Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Выполнение каждоео из следующих условий является достаточным для функциональной независимости этой системы инвариантов: 1я подсистема из т — 1 инварианта 1 (а = 1,...г, ся ф В) данной системы является независимой» а инвариант 1р зависит хотя бы от одной компоненты»»П"'. » от которой не зависятп остальные инварианты; 2Я каждый из инвариантов 1 (а = 1,...г) зависит хотя бы от одной компоненты Й»»"'", от которой не зависят остальные инварианты.
Глава 4. Инин е еитныетенао ыи инва ванты 244 от инвариантов 1, сг = 1... т, сг ф 13. Так как эти инварианты неза- висимы, то эта матрица имеет ранг ( д1 т= галя —.. ) т — 1 1,дйг -' / согласно теореме 4.17. Но так как в ней только (т — 1) строк, то т = т. Значит, вычеркиванием (й — т) столбцов в матрице (д1 /дй""э")' можно найти невырожденную матрицу (дХ„/дй""")л (т — 1)-го порядка.
Тогда, вычеркивая те же самые столбцы в матрице (д1 /дйц"э" ), придем к матрице (дХ /дй""'")о' т-го порядка, содержащей 11-ую строку и столбец, соответствующий индексам г'... е'„. Вычислим детерминант этой матрицы, используя разложение по указанному (зг... г'„)-ему столбцу. Тогда получим йе1 (дХо/дй"'л")'в = ае1 (д1„/дй""'")н ф О, так как по условию теоремы с ф О и йе1 (д1о/дй""'")н ф О. Отсюда следует, что гапк (д1„/дйц "л"))л = гглк (д1 /дйц "л")и = т.
Согласно теореме 4.17 зто означает, что вся система инвариантов Хг...1„— функционально зависима. Для случая 1' теорема доказана. Рассмотрим случай 2'. Выберем вначале два инварианта, к ним применимы условия п.1'. Следовательно, они независимы. Палее присоединяем к системе третий инвариант — снова оказываются применимы условия п.1', и система трех инвариантов будет независима.
Продолжая этот процесс до т-го инварианта, очевидно, получим независимость всей системы т инвариантов. Теорема доказана. А Сформулируем еще одну теорему, которая нам потребуется при подсчете независимых инвариантов тензоров. ТеОРвмА 4.19. Если в некотором базисе еп полученном иэ е< с помощью моторины Аэ;, принадлежащей некоторой группе симметрии С,г е; = Аэ;ех, где Аэ; е С„тенэор "Й = Й""'"е;, Э... Э е;„ имеет р ненулевых компонент, то число т функционально независимых инвариантов этого тенэора относительно той же группы С, не может быть бо.еьше р: т < р.
Т Лействительно, пусть имеется набор из т скалярных инвариантов тензора "Й относительно группы С,: 1 = 1 (Й""'") с осями аннзотропии, направленными по е;. Так как данная матрица Аэ; е Се, 4.4. Сивин ные инва центы 245 то функции 1 = 1„(Й""'"), ст = 1...г, также будут инвариантами тензора "Й вследствие соотношения: 1в(Й""'") = 1в(А" ...А'" Й '"' ") = 1в(Й '"' ").
т1 т По условию теоремы 1 (Й" "'"), а = 1...г, — независимы, тогда и система 1 (Й""'"), а = 1... г, — функционально независима. Но согласно теореме 4.18, число г не может быть больше ранга матрицы д1в/дй!! "з", а так как Й""'" имеет только Р ненУлевых компонент, то ранг этой матрицы не может быть больше р, т.е.
г < гапб (д1 (дй""'") < р. а 4.4.4. Функциональный базис Опгвдвлвнив 4.8. Система из т скалярных инвариантов 1т!'!(Й) (где 7 = 1...т) тенэора "Й относительно группы преобразований О, называетпся функциональным базисом независимыя инва- риантов тенэора относительно группы преобразований С„если - она является функционально независимой, - лтобой иной, не вгодятций в эту систему, скалярный инвариант тенэора "Й относительно этой же группы преобразований С, может бытаь представлен в виде функции от этаиг инвариантов 1( ) Функциональный базис, очевидно, всегда является не единственным. Заметим, что скалярные инварианты (4.130) могут быть установлены для любого тензора "Й, не обязательно являющегося индифферентным. Из теоремы 4.18 следует, что число т функционально независимых инвариантов не может быть больше числа к - независимых компонент тензора "Й. Независимые скалярные инварианты 12 (" Й) относительно группы С, могут быть образованы с помощью операции свертки направлен!твоя тензоров От в данной группе с данным тензором "Й и его тензорными степенями "Й 9 "Й и "Й 9 "Й 9 "Й.
Такие инварианты называют полиномиальными. Реально в механике и физике другие, неполиномиальные инварианты используют крайне редко, и здесь они далее не рассматриваются. Заметим также, что когда говорят о независимых инвариантах и компонентах тензора "Й, фактически неявно предполагают, что этот тензор имеет максимально возможное число ненулевых и различных между собой компонент. В частном же случае тензоры могут принимать любые значения, например, все компоненты тензора Й"-'" могут быть равны между собой, но это отнюдь не означает, что у тензора одна независимая компонента и один инвариант. Поэтому Глава 4. Инва е ентные тенео ын инва ванты везде далее будем использовать понятие независимых инвариантов и компонент тензора с учетом этого допущения.
