; совпадают. Используя тензор линейных преобразований Я, можно сформулировать условие индифферентности тензора. ТеОРемА 4.1. Тенэор "Й является индифферентнььн относительно группы С„если и только если скалярное умножение на любой тензор линейных преобразований 44 иэ группы СА не иэменяееп значений этого тенэора "Й, т.е.
"Й="Й ) ° Э ЗЙ4" '" '""'''""'"7 )47) и в т Покажем эквивалентность формулировок (4.4) и (4.7). Тензор С1 9... ® ье имеет следующие компоненты: 4)Э...ЭЙ=А' ...А"„4'ЭА;,З...ЗА''ЗА,, )44) Й 4.1. Иннн е ентные тензо ы 203 тогда (4.7) в компонентном виде записывается следующим образом: й""'"е;, ...е;„= йз "3" е, 8... 8 е „°... ° А'» ...А'"„е"" 8... 8 е~' Э е"' 8 е;, 8 е;, 8... 8 е; = ЙУ"""А"„...
Аз"„х х ~6 ~6,е З 8 е Й11..3„А'1 ...А'" еб 8... 8 е;„. (4.9) 3 Сравнивал в этом равенстве первое и последнее выражения, очевидно, получаем, что формула (4.9) будет выполнена тогда и только тогда, когда выполнена формула (4.4), что и требовалось доказать. а Получим теперь с помощью (4.7) условие индифферентности вектора а: а = а ° з4 или а' = аУА'., (А'.) Е С, (4.10) и тензора второго ранга Т: Т = Т ° я Е я)1~~~~) или Тб = ТыА'„Аз,. (4.11) Это выражение можно также представить в виде (см.
упр.4.1.7): Т = 44т ° Т ° Я. (4.12) 4.1.4. Изомериые группы симметрии Йлз,Я„Й1н..з„ (4.13) где Й"'-'" — компоненты тензора "Й в системе координат Х": "й = й"'"'"е'; 4э...®е'; = й""'"е;, ®...®ез . (4.14) Тогда формулировка (4.4) будет иметь вид: й"'"'" = йб'"б"А" ...А'з 1''' У' (4.15) а формулировка (4.7) примет вид: "н = "н ... (я'з ...э Н~, (4.16) Понятие (4.3) индифферентности тензора, а также альтернативные формулировки (4.4) и (4 7), непосредственно связаны с фиксированной системой координат я', к которой отнесена группа симметрии. Совершенно аналогично можно определить тензоры, индифферентные относительно группы С„отнесенной к другой ортогональной системе координат Х" (см.п.3.1.4 и 3.2.3): Глава 4.
Инни е ентныетензо ыи инва ианты 204 где а',4' — тензор линейных преобразований группы О„определенный в базисе е" (формула (3.25а)). Для тензора второго ранга это соотношение имеет вид: Т = ь4~ ° Т Я'. (4.17) 4.1.5. Группа симметрии произвольного симметричного тензора второго ранга В этой связи установим группу симметрии произвольного симметричного тензора второго ранга Т.
Как было установлено в п.1.6.1, для Т всегда существует три вещественных собственных значения Л и три ортонормированных собо ственных вектора е„1 з Т= ~~1 Лаев®еа, т.е. Т'ал =Л 6 л, аеп о таким образом, Т в базисе е имеет диагональный вид. Выберем в качестве осей анизотропии линии действия векторов о е' = е и покажем, что все матрицы нз группы ортотропии бз. Е, С, В и Р, а = 1, 2, 3 (см. п.3.2.3) сохраняют без изменения компоненты Т" 1: Т'" = А'„А',Т'"1, А1» б (Е,С,В,Р ).
(4.18) В самом деле, поскольку все указанные матрицы, включая Т"', — диа- гональны, то это соотношение можно переписать в виде: Т'лл = (АВ )2Тэзл. и (4.18а) Но, в силу ортогонэльности матриц из группы Оз. (АД~)2 = 1, и, следовательно, соотношения (4.18а) и (4.18) всегда выполнены. Таким образом, доказана следующая теорема. Один н тот же тензор "й, индифферентный относительно группы О„связанной с одной системой координат з', вообще говоря, не будет индифферентным относительно группы С„связанной с другой системой координат Х". Если двум группам симметрии С, и С', соответствуют тензоры линейных преобразований а4 и 14', которые являются изомерными (см.п.3.1.4), то такие еруппы также называют изомерньсни. Изомерным группам соответствуют, очевидно, одни и те же матрицы преобразований А', но различные оси анизотропии.
Далее к обозначениям групп симметрии, у которых оси анизотропии отличаются от осей координат Оз', будем добавлять знак "1". 4.1. Инги е ентные текео ы 205 ТЕОРЕМА 4.2. Произвольный сим.метричный тенэор второго ранга обладает группой симметрии ьег, принадлежащей к классу ортотропии, оси анизотропии которой совпадают с собственныльи направлениями тенэора. 4.1.б.
Тензорный базис ТеОРеМА 4.3. Множество всех гпензоров п-го ранга, индий)9)ерентных относительно угиксированной группы преобразований С„ образует конечномерное линейное пространство размерности й < 3". У Лействительно, множество всех тензоров и го ранга в евклидовом пространстве Из согласно теореме 2.29 образует линейное пространство Т размерности т = пз. Множество всех индифферентных тензоров и-го ранга Хз является подмножеством Тз . Очевидно, (е) (е) что это множество Хз само является подпространством, так как сум(е) ма ("Й1+ "Йз) любых двух индифферентных относительно одной и той же группы (', тензоров "Йг и "Йз тоже индифферентна, тоже самое относится и к произведению тензора "Й на число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
