Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Линейные тенер ные ницци Как и для тензоров первого ранга, ненулевые индифферентные тензоры третьего ранга существуют не во всех группах С,. Ниже приведены по три представления (тензорное, компонентное и матричное) ненулевых индифферентных тензоров зМ в тензорном базисе различных групп и классов симметрии. В фигурных скобках указаны образующие тензоры 0,1.,1 групп. (Е) -Триклинныб класс Группа Сг (еа, а = 1,2,3): з М = ~~' , '(с1ае„+ с12+аеа 8 е~в + с19+аее Э е., + с19+а(ег Э еб+ а=1 + (е 8 еб)~ ~) + с112+~(е Э ет + (е ® ет)~ ~) + с111+аеа Э Оа) ~ а 12, у = 1, 2, 3; а ф 13 ф у ф а.
з М = ~ (с1абзбзбз + Ыз.~.абабРбР + дб+абасбтуб ~+ а=1 + сс9+а (бабсс бй + ба ба бр ) + сс12+а (бабссб ~ + ба баб )+ + ссгз+аба(бебе + бубй)) ~ (5.50) Здесь с1 - константы разложения по тензорному базису. Индексы в формуле (5.50) и далее следует расшифровывать следующим образом: если в сумме по а значение а = 1, то су = 2, у = 3; если а=2,то13=3, у=1;еслиа=З,то(3=1, у=2. Такимобрззом, тензор М в данной группе имеет максимальное число независимых компонент - 18. сгг (ЗМ) = ССб С~9 М п1 М122 бб211 М222 буз11 Мзгг ссг 1/2ссщ ч'2с11з г/2с119 бб г/2с(п 1/2с11 2 1Г2дгс с(з г/2с(11 ъс юг 1/2ссгз Мгзз дбб122,~2бб121 дйупг гс2 ьг212 Мззз дьсзгз зс2ьгззг /25узгг/ Глава З.
Танка ные ницци 280 (М) -Моноклинный класс Группа Сз (ед, ег езг)1 2 М ~ (ддаеа Э еа + ддг+аеа Э ез + >24+а(ез Э еа + (ез Э йа) )+ а=1 + 1164аеа Э ерн + >184аеа Э Оз), а»9 = 1> 2; а ф 13> (5.51) = ~ (>Д 6 О" 6" +412+ 6'взоз + "4+ сз(озо +О вз)+ аю1 + д>б+ааа585ф + д~з+а~а( даг + ~251)) > Тензор М имеет 10 независимых констант И .
Группа да4 (едг, егг, ез, О в,е = 1,2, 3): з ЗМ=~ ддаез Э е + ддз+аОал)+~~> >264 (е Э ез + (е Э ез) ), ( аа1 аю1 ддавзо>>оа + 113+а (5~1(5>5а + 5а52) су(оао>З + 5ф5а))+ аа1 ~)'н»6+а(ааа>>аЗ + ааазаа)> (5.52) ан1 0 0 0 дГ2(дв — Аз) дГ2И2 0 0 0 0 д/2>18 д/2(И4 — Нв) 0 Ид Ыг Из 0 0 дГ2(Н~ — И~) 0 0 0 ДМдзг ДМдзд О О О ЯМгзг ЯМгзд М311 М322 Мззз О О ДМ312 (3М) ИД Иг (М)= >18 А 0 0 Мды Мдгг — Мгдд М222 0 0 >ЮЗ 0 0 >14 0 0 0 д>'2>16 д/ 2дз Мдзз Мгзз О дМзгз д/2ддз Г2ддо 0 0 д>'2М112 О ЯМ212 д/2М313 О ) 8.1. Линейные тенор ные нинин 281 Тензор 3М имеет 8 независимых констант.
(0) -Ортотроппмй класс Группо Се (егг,егг,ез): з г М= ~~~ 4„ез9ег+~ Нз+ (ег ®езг+(ег ®ез)Вог1), аа1 а=1 з г )' 11абзбаба + Л~' 113+а(бабаб3 + баб3ба)~ (5'53) аа1 аа1 0 0 0 0 ьГ2Ие 0 (ЗМ) = 0 0 0 1/2(ЮЗ О 0 А А 113 0 0 0 О О О О ЯМ131 О 0 0 0 ь/2Мгзг 0 0 М311 М322 МЗЗЗ О 0 0 Тензор 3М имеет 5 независимых констант. Группо Сг (Оад,а = 1,2,31: з М' " = ~ б.
