Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(4.106) Аз,4(1) АзА(1) .4зА(1) з,з 1 2 3 а(' Сравнивая (4.103) и (4.104), легко заметить, что симметрнрование производится тольхо для векторов а('), тогда в симметризованном виде должна быть записана матрица А(2) в (4.106), а матрица А(з) в (4.105) останется без изменения: ()011 А1А1 1 1 А1А2+ А21А2 А11Аз+ АзА1 А22А22 43 42 +АЗА2 АЗАз' з з ()',12+ ()',21 ()',12+ (1',21 ()б22 ()022 + У,зз () ',зз А(2) а" (2) Х(А(з)) Х(А)Х(А(2)) (Хз(А) + Х(А)Х(А2)) (4 108) Формула (4.108) совместно с формулой (4.109) (или аналогичными формулами (4.90) или (4.94)) позволяют вычис- лить число независимых компонент симметричного индифферентного тензора третьего ранга зй по характерам Х(Ае) матричного пред- ставления группы й,. (4.107) т.е.
в симметризованном виде матрицы А(2) в соотношениях (4.98) и (4.107) совпадают. Это означает, что совпадают и их характеры, т.е. Х(А(2)) можно вычислить по формуле (4.101). Так как в соотношении (4.105) замена матрицы А(2) на симметризованную А(2) происходит одинаково во всех блоках матрицы А(2), получаем следующую теорему. ТЕОРЕМА 4.12. Характеры матричного представления группы Сзз образованного с помощью сииметризованных матриц третьего уровня А(з), связаны с характерами матричного представление первого уровня А той хсе группы зз, следующей формулой: 4.3. Симмет ичные инда е ентныетензо ы 221 4.3.4. Симметричные индифферентные тензоры четвертого и более высокого рангов Используя формулы (3.58) для тензоров без симметрии, (4.101) для симметричного по паре индексов тензора второго ранга и (4.108) для симметричного по одной паре индексов тензора третьего ранга, можно установить следующие рекуррентные зависимости характеров симметричных тензоров.
ТЕОРЕМА 4.13. Пусть имеется индиб242ерентный относительно гРУппы 1зз вектоР и-го УРовнл а1„Р Тогда 1е если на (т — 1)-ом уровне векторы а '"' " +' имеют какую-либо (зе) симметрию, а на т-ом уровне у вектора а '"' " не появляется новых видов симметрии, то характеры симметпризованных матричных представлений группы Сз на этих уровнях связаны следующим образо.н (тп < и) 1 Х(А1 1) = А(А)А(А1 11); (4.110) 8' если на (тп — 2)-ом уровне векторы а""'" +' имеют какую-либо симметрию, а на пз-ом уровне у вектора а""'" появляется дополнйтельно только симметрии по двум "новым индексам" зе- +1 зе-ез+2, то характеры матричных представлений на зтих уровнях связаны следующим образом: А(А1ы1) = -(Ад(А) + А(А))А(А1~ ~1); 2 (4.111) у(А~~ 1) = -(;сд(А1 1)+К(А~ 12). (4.112) 2 и Доказательство утверждения (4.110) осуществляется также, как и вывод формулы (4.108) для тензора третьего ранга, а утверждения (4.111) — аналогично доказательству формулы (4.101).
Для доказательства формулы (4.112) рассмотрим случай тензоров четвертого ранга ей, обладающих симметрией по парам индексов: Я' де 1 з1 ° я1з1 ° 1 ~ з з (4.113) 3з если на т-ом уровне векторы а('"'" имеют какую-либо симметрию, а на уровне 2т ( п вектор а""' " '" симметричен по группе индексов $1 ° ..2е-зез зе-2 з+1 $е-т, то характеры матриц на этих уровнях связаны следующим образом: Глава 4.
Инни е ситные тенер ыи инва ванты гзг тогда и = 4, пг = 2, и представим соответствующий индифферентный вектор а(4) с помощью двухиндексных элементов Йу'1'. Т 1 11 19 21 29 91 991 а(4) = (й(2)~ ° ° ЙР) й(гр й(г) ° Й(2)~ .,Й(2)), (4.114) где индексы 11 и 12 пробегают значения от 1 до 9, каждое из этих значений соответствует паре индексов у тензора Й" 1""4 (см. табл.4.3). Таблица 4.8. Значения (21) и соответствующие им пары (111 12) (21) 1 2 3 4 5 е 7 з д (яы гг) ы 12 12 21 гг гз з1 зг зз Тогда матрицу А(4) также можно представить с цомощыо кронекеровского произведения матриц А(2) размерностью 9 х 9: А( ) А( ) ..
А( ) А( ) 1 ''' 9 А(4) = (А( ) ) =: .:, (4.115) згхзг (2)9 Р) (2)9 Р) 1А .. А дА где А(2) имеет вид (3.42). В справедливости такого представления легко убедиться непосредственно, расписывая компоненты матрицы А(4) через матрицы А(2).
Соотношение индифферентности (4.53) с учетом обозначений (4.114) и (4.115) будет иметь вгщ: (4.116) Йгд (2) Й29 Р) А(')' А(') ... А'"' А(') 1 ''' 9 Й91 (2) Й91 Й99 (2) Й99 (г) Й11 12 (2) Й19 й(г) АР)1 А(г) А(г)1 АР) 9 А( )2 А(г) АР)г А(г) 1 ''' 9 ,й(г) й(г) Й19 й(г) 4.3. Снимет ичные инни е ентные тенер ы 233 где 4(2)1 4(2)1 1 9 А(2) = А(г)9 4(г)9 1 ''' 9 (4.116') Сравним теперь соотношения индифферентности (4.97) и (4.116). Очевидно, что они отличаются только размером матриц и векторов: в (4.97) матрица имеет размер 9 х 9, а в (4.116) — 81 х 81. Более того, симметризация соотношения (4.111) осуществляется точно также, как и в (4.97) — суммированием строк, соответствующих компонентам й,, с 11 ф уг, и исключением соответствующих столбцов.
