Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поскольку размерность подпространства Хэ Е Тз не может превосходить размерности пространства Тз, то, следовательно, д(гп лз = й < 3 = т = д(гп Тз . А Следовательно, в пространстве Хз существует базис Й(д),В = (е) п 1...к, называемый тензорным базисом, такой, что любой индифферентный тензор "Й фиксированного ранга и можно представить в виде разложения по этому базису: "Й = ~~ Й(л)7)) п > 1 (4.19) или (4.19а) где 7)з - коэффициенты разложения.
4.1.7. Образующие и направляющие тензоры Тензоры, входящие в тензорные базисы "Й( ) для различных и, взаимосвязаны между собой: для одной и той же группы преобразований С, существует минимальный набор тензоров О,, 7 = 1, 2,... к„ на основе которого с помощью только операций тензорного умножения, сложения и транспонирования образуются все тензоры "Й(т) для Рнвве4. И и е ентныетенее ыи инва центы гое Ое<.) = д',Г)'"е;, Э...Эе;„= О',)")'"К;, Э...В„„, (420) з = 1...39, 7 = 1...Й„ где О,'Яз" - компоненты образующих тензоров в декартовом базисе е;, а О,')")и" - в произвольном локальном базисе К;. Все образующие теизоры О,1,р в свою очередь, выражаются только через 17 тензоров, называемых напровияюнзиееи тензорами.
Перечислим их: векторы: (4.21) е„, тензоры 2-го ранга: е Е~ йа =ей Эет, е =е„Эе„, (4.22) тензоры 3-его ранга: з ТЕ = ~~~ ее ЭедЭе.„ «,Аз=1 Е, Пзл = е1Э(егЭе1 — егЭег) — ег Э(егЭег+ег Эег), (4.23) тензоры 4-го ранга: з Ол = ~ ~е„Э е„Э еи Э ее, (4.24) 13зи =езЭ 1Эзл, е=1 Тл = егг Эегг+егг Эезг+ езгЭегг, а ф)уф 7 ф а, а,Д 7 = 1,3, тензор 6-го ранга: (4.25) ~-~ее = Рзл Э Пзл.
любого п > 1. Эти тензоры О,„, имеющие, вообще говоря, различный ранг, называют оброэующиееи тензорами группы С,. Образующие тензоры О, обладают следующими свойствами: ° все они являются индифферентными относительно фиксированной группы преобразований С, (группы симметрии); ° любой тензор, являющийся индифферентным относительно группы С, может быть образован из тензоров О,„с помощью операций тензорного умножения, транспонирования и сложения.
Образующие тензоры можно разложить по любому базису, например, по' локальному К;: Я.1. Инна е ентные тенеа ы гот Используются также тензоры о ог йа = йа й = ее Э ет — ет Э ев. (4.26) Компоненты этих направляющих тензоров в декартовом базисе е„ имеют следующий вид: (е )1 =б', (Ег )11 — бо б' (Е)б = б", з (е)'1~ = е'1~, (Тя)и" = ~ б' (бз~бь+ б'бдь), а=1 (Рзь)и~ = б1(б'б1 — бггбг~) — бго(б11бг~ + бд~б1~) (4 27) з (Оь) Х~~ о ба1бабазбао (1эзя)" ы = б3(13зь)'"о а=1 (Ть) эы = бгбгбзбг + бгбгбзбз+ бзб'б1б', (11ея) чы " = Вз" Э йзь".
Компоненты направляющих тензоров в произвольных криволинейных координатах Х1 приведены в упр.4.1.5. 4.1.8. Образующие тензоры различных групп симметрии 1 Тринлинная сингония Оц.„1 = (ет) й1 = 3, о Ог(т( = (ег„йа) йг — — 6, а = 1,2,3, (3 = 1,2. (4.28) Мононлинная сингония Оз(т( (е,1, ез) йз = 3; Оя(т) = (ез, е, йз, еа) Йя = 3( -г -г о Оз(11 = (Е йз, едг) йз = 4 (4.29) Направляющие тензоры являются индифферентными по отношению к разным группам С, линейных преобразований декартовых координат х'. Ниже приведены образующие тензоры групп 61...
Сгэ, составленные из направляющих тензоров. Гиава4. Инни е ентныетензо ыи инва ванты 208 1П. Ромбическая сингония Оц ) =(Е,е,ев) йг=4, -2 Ов).,) = (ез, Е, е)д) йв = 4, -2 Ов(т) = (е ) Йв = 3. (4.30) 1Ч. Уетрагональная сингония Оддт) (Е еэ гйз Та) ед 4 Одод;) = (Е,ез,е, Ок) Йдо = 4; Одцт) = (Е,егэ,йз, Ок) Йдд — — 4; Одг)т) = (Е,еэ, Те) йдг = 3; (4.31) Одз)т) = (Е, ез, Ок) ьдз = 3, Оыцт) = (Е, егз, е, Ок) Йдв = 4; Одз<,) = (Е, езг, Ок) )сдз = 3. Ч. Ромбоэдрическая сингония Одадт) = (Е,ез,зэк) Йдз = 3, Огэст) = (Е,еэг,е Озкд )ддд = 4, (4.32) Ого)т) = (Е, ез 1)зв) Йго = 3.
