Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Каждый элемент группы с«„в = 38, 39, из этого класса соответствует некоторой точке из множества (О, 2гг] х [О, 2гг] х (О, гг] в трехмерном пространстве: А[,) (ф, (2, д), (4.92) 0 < ф, гр < 2к, О < д < гг, 2 = 1,...)С, таких континуальных множеств в каждой группе С„в = 38, 39, имеется )С штук. По этим элементам группы г«г, строим матрицы и-го уровня А[(,")'(ф, у, д) и А(',~)"~(ф, гр, д).
Вектор Ь(и) строится следующим образом: Г2« Г2т Гт Ь(и) = ~~ / / ( А()(и)(ф,(о, д) вш дг[дг[«рг[ф. (4.93) о о о Проделывая еще раз все выкладки, получаем формулу для числа й. Свойство ортогонапьности, записанное для характеров (4.80), прини- мает в данном случае вид: 4.2. Число независимых компонент инду е ситного тензо в 222 ТЕОРЕМА 4.10. Число неэависиныг компонент индифферентного тенэора п-го ранга относиглельно групп иэотропии вычисляют по формуле: Ггя Ггя Г!" й = ~ / / / Х(А(!) (ф, р,у)) ггпрг(уйрг(ф. (4.94) 3--,,ААА Характеры рассмотренных матриц вычисляются следующим обра- ЗОМ! Х(.4(!) (ф, р,р)) = х" (.4(0(ф Ф,р)).
(4.95) 'Упражнения к 2 4.2. (и) (и) е =е... 1=1,...,1, ! з(Ф!.,Л„! где (я)т (е)т ! (п-1)1т (и-1)2Т (и-1)ЗТ1 (и-1)1Т ! (и-2)1',1Т (и-2)1]гт (и-2)1]эт] е;, ! =(е;,; ',е; ! ',е; л ' ), (1)зз-1 -!Т (31! 31 -!31 21! . 11 -!32 21! 11 -!13 ) ! !...! !!'''!„г!!!!'''!„!!!!!'''!„з! 11! ° ° ° ! Зп! з1! ° ° ° !зп = 1! 2! 3.
здесь введено функция 1 = 1(11... 1'„), уствнввливвюглвя соответствие межлу трекмсрными индексвми 11...зп = 1, 2,3 и (-мернымн 1 = 1...( (( = 3 ). Упражнение 4.2.3. Показать, что функцию 1 = 1(11... 1„) можно записать явным обрезом! 3„1 (. 1) ( 3п-г(,1 ц+,,+3 (1„1 — )+'и. Г серяке исч!!мсн! Упражнение 4.2.1. Показать, что если матрица А = А! ! определена (1) в декартовом трехмерном базисе е; (1 = 1,2,3), то матрица линейного преобрвзоввния гз, порожденная ей, будет оцределенв в (-мерном базисе векто. з(п) ров ег,..., е! (( = 3 ) прострвнствв г, каждый элемент хоторого е, (и) (") я (и] (и) (1 = 1,...1) есть координатный столбец, порожденный компонентами поливды е;, ® е!. 8...
® е1„в трехмерном прострвнстве Йэ. Упражнение 4.2.2. Поквзвть, что базис е;" (1 = 1,... (), введенный в (и) упр.4.2.1, можно представить рекуррентным обрезом! Глава 4. Инки ситные тензо ы и инва ванты ггб Упражнение 4.2.4. Используя формулу упр.4.2.3, показать, что лля случая и = 2 функция з = з(зз... за ) связывает левятимерные индексы с трехмерными слелуюпзим образом: з = (1 2 3 4 5 б 7 8 9), зззг — — (11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33).
'Упражнение 4.2.5. Показать, что векторы е~, построенные по формулам (а) упр.4.2.2, имеют явный вил: е(д") = (1 0 0 0 0)т ег" - -(О, 1, 0... О, 0)т, ез =(001 00)т ез" = (О, О, 0... О, 1) 1 = 3" и образуют базис в пространстве С)~) . 2 4.3. Симметричные индифферентные тензоры 4.3.1. Число независимых компонент индифферентных симметричных тензоров Формулы (4.82), (4.90) и (4.94) позволяют установить число независимых компонент любого тензора п го ранга, индифферентного относительно группы С„по характерам у(А, ) приводимого матричного )в) представления. Вычисление этих характеров достаточно сложно, поэтому, пользуясь формулами (4.91), (3.58) и (4.95), переходят к характерам непрнводимого представления групп у(Ае).
Однако эти формулы (4.91), (3.58) и (4.95) верны, только если тензор ай не обладает никакой симметрией по индексам. Если же такая симметрия имеется, то число независимых компонент тензора уменьшается, и указанные формулы следует уточнить. Суть этого уточнения в следующем. Для индифферентного тензора "й, обладающего какой-либо симметрией по компонентам, следует составить индифферентный вектор а)а), а потом еще один вектор а)в), суммируя совпадающие вследствие симметрии компоненты. Размерность вектора а)„) при этом будет уже меньше, чем размерность а)„), т.е.
з) ( 3". Матрица п-го уровня А("), соответствующая индифферентному вектору а)„) будет также иметь уменьшенный порядок д. Эта матрица Аз") строится из соответствующей матрицы А)") путем суммирования строк, отвечающих совпадающим компонентам вектора а)„), и 4.3. Синеет ичные инки е ентные тензо ы ггт исключением соответствующих строк и столбцов. (Можно поступить наоборот: к столбцу у матрицы А(") добавить столбцы в, 3, и,..., если компоненты вектора а(„) — — а „) —— а~(„) —— ... совпадают из-за симметрии, а затем исключить в матрице А(") строки и столбцы с номерами з,г,и,.... Хотя матрица А(") при этом получится, вообще говоря, другая, но ее характер будет совпадать с Х(А("))).