В резуль- -(2) тате получим симметрированное соотношение индифферентности: (4) а(4) = А а(4), (4.117) явная форма которого в точности повторяет симметрированное соот- ношение (4.98') только для большей размерности: А(2)1 (г" 1 1 1(г)г г+ А(2)1 1(2)3 3 ~(2)1 4(г)г 2 1 + 4( ) 1(2) з А(2)2 А(2)2 г ~(~) 1( ) з г а(4), а(4) = А(2)3 1(2)2 г 3 А() А() 9 9 (4.119) где а(4) 1й(2) й(2) + Й(2) Й(2) + й(2) 1 И 12 Ю 1З 31 — 19 -91 -22 -23 -32 99 1Т й(г) + й(г) й(г) й(г) + й(2) ° ° й(г)/ Здесь, как и в (4.98'), мы выписываем только члены на главной диа- говели, поэтому, очевидно, характер такой матрицы А(4) можно вы- числить по формуле, аналогичной (4.101): (А(4)) ( гфг)) ~А(2)2)) 2 (4.119) Отметим, что формула (4.119) не зависит от конкретных значений и порядка матрицы А(2). Поэтому если матрицу А(2) заменить на Гдввв 4.
Инду е ентные тенер ыи инва увиты 234 симметризованную А~з), то формально результат (4.119), очевидно, не изменится: ХФ') = -'(Хз(АИВ) + ХФз)з)) (4.120) 2 Матрица А~Я>, полученная таким образом, будет соответствовать компонентам индифферентного тензора Й""'"", симметричного уже не только по парам индексов, но и внутри каждой пары: 1м яз и 1з, 14, что и доказывает формулу (4.112) для случая и = 4. Лля и > 4 справедливость теоремы можно показать таким же способом. А Лля компонент симметричного тензора четвертого ранга Й""'"', т.е.
удовлетворяющего соотношениям (4.37), формулу (4.120) можно преобразовать, если учесть, что Х(А~з)з) ет Х(Аз~э)), и воспользоваться формулой (4.101): Х(А~ 1) = -(-(Х~(А) + Х(Аз)) + -(Хз(Аз) + Х(А ))). (4.121) Приводя подобные, получаем следующую теорему. Теогема 4.14. Характеры матричного представление группы ет„образованного с помощью симметризованных матриц четвертпого уровня А~Я~, соотпветствующих индифферентному тензору ЯЙ с условиями Д.87), связаны с характерами матричного представления первого уровне А следующей формулой: Х(А(Я)) (ХЯ(А) + 2Х(Аз)Хз(А) + ЗХз(А ) + 2Х(А )) (4 122) Эта формула вместе с (4.82) (или (4.90), (4.94) для непрерывных групп) позволяет установить число независимых компонент индифферентного тензора четвертого ранга ЯЙ, обладающего симметрией компонент вида (1.263). 4.3.6.
Расчет независимых компонент тензоров с помозпью характеров матричных представлений Лля того чтобы воспользоваться формулами (4.82), (4.90) или (4.94), нужно вычислить характеры Х(А) матриц А', входящих в группы симметрии С,. Вычисления можно сократить, если учесть, что характеры всех матриц, принадлежащих к одному и тому же классу Е, сопряженных элементов группы С„равны.
Поэтому достаточно вычислить характер Х(А) только одной какой-либо матрицы из класса. Например, для матриц А' из моноклинной группы Сз имеем: Х(А) = Х(Е) = 3, (4.123) 4.3. Снимет ичные инни е ентные тенте ы 235 Х(С) = — 3, Х(Рз) = — 1, Х(Вз) =1 р= 4. Тогда по формулам (4.82) находим число независимых компонент индифферентного вектора (тензора первого ранга и = 1): 4(Х(Е) + Х(С) + Х(Рз) + Х(Вз)) = 1 1 = -(3+ ( — 3) + ( — 1) + 1) = О, 4 (4.124) т.е. индифферентных векторов относительно данной группы не существует.
По формуле (4.101) находим характеры Х(А~2~) симметризованных матриц второго уровня группы Сз.. Х(Е(21) 6 Х(С(2)) (Хг(С) + Х(Сз)) (32+ 3) 6 (4 125) 2 2 Х(Рз ) 2(Х (Рз)+Х(Рз)) 2(1+3) =2> Х(Вз) = -(1+3) =2. Тогда по формуле (4.82) находим: Х(ЕОО) = 6 ° 3 = 18, Х(СОО) = — 3 6 = — 18, Х(Рз )= 1'2= — 2 Х(Вз )=1'2=2 тогда по формуле (4.108) находим: (4.127) й = -(Х(ЕОО) + Х(С"') + Х(Р~~") + Х(В~"')) = 4 1 = -(18 — 18 — 2+ 2) = О, (4.128) т.е. индифферентных симметричных тензоров третьего ранга для данной группы нет. Наконец, по формуле (4.122) находим характеры симметризованных матриц четвертого уровня: Х(Е14~) = -(34 + 2 3 ° 32+ 3 ° 32 + 2 ° 3) = 21, 8 й = -(Х(Е1'1) + Х(СОО) + Х( Рз ) + Х(Вз )) = -(6+ 6 + 2 + 2) = 4 4 3 3 4 (4.126) — число независимых компонент симметричного тензора второго ранга Й"'*, индифферентного относительно моноклинной группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