4.4Л, Непрнводнмые инварианты Иногда ограничивают вид зависимости между инвариантами и рассматривают только иолиномиальные соотношения между ними, при этом если какой-либо инвариант может быть представлен в виде поли- нома (т.е. суммы степеней) от других инвариантов, то его называют приводимым. В противном случае его называют неприводимым. Если выбран набор из и скалярных инвариантов тензора й относительно группы С„которые обладают следующими свойствами: - являются неприводимыми, - любой иной, не входящий в этот набор инвариант можно представить в виде иолинома от этих инвариантов, то такой набор называют минимальнььи целым рациональным базисом.
Очевидно, что число элементов р минимального рационального базиса и число г элементов полного набора функционально независимых инвариантов, вообще говоря, различны, причем г ( р, а р может быть больше й. В самом деле, возможна ситуация, когда соотношения между инвариантами являются полиномиальными, но ни один из них не может быть выражен в виде полинома от других инвариантов.
Такие соотношения называются сизигиями. В то же время из сизигии какой-либо инвариант Хт можно выразить как неполиномиальную функцию от других инвариантов, тогда он заведомо не будет входить в полный набор функционально независимых инвариантов. Однако Хт останется неприводимым и войдет в целый рациональный базис (если, конечно, он не выражается полиномиально из других каких- либо еще соотношений).
Примером такой сизигии является, например, полиномиальное соотношение между инвариантами Хг и 1з. аХ~з + 611 1з + сХз — — О, где а, 6, с — числа. Очевидно, что в общем случае ни 1ы ни 1з нельзя выразить в виде полинома друг от друга, и в то же время 11 или 1з можно выразить в виде неполиномиальной функции от 1з или Хп Другие примеры сизигий будут приведены в упражнениях к ~4.4. Далее нас будут интересовать в основном функционально независимые инварианты. Наиболее часто в механике используют инварианты векторов и симметричных тензоров второго ранга, т.е. и =1 и 2. Рассмотрим их.
4.4.6. Инварианты вектора Независимые скалярные инварианты вектора а =- а;е; относительно группы С, могут быть образованы с помощью операции скалярного 4.а Скввя вые инва ванты ь а®а ° ддв = а)да». (4.142) В зависимости от принадлежности направляющих тензоров той или иной группе' С„получаем из набора (4.142) инварианты вектора 1» относительно данной группы С,. Ниже приведены инвариан(я) ты вектора а, построенные указанным способом для всех групп д '„ з = 1,...39. В скобках выписана явная запись инвариантов через компоненты а, вектора в базисе е;.
г а е„= а„, а®а ° Е = (а(", а®а .ег = аг, 1. Триклинная сингония бд . Х„= а ° е = а, а = 1,2,3, т = 3; (ад,аг,аз)(4.143а) () Ог: 1д — — а ° йд а = агаз, 1г — — а ° Йг ° а = адаз (г) ' (г) 1г( = ~а~г, д = 3; (агаз адаз, )а(г) И. Моноклинная синеония Сз: Хо — — а ео =адд,,9= 1,2; (з) 1(з) . -г, -г .
я- — -г~ Хз =а'ез'а=аз т=3; (ам аг, аз) Сл . Хд — — а ° егд ° а = ад, )г = 1, 2; (4) -г г 1з =а ез=аз, т=З; (ад, аг, азд Сз: 1. = а ° е д ° а = ад,,9 яя 1, 3; (з) .-г. -г в Хг — — а йз а = адаг т = 3; (ад, адаг аз) (4.1436) 111. Ромбическая синеония Се. 1 =а ед а=аз, (6) -г -г ,0=1,2, т=3; (аг, агг, аз) да — — а ° ез = аз, (е) ( агд, агг,аз) а=а"", а=1,23, т=З; (4.143в) 1)т. Тетразональная синеония С„з = 9, 11, 12, 14, 15: 1 ') = а ° Е ° а = ~а(г, 1г" =а ° ез а=аз, т=2; (ад, аз) ( ) , -г, -г . -г -г произведения вектора а с образующим вектором О(») (тензорами размерности и = 1) соответствующей группы дя„а также скалярного произведения тензора а Э а с образующими тензорами второго ранга О,( ).
При этом число т независимых инвариантов вектора не может превышать т < й = 3. Исходя из перечня (4.27) направляющих векторов и тензоров, получим, что указанным выше способом можно построить только следующие инварианты вектора а: 248 Гпввв 4. Инги ь ентиые тензо ын инва иваты 14 =)а~, 1з =а ез=аз) )р) г (р) ()а)э, аз)(4.143г) С„в = 10, 13: У. Ромбоэдрическая сингония С„в = 16, 18: 1)Р) = )а)з, Хэ0) —— С„з = 17,19,20: 1)1') — — )а)эр (4.143д) 1РЕ Гексагональная сингонив С, з = 21 23 24 25 27 1(*) = )а)э Хг) ) — йзз С„з = 22,26: Езр~ = )а)эр Еэр~ = аз, т = 2; 'р'11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
