Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(4.154а) С другой стороны, полинам Р(Л) можно представить через его корни Л,„: Р(Л) = (Лг — Л)(Л2 — Л)(Лз — Л) = — Л + Л (Лг + Лг + Лз)— — Л(Л1Лг + Л1Лз + ЛгЛз) + Л1ЛгЛз. (4.155) Сравнивая эти два представления, находим связь между Л и инвариантами Х„(Т): Х1(Т) = Л1+ Лг+ Лз, Хг(Т) = Л1Л2+ Л1Лз+ ЛгЛз, Хз(Т) = Л1ЛгЛз. (4.156) Главе 4.
Инни ентные тенеа ы и ннвв центы 254 Откуда следует, что Л, как и 1 (Т) инвариантны относительно любого класса симметрии. Так как 1~(Т) не зависят от системы координат, то из (4.156) кроме того следует, что собственные значения тензора Л также не зависят от системы координат. А 4.5А. Теорема Гамильтона-Кали Поскольку Л являются собственными значениями тензора Т, то характеристический полипом 72(Л) при каждом Л = Ла обращается в нуль.
Тогда иэ (4.154а) имеем: Лз 11(Т)Лг Хг(Т)Л +12(Т), а = 1,2,3. (4.157) е Тензор Т можно разложить по собственному базису е согласно (1.173): з Т=~~~ Л е Эе. (4.158) а=1 Рассмотрим теперь тензорные степени Тг и Тэ. В силу (1.180), для Т и Т имеет место аналогичное разложение: з Т вЂ” ~~~ Лаев Э е (4.159) в=2,3. а=1 Заменим теперь в разложении для Тэ коэффициенты Лз их выражениями (4.157): з з Т = 11(Т) ~~~ Лге Эе — Хг(Т) ~~~ Лае Эе + а=1 а=1 з + 1з(Т) ~ е Э е . (4.160) а=1 Если тензор Т неособенный, то, умножая (4.160) на Т 1, получаем Т 1 = — (Т вЂ” Х1(Т)Т+ 12(Т)Е).
(4.161) = 1,(Т) Если воспользоваться представлениями (4.158) и (4.159), то придем к Тэ = 11(Т)Тг — 1г(Т)Т + Хз(Т)Е (4.162) — уравнению, которое по форме аналогично характеристическому уравнению (4.157), если вместо Л поставить сам тензор Т. В этом состоит утверждение следующей теоремы. 4.5. Инва ванты свымст нчното тсвво а ТеОРЕМА 4.23 (1'АМИЛьтонА-Кэпи). Неосвоенный тензор удовлетворяет сооему характеристическому уравнению.
Из (4.162) следует важный вывод: любую тензорную степень Т" (н > 3) можно выразить только через первые две степени: Тг, Т и Е, наприз(ер Т вЂ” Т Т = 11(Т)Т вЂ” 12(Т)Т + 13(Т)Т = = 11 (11Т2 — 12Т+ 1зЕ) — ХгТ2+ ХзТ = = (11 — Хг)Т вЂ” (11Хг — Хз)Т + 111гЕ, н т.д.
4.5.5. Функциональные базисы независимых инвариантов симметричного тензора второго ранга 12+ — — -Т ° ° (ет Э ее + ее ®е ), (н) 1 1, =Т ° ео®ео, (и)— а,)3,(ат1,2,3, оф)Хфуфа, (Ты, Тгг, Тзз Тгз Т12, 212). (4.163) (1И) - моноклинныб класс: 2 12 —— (е1 ° Т): (ез ° Т), 1в 2 (ез Т) ° (Оз Т), (Т11> Т22, Тзз, Т12~ Тгз, Т12Т22).
(4.164) (0) - класс ортотронии: 1(О) = Т ° е~„а = 1,2,3; Хв ) = (егг ° Т) ° ° (ез г° Т), Среди всего множества инвариантов представляет интерес выделение полного набора функционально независимых инвариантов для каждого класса симметрии. Ниже приведены функциональные базисы независимых скалярных инвариантов 1а симметричного тензора Т, построенные с помощью (в) наборов (4.146) — (4.148) и соответствующие фиксированному классу симметрии (С,). В скобках представлено явное выражение инвариантов (Х1,...Х„) через компоненты Т; тензора Т в базисе е,. () () (Е) - триклинныб класс: Глава 4. Инни е ентные танзо ы н инва ванты 1в () — — (е~г ° 'Х) ° (егг "Х) ° (езг 'Х), Хз(~) = (ег Т) ° ° (езг Т) -г 2 (Тп, Тгг Тзз, Тгз, Т,з, ТпТгзТгз).