-2 Ч1. 1'ексагональная сингония Огцт) = (Е,ез,йз,Пзк), Огг)т) = (Е,ез,е,йвк), -г Огз)т) = (Е,еэ,йз, Х)вь), Огвдт) = (Е,еэ,1)зк), -г -г Огз)т) = (Е,еэ,е, Рвк) Огв(т) = (Е,ез, Рвк), (4.33) Огц,) = (Е,ез, Рвк). Ч11. Кубическая сингония Огв),) = (Е,е,Тк) йгз — — 3, Огд)т) = (Е,Тк) йгд = 2, Озо)т) = (Е,Та) )сзо = 2, Озцт) = (Е,е, Ок) )сзд = 3, (434) Огэст) = (Е, Ок) ьзг = 2. Класс трансверсальноб изотропии Озз)т) = (Е, ез, е), Озв)т) = (Е, ез, йэ), -2 Оэцт) — — (Е, ез), Озв)т) = (Е,еэг,е), Оэцт) = (Е,егз). (4.35) Одв(т) = (Е, ез, Пзк) Йдв = 3, Одцт) = (Е, ез, йз, ага) Йдг = 4, 49К Инде е ентные тензо ы 209 Класс изотропии Озв(т) = (Е,е), Озз(т) = (Е), а = 1,2,3, )3= 1,2. (4.36) 4.1.9.
Симметричные направляюьцие и образуюп(ие тензоры Важный случай представляют симметричные тензоры второго ранга Т и четвертого ранга й, при этом симметрия тензора четвертого ранга понимается как выполнение следующих условий (см. п.1.8.4): й = йчь)К48 К, ® Кь 8 Кп Т = Т" К; 8 К,. (4.37) йбы йгчы йбм йыб Тб = Тг'. Табл.
1.1. Симметричные направляющие тензоры Здесь введена операция ( ) симметрирования тензора 4-го ранга: 11( ) О(1224) (ггз4) (згг4) (ыгз) м- „+11„+ „+ (4.38) а Р означает транспонированный тензор четвертого ранга (см. (2134) О п.1.8.3). Тензор Оа образован симметрированием тензора йа: о от О =й +й (4.39) В декартовом базисе е; эти тензоры имеют следующие компоненты: (Е)б = б'1, (еа) ба (е~)б = багб~~, Все симметричные тензоры Т и й, являющиеся индифферентными (по условию (4.3)) относительно группы симметрии С„выражаются линейно через тензорный базис в виде (4.19).
Тензорный базис симметричных тензоров в каждой группе строится из симметричных комбинаций образующих тензоров О,( ), а те, в свою очередь,- из симметричных комбинаций направляющих тензоров. Укажем эти симметричные тензоры (табл.4.1). Глава 4. Инду ентные тенер ыи инва ванты 210 (О )14 = б' б~~ + бт1ф, а ф (э ф у ф а, 3 (Ол)б = ~ ~б' бе,баб', (4.40) а=1 (Йзл)иы = (б1бз+бАПбА — бзбз)+ (б1б1 — бАНб1бз+бэб1) (Йзл)ны = (бгбз+ бзб1)(бгбз+ бА) + (бзбз+ бэбз)(бзб1 — бзбз)+ + (бА'+ бА)(бзбз + баб1) + (бА' бзбзПбэбе + бзбе) (Рз)1 ' = (б1бз + бзб1ПбА' бзбз) (бзбз + бзбзПбгбз + бзлб1)+ + (бА' — бАПбгбз+ бэб1) — (бгбз+ бА)(бэбз+ бзбз).
Для симметричных тензоров четного ранга образующие тензоры О,( ( одинаковы внутри каждого класса и совпадают с образующими тензорами максимальных групп в классах (табл. 4.2). Табл. б:й. Симметричные образующие тензоры классов Е - триклинный класс М - моноклинный класс Ог(т> = (Е) На основе этих образующих тензоров строятся тенэорные базисы для индифферентных симметричных тензоров второго и четвертого рангов. Эти тензорные базисы будут приведены ниже в гл.б. О - класс ортотропии Т - тетрагональный класс Кз - 'класс квазитрансверсальной изотропии А - ромбоэдрический класс В - ромбоэдрический класс Н - гексагональный класс К - класс квазиизотропии Тз - класс трансверсальной изотропии б - класс изотропии Он(71 (е ) Ом(т( = (Оз, е ) Оо(т( = (еа) От(т> = (Е, еэз, Ол, Йзь) Окз(;( = (Е, еээ, Ол) Од(,] = (Е,еэз, Рз, Йзз) Ов(т( = (Е,езэ, 1Эз) Он(т( = (Е, ез) Ок(т( = (Е, Ол) Отз( ( = (Е,еэз) 4.1.
