Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Кубическая сингония С„в = 28,...32: 1~') = (а)э, т = 1; ()а)з) аз, т = 2; ()а), аз) Хз = аз "= 2' ()М аз) т = 2; ()а)э, азэ) ()а)~, аз) (4.143е) (4.143ж) УХХХ. Трансверсагьная иэотропия С„в = 33,35: 140 — — )а(~р Хэ — — аз, т = 2; ()а)эр аз)(4.143з) С„з = 34,36,37: Е~'~ = )а)~р 1эЗ') = азг г = 2; ((а)~р азз) ЕХ. Изотропия С„э = 38,39: Е~~' = )а)эр т = 1; ((а)з) (4.143и) Очевидно, что для тех групп, у которых инвариантами являются длина вектора )а~ и азэ, также инвариантом является и длина проекции р ° ое,е,: рщр р э,г, ° ° р является независимым.
Теогема 4.20. Функциональный базис независимых инвариантов вектора а относительно группы С, С 1 состоит из т элементов, где — г = 1 для группы С, изотропного и кубического классов; — г = 2 для групп С, тетрагональной, ромбоэдрической, гексагональной, куБической сингоний и трансверсально-изотропного класса; — т = 3 для остальных групп С, С 1. В качестве функционального базиса могут быть выбраны инварианты (4.143). э Рассмотрим изотропный класс и произвольный вектор а = а'е,.
Тогда можно построить новый ортогональный базис еп одним из векторов которого, например ез, будет вектор а = ез. Поскольку все ортогональные базисы связаны ортогонгльными матрицами преобразований, то найдется такая матрица А' б 1, что е; = Аэ;е.. Но в базисе е; вектор а имеет только одну ненулевую компоненту аз. Следовательно, выполнены условия теоремы 4.19, а значит число независимых инвариантов вектора а не может быть более одного.
Но один инвариант всегда существует, зто, например, длина вектора )а~, так как )а)~ = а'аэбр = А)ьАэ, а а БИ = а" а'Бы. 4.4. Скаля ные инва центы 249 Следовательно, т = 1. Рассмотрим теперь трансверсэльно-изотропный класс. Для произвольного вектора а опять введем новый базис е; с помощью специальной матрицы Агу вида (3.6), где угол ф выберем из условия: (8 ф = аг/аг; причем е; = Аз;еу. В базисе е; вектор а имеет только две ненулевые компоненты: аг и аз. Поскольку такая матрица А', принадлежит к группе Тз, то снова оказываются выполненными условия теоремы 4.19, и, следовательно, для группы Тз число г < 2. Но два независимых инварианта всегда существуют — это, например, инварианты (4.143з). Независимость следует из теоремы 4.18 п.2', так как у инварианта Х, = (а(~ имеются компоненты вектора а„не входящие в инвариант 12 = аз (или аз).
() — -г Доказательство теоремы для групп из классов Т, Аз, Вз, Н, К и Кз оставим в качестве упражнения 4.4.4. Для групп из классов Е, М и О теорема будет доказана, если мы установим независимость трех инвариантов (максимально возможное число: и = )с = 3') в системах (4.143а), (4.1436) и (4.143в) соответственно. Но независимость этих инвариантов Х ', а = 1, 2, 3, относи(з) тельно групп С„з = 1, 3,... 8, очевидно, вытекает из теоремы 4.18, так как выполнены условия п.2'. Для доказательства независимости инвариантов Х„, а = 1, 2, 3, составим матрицу частных производных: (г) — аз О аг Очевидно, что существуют такие значения ап что определитель этой матрицы Ь = г(ез (д1 (да') = 2аз(а~э + аг г— агз) отличен от нуля, например, при аг = аг = аз = 1, получаем Ь = 2.
Следовательно, гап8 (д1 /да') = 3, и в соответствии с теоремой 4.17 делаем заключение о независимости инвариантов 1о, а = 1, 2, 3. (2) Независимость инвариантов 1 относительно остальных групп (з) С„з = 9,... 32, легко установить с помощью теоремы 4.18 п.2'. й Упражнения к г 4.4 Упражнение 4.4.1.