(4.165) (Т) - тетрагональный класс: ез) ''Т 12 = Т' 'ез Ез = (Е ез) Т' '(ез Т) 1(" = ТЭТ""О. — (1(")2, 1з = -ТЭТ ° ° йзь, 1в = <Ы (Т), 4 1(к) 1 ~Т2 Е 21(т) 1(т) 1(т)г) з = ~ '' з 4 г 2 ~ (Тп+ Тгг Тзз Тг~з+ Тггз Тг~г+ Тггг, Тггг, бег (Т)). (4.167) (А) - ромбоэдрический класс: Хг = (Š— ез) ''Т Хг = Т ° ез (А) -2 (А) -г Ез — — (Š— ез) Т ° (ез Т), 1( ) = -ТЭТ' Оз, 4 1( ) Т Е 1( ) 21( ) 1( ) 1ТЭТ 11 4 (Тгг+ Тгг, Тзз, Тгз+ Тгз, Тгз(Тп — Тгг) — 2ТггТгз, Тгг+ Тгг+ 2Тгг, Тгз(Тп — Тгг) + 2ТггТгз). (4.168) (В) - ромбоэдрический класс: (в) Е(л) а = 1 .5; 1в( ) = ЙеФ (Т), (Тп + Тгг, Тзз, Тгз+ Тгз, Тгз(Тп — Тгг) — 2ТггТгз, Т„+ Тгг+ 2Т22, с)е( (Т)).
(4.169) (Тгг+ Тгг, Тзз, Тг~з+ Тгз, Тй+Тгг, Т~г(Тп — Тгг), с)е( (Т)). (4.166) (Кз) - кваэитрансверсально-иэотроиный класс: Е(~) = Еа( ), а = 1,... 4, 6; 4.5. Иввв винты евммет вчвото темно в гз7 (К) - квазиизотропный класс: 1~) )) = Т Е, 1)")) = Т®Т Оь, 1)с)) = — (Т Е вЂ” 1~)))), 2~ 14 — (Т ° Оь) (Т ° .Оь) ° ° (Т ° Оь), 1~))) =Т ®Т ° .Π— Е~~)), 1~) ) =4~2 (Т), (Ты+ Тгг+Тзз, Ты+ Тгг+ Тзз, Тгг+Т,э+ Т,з, Ты+ Т„+ Тзз -г -г -г -г -г -г -з -з -з Ты(Т22 + Тгз) + Тгг(Т22 + Тгз) + Тзз(Тгз+ Тгз), ае$ (Т)).
(4.170) (Н) - гексагональный класс: Хс ) =Хе ) а но 1...3; Хз) ) - — с)еь (Т)с 1)н) Тг Е 1)л)г 21)л) 4 = '' г з (Ты + Тгг Тзз Тгз + Тгз Тг~г + Тггг + 2Тггг бее (Т)). (4.171) (Тз) - тпрансверсально-изотропный класс: 1)з) 1(н) (4.172) (1) - класс изотропиьг 17)~) = 17 (Т), 7 = 1, 2, 3. (4.173) Творима 4.24. Для симметричного тензора втпорого ранга Т усункииональный базис независимых инвариантов относительно группы С, С 1 состоит из т элементов, где — т = 3 для групп Сс изотропного класса, — т = 5 длз групп си, трансверсально-изотропного и гексагонального классов, — т = 6 для всех остаальных групп С, полной ортогональной группы Х.
В качестве этих функциональных базисов соответствующих групп С. могут быть выбраны наборы инвариантов (4.163) — (4.173). У Как и ранее будем для определенности полагать, что все рассматриваемые группы С, соответствуют осям анизотропии, направленным по вект)эрам базиса еь Тогда определения (4.131), (4.132) скалярных Р 7 нюриое исчисисние Глава в.