Инна е ентные темзе ы 4.1.10. Симметричные направляюпгие тензоры третьего ранга Для тензоров третьего ранга зй также можно ввести понятие симметрии. Наиболее часто в механике и физике встречаются тензоры, обладающие симметрией по второму и третьему индексам: зй зй(1зг) Йбй Й1»у (4.41) где зй=ЙцйН ЭЦ. ЭН -г еа е„, Тя, Рзл~ Ел = Е Эез+ (ЕЭ ез)1~~~1 Взе = Те езг+ (Те езг)11зг1 (4 42 Оел = е е„+ (е е,„)( У, Азл = Озл ° Йз, Нзя = Йз'Тя, 1чзя = Тя Йз+ (Те Йз)~ Для этих тензоров имеют место следующие соотношения (см. упр.4.1А): Взя = ей Э 01+ ег Э Ог, О е=е»ЭОе — етЭОю а,)3, ~=1,2,3, аг-РФ7т-о Азл = е1 Э Оз + ег Э (егй — егг), Взе = е»Э Ог — ег Э Ом 1тзя = 2ез8 (ег — е,) — Нзз.
(4.43) Компоненты этих направляющих тензоров в декартовом базисе ее имеют следующий вид: пл =б бз+б бз Взая — б1(бгбз + бззбг ) + бг(бгбз + бзб1), 0'1» = б' (бг б" + б~ б») — б' (б'„б~в + б~~б,"„), (4 44) А,"л = б1(бйбгР + бггбг~) + бг(бгб1 бгбг)' Дзя = б1(бзб1+ бйбз) бг(бзбг + бгбз) 1Я" = бг(бгбз + бзбг) — б1(бзб1 + бгбз) + 2бз(бгбг — бгбгй) Далее тензоры третьего ранга, обладающие такими свойствами, будем называть симметричными. Тензорный базис (4.19) для индифферентных симметричных тензоров третьего ранга строится из представленных ниже симметричных комбинаций направляющих тензоров (4.21) - (4.25): Глава4. И и е ситные тензо ыи инва ванты 212 Построение из зтих направляющих тензоров конкретных тензорных базисов для различных групп симметрии С, будет выполнено далее в гл.б. 'Упражнения к 2 4,1 е =Р1К,, ег = Р1РуВ„Э Кз, Е = д1УК; ЭК,, ( Р 7 Ф 7) 3 е = — е!1»К! Э Ву Э К», Тя = ~~! Р„Р~рР7"К! ЭК1 ЭК» о,!З,тж1 Озл = (Р1 (Р1 Р1 — Рг Рг ) — Рг(Р»1 Рг + Рг Р1 )) К; Э Кз Э К», 1!за = (РзР1 (Р1 Р1 — Р2 Рг) — РзРг (Р1"Рг + Рг"Р1)) К1ЭКз ЭК» ЭВ1, з Ол = ~ РоРоР,",Р„ВчЭКз Э К» Э В.1, а=1 Тл = (Р»Р1 Рг Рг + Р Рг Рз Рз + РзРз Р, Р ) К; Э Ку Э К» Э К!.
Упражнение 4.1Я. Показать, что имеют место слелующие соотнощения между напрввляющиыи тензорвми: Е = ~~! ег. Йа — -е Йо, аж1 Упражнение 4.1. 1. Доказать, что из (4.11) следует (4.12). Упражнение 4.1.1. Доказать, что если симметричный тензор второго ранга Т имеет только лвв различных собственных значения, например, Л1 7- Лг, Лг — — Лз, то его группой симметрии является Сзе, принадлежащая к классу Тз е трвнсверсальной изотропии с осью трвнсверсальной изотропии вдоль ег. 'Упражнение 4.1.2. Показать, что если собственные значения симметричного тензора второго ранга Т все равны между собой; то его групнв симметрии совпадает с»згз, принадлежащей к классу изотропии (полная группа ортогональ ! ных преобразований).
Упрвгкнение 4.1.3. Показать, что направляющие тензорм (4.27) являются индифферентными относительно соответствующих групп преобразований. Упражнение 4.1.4. доказать справедливость формул (4.43). Упранснение 4.1.5. Показать, что в криволинейной системе «оординвт хг направляющие тензоры (4.27) имеют следующие компоненты: 4.1. Инду е ситные тензо ы 213 Упражнение 4.1.8. Показать, что если компоненты тензора четвертого ранга Й удовлетворяют условиям симметрии (4.37) в какой-либо системе «оор- 4 ! 1/ динат х, то в любой другой системе координат х, полученной невырожденным преобразованием также будут выполнены эти же условия симметрии. Упражнение 4.1.9.
Показать, что если теизор "й — индифферентен, то любой транспонироввнный теизор Й(~'"'~") тоже является индифферентным. Упражнение 4.1.10. Используя единственность рещеиия уравнения '1' 'Х = Е, доказать, что если симметричимй невырожденный тензор вто. рого ранга Т индифферентен относительно какой-либо группы 4зэ, то обратный к нему тензор Т также будет индифферентным относительно той же группы 6,. Упражнение 4.1.11. Используя единственность рещения уравнения С ° 4С = ял, доказать, что если тензор С является симметричным и ин- -1 дифферентным относительно группы 1зэ, то обратный к нему тензор С также будет индифферентным относительно той же группы 1зэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
