Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 36
Текст из файла (страница 36)
п.3.4.2). В самом деле, умножая Ап(п) на свою транспонированную, получаем: Ап(п) Ан(й)Т (Д-1 А(п) Я) ф-1 4(п) Я)Т 4( ) тг ~Т ~( )Т ~-1Т д-1 А(п) 4(й)Т д — 1Т д 1 я 1Т я(й) (4.65) Учитывая блочную структуру (4.63) и ортогональность матрицы Ан(п), получаем: Ап(п) згг(п)Т (п) Ан ° Ант, Ан Анг 22 12 ! 22 22 (4.66) — матрицы размером Й х (1 — Й), а Агг — — 122 Агг Ьгг — матрица (1 — Й) х (1 — Й). Матрица С вЂ” ортогональная, так как 4.г. Число мезозмоимык компонент иняз е ктного темзе з Последнее равенство в (4.66) возможно только если Агг — — 0 и Атгг ° АЯ = Е„», т.е.
матрица Ао(") действительно имеет квази- диагональный вид: А " =(' А(") ° С= ), (4.67) т" Е» 0 Агг ' причем А~гг — ортогональная матрица, а Е» — единичная матрица Й-го порядка. Теорема доказана. а Поскольку у нас имеется группа Р, матриц А,, то, согласно дои (п) казанной теореме, каждую матрицу можно привести к квазидиагоз(о) о(") нальному виду (4.67), причем поскольку базис ег ,...е» является общим для всех А,, то единичная матрица Е» в (4.67) имеет один (п) и тот же порядок й. Согласно теореме 2.15, матрица преобразования Я, а, следовательно, и матрица (', определяемая по Я однозначно (см.
теорему 2.12), является общей для всех матриц А, . Это означает, (п) что все матрицы А„" из Р," одним невырожденным преобразованием 6 г ° А," ° с могут быть приведены к квазидиагональному виду (аналогично (3.54)). В соответствии с классификацией п.3.4.4, такое матричное представление А„группы т, является приводимым. (о) Фактически мы доказали следующую теорему.
Творима 4.5. Если в Р(") имеется некоторое подпространставо о й размерности й ( 1, элементы которого являются индифферентными относитпельно всех моторин из матричного представления А(") группы С„то это матричное представление приводило. При этом число неприводимых матричных представлений размерности 1 (т.е. число диагональных элементов-блоков в единичной матрице Е»), содержащихся в приводимом, равно числу к. 4 2.5, Приведенное матричное представление (к) Каждой матрице А( из Р," можно поставить в соответствие квазидиагонвльную матрицу А„(" = С ' ° А„") ° С. Множество Р,"" всех таких матриц А," образует группу, изомерную с Р,", и, согласно ютассификации п.3.4.4, образует приведенное матричное представление группы стз.
о Творима 4.6. Размерность подпростпранства Ео("), индиффе- о(к) Ре~тного относитаельно группы Р,( ), равна размерности к подпро- з странства .С("), индифферентного относительно Р,". Глава4. Инни ентныетеноо ыи инва ванты 220 ол(п) 1 о(п) е; = й ° е;, 1=1,...Й. (4.68) п(п) Эти векторы будут инвариантными относительно группы Ро, так как 1л(п) о С-1 1(п) О С-1 п С-1 А(п) о «) С-1 (4.69) Они являются также и линейно независимыми. Поэтому линейная о п(п) о оболочка из векторов е; образует подпространство ьп("), индифп(п) ферентное относительно Р,, его размерность не меньше Й. Пусть оп(п) ов(п) существует еще один вектор е1+1 линейно независимый с ео и ин(и) о(п) дифферентный относительно Р,, тогда найдется вектор еь+1 —— оп(п) о(п) = 0 еь+1, линейно независимый с е; (1 = 1...
Й) и индифферентный относительно Р( ): (п) о(п) (п) оп(п) н(п) 1 он(п) А" еь+1 — — А" от ее+1 —- ет ° Ал" С . С е(+1 —— о'Ф1) о'Ф1) о(п) = 0 ° Ан п ° ее+1 — — С ° еь+1 —— е„-+1, (4.70) о(п) о(п) что невозможно, так как система е1 ...еь по предположению содержит максимальное число таких векторов. Полученное противоречие доказывает утверждение, что размерность 'подпространства ~п(") равна Й. а 4.2.6. Свойство ортогональности матричных представлений оп(п) ол(п) о Рассмотрим теперь базис е1 ...еь подпространства ьп(").
Поскольку элементы пространства ь(") — координатные столбцы, то он(п) каждый е( имеет вид: о'Ф') оп(п)' о'Фор т ео = (е;,...,е; ), 1= 1...Й, (471) ол(п)у где е( можно рассматривать как компоненты в некотором базисе е;п) (1' = 1...() пространства Е(") (см. упр.4.2.1). о(п) о(п) о Т Для доказательства выберем базис е1,...еь в.С(п) и образуем на его основе векторы по формуле (4.60): 4.2. Число незввисимвзк компонент инин е ентното тензо в Введем новую систему и векторов Ь;"), обнулив в (4.71) компоненты при )' = й + 1,...1: Эта система Ьз, очевидно, является линейно независимой и индиф(в) ферентной относительно группы .О,, так как л(в) ь (а)1 еа( )1 ел(")' 1(в) Е А (.)»йу(.) ~:1.