Инин е ентные тенор ыи инва увиты 288 инвариантов тензора второго ранга Т = Т;,е; 8 е можно записать следующим образом: Ха!')(Туоуо) = Ха!')(А!1 А" ТХ"'), !ХА' Е С„а = 1,...т < 6, (4. 174) Поскольку Т вЂ” симметричен, то у него имеется не более шести неза- висимых компонент Т!Х (о, !' = 1, 2, 3), поэтому согласно теореме 4.17 для всех групп С, (в = 1... 39) число т < й = 6. Рассмотрим группы Со иэ класса изотропии 1. Согласно теореме 1.13, симметричный тензор Т имеет три вещественных собственных о значения Л! и ортогональный собственный базис еь Тогда существ о о; о вует ортогональная матрица А', связывающая е, с е: е = А' е;.
Поскольку соотношение (4.174) в изотропном классе имеет место для о, любых ортогонапьных матриц, то в качестве А' можно выбрать А' .. о о о Так как в базисе е; матрица компонент Т!Х = А!;,АХ -,Т!11' — диаго- нальная, из (4.174) получаем: 1а (Т'!) = Хе (Лэ, Лз, Лэ), а = 1,...т. Отсюда следует, что любой инвариант Х изотропного класса мо- (П жет быть представлен как функция только трех сквляров — Л!. Но согласно теореме 4.22, Л (Т!1) сами являются инвариантами тензора Т.
Следовательно, онн образуют функциональный базис в классе 1, а значит т = 3. Вместо Л; в качестве базиса можно выбрать главные инварианты Х!(Т), хоторые связаны с Л; соотношениями (4.156). Рассмотрим теперь торонсверсольно-изотрояныб класс Тз. Пред- ставим тензор Т в виде суммы двух тензоров: Т = Т! + Тз, где Т! (Т!8618+ Туэб!3 Тээб!эуз)е !~ е, (4.175) Тз = Тз'е; Э е = Т~~е! ® е о, Х„Х = 1,2. Тензор Тэ является симметричным и по теореме 1.13 имеет вещественные собственные значения, но ненулевых из них только два: Л! и Лз, — в силу структуры самого тензора. Тогда собственныЕ вектоо о ры еэ, ез тензора Тз будут лежать в плоскости векторов еэ, ез, ортогональной к оси трансверсальной изотропии Ох~.
Следовательно, о существует ортогональная матрица А' Х вида о о сов ф 8!Пф О А!. о о — вэпф сов ф О О О 1 о о такая, что е; = АХ!еу, причем ез = еэ. 4.5. Ииаа иваты симмет ичиого темро а 259 11 о о о Тензор Тз — — Тз е; ® е1 в базисе е; диагонален, поэтому Т11 = А'„А11ТЫ = 2 м1Л 6'б', а тензор Т1 в этом базисе сохраг няет свою структуру: о о ( собф бшф „„( ..
— 81П ф СО8 ф О О х <о о соб ф — б1п ф о 81п ф соб ф О О о о е о 1,де Т13 соб фТ13 + бп1 фТ23 Т23 соб фТ23 81п фТ13 Тэз Тзз о Тогда тензор Т в базисе е1 имеет следующий вид: Л, О Т'3 Т" =А' 3А1 1Т =Т1+Т1 = О Лз Тзз Т13 Т23 Тзз т.е. содержит только пять ненулевых компонент. Поскольку матрица о преобразования А' 1 принадлежит к группе Тз, то у нас оказываются выполненными условия теоремы 4.19, согласно которой число независимых инвариантов тензора Т не может превышать пяти.
Пля доказательства теоремы нам остается только показать, что существуют пять независимых инвариантов относительно Тз-класса. Ниже мы покажем, что таковыми являются, например, инварианты (4.172). Показательство теоремы для Н-класса оставим в качестве упр.4.5.13. Пля остальных классов симметрии, поскольку т = 6, т.е. совпадает с максимально возможным числом инвариантов, нам достаточно построить в каждом классе хотя бы одну систему из шести функционбльно независимых инвариантов. Такие системы построены в (4.163) — (4.173). То, что эти системы являются инвариантами, следует из теоремы 4.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