Показать, что система линейно зависимых инвариантов является и функционально зависимой; если ме система функционально независима, то онв и линейно независима. Улраживинв 4.4.2. Показать, что абсолютные значения компонент вектора (а еи а) = (ао( (а = 1,2,3)являютсяинвариантамиотносительногруппы , -2 1/2 Сг (т.е., что выполнены условия (4ПЗ1)), однако онн не являются независимыми, т.к. вырамаются через полный набор инвариантоа следующим образом: (а )щ — (Хб~~1~~(, аф))ф7фа, а,)8, (=1,2,3; а —,„б з Глава4. Инки ситные тензо ыи инва ванты 250 (у(2)у(2)1(г))1/2 Упражненгге 4.4.3.
Показать, что сквляр (а ° ег ° а) ~) = )ог) является инваривнтом относительно группы 62, но не является функционально (3) независимым, тл. выражается через згт )аг) =)Хг )/уг 'Упражнение 4.4.4. Локазать теорему4.2О лля групп из классов Т, Аз, Вз, Н, Кз и К. З 4.6, Инварианты симметричного тензора второго ранга 4.5.1. Пространство симметричных тензоров . Рассмотрим теперь симметричные тензоры второго ранга Т, т.е. удовлетворяющие условию (1.181).
Согласно теореме 2.31, множество всех симметричных тензоров (г) второго ранга в )йз образует линейное пространство Вз, являюще- (2) еся подпространством в Тз 4.5.2. Построение инвариантов симметричного тензора Функционально независимые скалярные инварианты симметричного тензора второго ранга Т с компонентами (4.144) Т=Т;,е;Эеу в базисе е; относительно группы симметрии сз„принадлежащей к некоторому классу, могут быть построены с помощью операций свертки симметричных образующих тензоров О(т) (см. табл.4.2) данного класса симметрии с самим тензором Т, либо его тензорными степеня- миТ гТЭТИТЭТЭТ,Т. Исходя из перечня (см.
табл.4.1) направляющих симметричных тензоров получим, что указанным выше способом можно построить следующие скалярные инварианты тензора Т: Т еа Эе)з = Та~3~ Т еа тс Таа1 -г Т Е = Ты+ Тгг+Тзз, Т Оз = 2Тгг (4148) В.З. Инва увиты симмет ичнвго тенте и Т~ ' 'Е тс Т11 + Тгг + Тз + 2(Т1 + Тгз + Тз) Т "Оз = 2(ТЙТгг+ ТггТгг+ ТЗЗТгз)1 Т' е'„=Т',+Тг,+Тг„(Оз Т) (е', Т) =2ТгзТгз (ег Т) (ез гТ) Тгз (Š— ез) Т (егз Т) =Тггз+Тгз, (4.146) ТЭТ 0» 711+ Тгг+Тзз~ Т Э Т ° ° ггз = 4(Тгз(Ты — Тгг) — 2Т11Тгз), Т Э Т 'йз» = 4Т11(Т11 — 7гг), Т Э Т ' 'Йзв = 4(ТЗЗ(Т11 Тгг) + 2711713) - квадратичные инварианты, образуемые сверткой квадрата тензора Тг или Т Э Т с направляющими тензорами второго ранга Е, Оз, ег или четвертого ранга О», Рз йз», йзв' Тз О~гг) Т' Э Т .
аО~ ~ (Тг О~ 1) (Т О~ )т (Т.О(.)).(Т 0611) "(Т О~,~) (Т 'О( )). (Т ОЮ) "(Т ОЫ) (Т ° 01е1) (Т ° 01,З1) .(Т ° ° 01;1) и т.п. (4.147) 01 1е (Е,Оз,ег1, 'О< ~ = (Ою |гз, Йзт Йзв) - кубические инварианты, образуемые сверкой куба тензора Тз с направляющими тензорами второго ранга Е, Оз и ег, или третьей степени тензора ТЭТЭТ с направляющими тензорами четвертого ранга. Среди последних наиболее распространенными являются инварианты: (Т О») (Т О») (Т О») = Тгзг + Тгзг + Тззз, (4 148) Т Э Т О» = Т11 + Тгг + Тзз + Ты(ТЗЗ + Тгз) + Тгг(ТЗ, + Тгз)+ + Тзз(Тгз + 713).