А",е з=е 1с 6 ",, «й, (476) ! о, 1>й. Здесь мы учли квазидиагонэльный вид (4.67) матрицы Ал("). рассмотрим далее в этом параграфе только точечные группы, состоящие из конечного числа р элементов. Введем еще один произвольный ненулевой вектор следующего вида: (а) (6 6 э+1 1)т (4.74) и образуем с его помощью сумму: Ь(") = з Ан(") с(") а (4.76) а=1 л(а) где суммирование идет по всем элементам группы Ю, В силу квазидиагонэльности формы (4.67) матрицы А,, вектор л(в) Ь(") будет иметь нулевыми первые й компонент, как и с("). Этот л(в) вектор Ь(") будет индифферентным относительно группы Ю, э А'(") ° Ь(") = ~~1 А '(") ° Ал(") ° с(") = ~ Ал(") ° (") = Ь(") (4.76) а=1 а=1 так как в силу свойств группы, произведение элементов группы всегда дает снова элемент группы.
Вектор Ь("), очевидно, является линейно независимым с базисом 'з; (1 = 1,...й). 'Гогда получается, что мы построили линейно не- Ь") зависимую систему из к+ 1 векторов, индифферентных относительно е ~руины 1), ", т.е. принадлежащих Еа(а). Но, согласно теореме 4.6, зто невозможно, следовательно, вектор Ъ(") должен быть равен нулю: (4.77) Гнева в.
Инни е ентныетенеа ыи инва квиты 222 Если ввести обозначение для ненулевой части вектора с(") как с' = (с"+г,...,с")~, то получим новый вектор размерности (1 — к), и условие (4.77) с учетом (4.75) и (4.67) примет вид: э Азза ' с (4.78) где А~язв — матрицы (( — й)-го порядка. Соотношение (4.78) должно выполняться для любых ненулевых векторов с', очевидно, что это возможно только если ~; А22 -0. (4.79) апз Это соотношение называют свойством вртпоганальнвстпи матричных представлений. Фактически оно является следствием некоторых более общих соотношений ортогональности представлений, более детальное изложение которых можно найти, например, в [3, 7, 30, 39, 43). 4.2.7.
Вывод формулы для числа lе Из свойства ортогональности (4 79), в частности следует, что характер суммы матриц А22, равен нулю: г Х (Л~~ ~ага) (4.80) аи1 Тогда, вычисляя характер суммы матриц А, из Р,, получаем и(п) п(п) Х(~~ Аа( )) = ~~~ Х(Еь) + Х(~~~ А22а) = ~' й = Рй~ (4'81) аеп авн аей аей так как характер единичной матрицы Еь равен к. Тногвмя 4.7. Характеры изомсрных матричных представлений совпадают.
и Справедливость этой теоремы следует из того, что все коэффициенты характеристических полиномов Р(А) изомерных матриц совпадают (см. п.2.3.5), а след матрицы является одним из этих коэффициентов. я Используя теорему 4.7, в (4.81) переходим к характерам матриц (п) Аа( и получаем окончательно следующую основную теорему. 4.2. Чуево независимых компонентинин е еитноготензо в Р й= -~ Х(А(п)). авп (4.82) Это число й равно размерности пространства лэ( индифферентных тензоров ть-го ранга. Характеры Х(А„) матриц п го уровня можно вычислить по ха(зь) рактерам ь(А,) матриц А, первого уровня, согласно формуле (3.58). 4.2.8. Случай непрерывных групп Для непрерывных групп изложенное выше доказательство также остается справедливым, но в формулах (4.75) и (4.82) перебор всех элементов группы путем суммирования должен быть заменен интегрированием по непрерывным подгруппам.
Рассмотрим группы Сзз... ь 'зэ класса трансверсальной изотропии (см. п.3.2.2). Каждая группа содержит несколько континуальных множеств (а, штук), каждый элемент которых соответствует точке на отрезке О < ф < 2зш (А[ь](ф))'ч О < ф < х, 2 = 1,...]С. (4.83) Например, для группы ьтзз: и, = 1, А[ц(ф) = ()з, для группы ь'зьь Ф зч = 2 и Ард(ф) = Язт, А[2](ф) = ЯзтВз и т.д.
Тогда каждой из этих матриц можно поставить в соответствие матрицы п-го уровня: (А[(,])(ф))', а также квазидиагональные матрицы: (А[,]п (ф))',, О < ф < 2н, (4.84) $ = 1...)С. (4.85) о(п) В результате получим непрерывные группы Р,( ). Тогда вектор Ь("), по аналогии с (4.75), строим следующим образом: 11(п) ~~~ А~ (п)(ф) с(п)лф (4.86) о Следствием равенства нулю (4.77) этого вектора является соотношение, аналогичное (4.78): 1С / А228](ф) с(п)дфзв О / (4.87) ТНОРНМа 4.8. ЧиСЛО й НгзаоиеиМЬЫ НОЛЬПОНЕНт тсизвра пз] ЛЮ- бого п-го ронге, индифферентного относительно точечной группы 6„вычисляют по следующей формуле: Гнавав. Инин е ентныетанао ыи инва ванты гс и Е ( А(А22[г](ф))г(ф 0' г=о (4.88) н(и) Переходя к характерам матричного представления из группы Ю, получаем: к гс и ( )((А",«"~(ф))г(ф = ~~г / Ыф = яйХ.
(4.89) г=о во г-о Отсюда, переходя к характерам матриц А, (ф), получаем утвеждение (и) следующей теоремы. ТЕОРЕМА 4.9. Число й независимых компонент гпензора "Й, индифферентного относительно непрерывных групп трансверсально-изотропного класса вычисляют по формуле: к =.— «2./ «(«[)'Ю г о (4.90) Характеры матриц А[,) (ф) можно вычислить по характерам мат(и) ричного представления А[г)(ф) групп сг,: Х(А[г) (ф)) = Х"(А[г)(ф)), 2 =1...)С, 0 < ф < 2«г. (4.91) Рассмотрим теперь изотропный класс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