Заметим, что построение матрицы А(") по матрице А(") отличается от операции симметрирования по группе индексов (2.163), поэтому для таких матриц А(") будем использовать термин — сизиьегаризованвая матрица а-го уровня. Если теперь образовать множество всех построенных таким обраэом матриц А!") для одной и той же группы С, и одного и того же вектора а(„), то получим еще одно матричное представление группы С„которое будет, очевидно, приводимым. Зля этого матричного представления А(") будут справедливы все выводы пп.4.2.4 — 4.2.8, а также формулы (4.82), (4.90) и (4.94).
Подсчет числа независимых компонент тензора "й, обладающего симметрией компонент, сведется к определению характеров приводимого представления Х(А„" ) (а для непрерывной группы характеров )((А~(,")~(4))) через характеры Х(А,). 4.3.2. Симметричные индифферентные тензоры второго ранга Формулы связи Х(А ) и )((А ) для случая симметричного тензора (!!) второго ранга Пл у)т Й"" = й'"' (а = 2) можно легко установить непосредственным вычислением характеров. Покажем это. Вначале образуем индифферентные векторы а(„) и а(„), имеющие Размерности Зг = 9 и 6 соответственно: ( гт гт зт) (Пп ()гг Пгз Пгг Пгг Пгз Пзг ()зг ()эз) — а(г),а(г), а(г) -т (Пы ()гг+()гг Пгз+~зг Пгг Пгз+Пзг Пзз) (г) — ! ! ! Матрица А(г) будет иметь вид (3.42). Тогда соотношение (4.51) индифферентности в явном виде эапи- Глава 4. Инни е ватные темзе ы и инва иваты 223 шется следующим образом: А1А(1) Аг1А(1) Аз1А(1) АЗ А(1) АЗ А(1) АгА(1) А'А(') А'А(') А'А(') (4.97) где А1 1Аг Аз А(1) Аг Агг Аг Аз Аз Аз г з Просуммируем теперь строки 2 и 4, 3 и 7, 6 и 8 в векторах и в матрице, а затем исключим из матрицы столбцы 4, 6 и 7.
В итоге получим соотношение индифферентности для симметризованного вектора а(2): а(2) = А(2) ° а(г), или в явном виде, выписывая только члены главной диагонали: (4.98) А1А,' А1АЗ +Аг1Аг А1АЗ+ Аз1Аз1 42 42 АззА2+ АзгА 43А3 (4.98') Вычислим характер симметризованной матрицы А(2): ~(А(г)) (41)2 ( (4г)г+ ( 4з)г+А1АЗ+ 414з+ АЗАЗ+ + А21АЗ + АзАг + А31Аз (4 99) Комбинируя слагаемые в том выражении, получаем: ,"((А(~)) (А1+Аг+Аз) + -(А1А1+Аг1А2+Аз1Аз+А2А1+ + 422А22 + 42АЗ+ АВА1 + АЗА2 + 43 43 (4АОО) Откуда окончательно получаем следующую теорему. ()11 ()12 ()13 ()21 Пгг () 23 ()31 Пзг Пзз ()11 П12+ Пгг ()13 + ()31 ()22 ()гз + ()зг ()зз ()11 () 12 () 1з Пгг Пю ()гз ()31 Пзг с)зз ()11 П12 ( П21 ()13+ Пзг Пгг ()гз+ Пзг Пзз 4.3, Сиыыот нчные инки е ентные тензо ы 229 Творима 4.11. Характеры матричного представлении группы с,.„образованного с помощью синметриэованных матрон второго уровня Азг), свяэаны с характерами матричного представление А первого уровне той же группы Оз следующей формулой: Х(А(2)) = — ()(2(А) + )((Аг)), (4.101) где Х(АЗ) = А( Аг;.
формула (4.101) является аналогом формулы (3.58) на случай симметричного тензора второго ранга. Если теперь подставить (4.101) в (4.82), или (4.90), или (4.94), то можно подсчитать число независимых компонент симметричного тензора второго ранга, индифферентного относительно различных групп симметрии. 4.3.3. Симметричные индифферентные тензоры третьего ранга Рассмотрим теперь индифферентный тензор третьего ранга зй, симметричный по второму и третьему индексам: Зз1 з(1(132) (11дз)з (1)з)ззз (4.102) тогда и = 3, 1 = Зз = 27.
Соответствующий ему индифферентный вектор а(з) имеет 27 компонент, запишем их рекуррентным способом, используя обозначения изп.4.2.1: Т 1Т 2Т ЗТ 1,Т зз1Т 1 2Т ю',Зтз а(з) — — (а(2), а(2), а(2)), а( ) — — (а(, а( ), а( ) ), — 1уз1з1 ()б)зг ()1дзз) (1) (4.103) Симметризованный вектор а(з) имеет 18 компонент, которые рекуррентным способом можно записать следующим образом: -т -1 -г -з а(з) — (а(г) а(г) а(г)) (4.104) (уз11 ()1з12 ( ()гз21 (згз13 ( (згз31 с)гзгг с))згЗ ) (з)з32 ()1зЗЗ) (2) 1 < а' = АгА(г) АЗА(2) АЗА(2) аг (2) 1 2 3 (2) аз АзА(г) 4зА(2) Аз 4(г) аз (2) 1 2 3 а(г) (4.105) Условие (4.53) индифферентности вектора а(з) также записываем ре- куррентным образом: Гивввв. Инни е ситные тенер ыиинвв центы 230 где А11А(1) А21А(1) А21А(1) ~(1) А(2) а(') — — А А(1) А А(1) А22А(1) а(') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