Сформулируем теперь теорему, из которой следует, что все введенные скаляры (4.145) — (4.148) действительно являются инвариантами. - линейные инварианты, образуемые сверткой Т с направляющими векторами е или тензорами второго ранга ег, Е и Оз. Глава в. Инги е ентные тенте ми инва иваты Тногнмя 4.21. Любой скалярный полинам тенгора второго ранга Т: где г" Π— тенэор (2п)-го ранга, индифферентный относительно группы б„является скалярным инвариантом тенгора Т относи- тельно той же группы С,. т Запишем выражение для 1 в базисе е;, совпадающем с осями ан- изотропии тензора г"О = 0""""е;, йд... 9 е;„: 1(Т<1) = Об-Ле-Т;,„;,„, ...Т;„„ а также в базисе е;, связанном с е;, ортогональной матрицей А' б С, (е; = Ад;еу): ДТ") = 0""""Т....Т.
= Одв'д'"А"....А"" Т б) — дг де ' дед1 де„де ге -д Тде'1 = 0 '"' *"Туе„д,„~ ...Тд,д, — — 1(Т13), ЧА'1 б Се. Откуда получаем, что скгляр 1(Т) удовлетворяет условию (4.131) и, следовательно, является инвариантом относительно группы С,. А 4.5.3. Главные инварианты тензора Наиболее часто применяют инварианты, образованные с помощью метрического тензора Е: 1д(Т) = Т ..Е, 1д(Т2) = Т2 ..Е, (4.149) которые, очевидно, являются инвариантами относительно любой группы преобразований С„т.к.
метрический тензор входит в число образующих тензоров каждой группы. Вводя определитель симметричного тензора Т по формуле (1.8'): дМ Т ТддТ22Тзз ТддТгз ТггТдз ТззТдг + 2ТдгТдзТгз (4.150) непосредственной проверкой нетрудно установить, что йе$ (Т) = — (1дз(Т) — 31д(Т)1г(Т2) + 21д(Т )), з 6 (4.151) 1д(Т ) = Т ° Е = Тдд + Тгг+ Таз+ 3(Тдд(Тдг+ Тз) + Тгг(Тдг + 222)+ + Тзз(Тдз + Тгз)) + 6ТдгТдзТгз, 4.5. Инва ванты енммет нчного тень» а 253 откуда следует, что определитель тензора также является инвариантом относительно любой группы С,. На основе инвариантов (4.149) и (4.150) введем так называемые первый, второй и третий главные инварианты: Х1(Т) = Т ° Е, Хг(Т) = -(Х12(Т) — Х1(Т )) = ТМТгг+ Т11Тзз+ ТггТзэ — Тгг — Тгз — Тггз, 2 Хз(Т) = Йег (Т).
(4.152) Остальные скаляры в (4.145) — (4.148) являются инвариантами относительно уже не произвольной группы (класса) симметрии С„а только той, к которой принадлежит образующий тензор О~.,>, с помощью которого образован данный инвариант. ТВОРемА 4.22. Собственные значения Л» симметричного тенэора Т также являются инвариантами относительно всех классов симметрии. у В самом деле, если Л - собственные значения Т: (4.153) (Т вЂ” Л Е) ° е =О, то можно составить характеристическиб колином: Р(Л) = беЬ (Т вЂ” ЛЕ) = бес (Т1, — Л51 ), (4.154) тогда Р(Л) = (Ты — Л)(Т22 — Л)(Т33 — Л) — (Ты — Л)Т223 — (Тгг — Л)Т123— (Тзз — Л)Т12 + 2Т12Т1зТгз — — бе1(Т) — Л (Т121 + Тггг + Тзгз)— Л(Т11Т22 + Т11Т33 + Х22Т33 Т12 Тгз Тгз) =Х(Т) — ЛХ(Т)+Л Х(Т) — Л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