(фбббь+ б'.'бз) — бг(бй+ 5б.")), (5.54) 0 1/2(бз — Ыг) 0 о ) 0 О 1/2И1 — Из) О 0 0 0 Л(бг — А) 3М=~~~~с( О л, аш1 0 0 (ЗМ) = О О 0 0 Тензор М имеет 3 независимые константы. (Т) - Тетраеонольнмо класс М о1Ти + огВЗЮ + озмзл + аеКЗД Гру оаз: (5.55) г М гй = (И1+ Иг) ~ б (брб„", +бЯ) + Игбз(б(бг~+ бигб1~)+ аа1 + (ое — оз) (бг Абз + бзбг ) — б1 (бзб~ + бгбз)) + + 2озбз(бгбг бгб1), 1'нввв 5. 1ензо ные нинин 282 Тензор зМ имеет 4 независимые константы. Определение тензоров То, Взл, Хзо и Кзо дано в п.4.1.10. Группа Сго: М = И1Еь + Нгез Э Е + с4зез Э ез + с14Озо, 2~" = 11(4" уз +41 4з) + 1гбз4" + с124з4з4з+ + с14(41(4згг + 424з) 4я(4з4~ + 41~аз)) (О ОО) 0 0 0 2/204 г/2411 0 (зМ) = 0 0 0 1/2сгг — 1/2ссс 0 А с12 А+412+Из 0 0 0 Тензор зМ имеет 4 независимые константы.
(Кз) -Кваэппсронсоерсальио-изопсроппысг класс Группа 012: М = И1То+ Й2Вза, 2 И"ьси(1,+ 1,)~ Ю.'(фь+фрь)+ 1,ффь+ф,"), (О.О7) а=1 0 0 0 з/2(д1+ с12) 0 0 (зМ) = 0 0 0 0 г/2(с11+ дг) 0 0 0 0 0 02/201 Тензор зМ имеет 2 независимые константы. Группа 012.. М = дгЕь+ ИгезЭЕ+с2зезЭегз, = А1(1'сгз + 41"421) +с124з41" + ссзбзуз4з (О ОО) 0 0 0 (зМ) = 0 0 0 -2Из 2Нз 0 0 0 0 — 0 0 0 М311 М222 Мззз 1/2(И1+ с12) 1/2(с14 — с1з) 0 — г/2(с44 — Ыз) 1/2(д1+ Ыг) 0 о о,/й, 1/2Мсгз 1/2М1зс 0 1/2 з,с121 1/2уггз 0 0 1/2мз12/ Б.д. Линейные тензо ные нкции гзз 0 0 0 0 д/2дд 0 (зМ) = 0 0 0 д/2дд 0 0 сдг аг ад+аз+аз 0 0 0 0 0 0 0 д/2ссд д ад 0 — О О О,/2М"' О О Мздд 1сздд Мззз 0 О/ Тензор зМ имеет 3 независимые константы.
Группа Сдан М = ИОза, = "(бд(бзбг + бгбз) бг(бздят + бдбз)) (5. 59) 0 0 0 д/2с1 0 0 (зМ) 0 0 0 0 д/2д 0 0 0 0 0 0 0 Тензор М имеет 1 независимую константу. (А) -Ромбоэдрический класс Группа Оде: М = НдЕл + сЬгез Э Е + дзез Э егз + НсОзз + дзОзл + даАзл Нз — дз 0 д/2 да д/24д д/2 де ( М) = сса — Ие 0 д/2дд — д/2сЦс — д/2дз дг дг дд + дг + дз 0 0 0 Тензор зМ имеет 6 независимых констант.
(В) -Ромбоэдрический класс ГРУ~~~ СД8: М = с1дЕл + вогез Э Е + дзез Э егз + Ис1эзл Мсгл = с1д(б'дбз + бс бэ) + дгбзбд" + "збзбзбз+ Абсд" = дд(бсдбз + бс бз) + дгбзб'"+ с'збзбзбз+ +да(бд(бгбз+бзбг) бг(бзбд +бдбз))+ + (дзб( — дзбг)(бдбг + М) + (дебг+ дзб))(бдб" — бМ), (660) Глава 5. 'Генов ные ницци дь4 ае О 0 «/2дГд 0 (зМ) = 0 0 0 «/2бд 0 — «/2де (Хг бг бд+бг+бз О О О Тензор М имеет 4 независимые константы.
Группа Снн М = бдОзг+ бгПзл, бг — бг 0 «/2бд 0 0 ('М) = О О О О -Лб, —,/й, 0 0 0 0 0 0 Тензор М имеет 2 независимые константы. (Н) -Генсагональный класс Группа Сгд. М = д1дРзь + с(г Азь М"~ = (д1гб' — Идбг)(бдбг~+ Яб~д) + (Игбг+ ддбд)(бдбд~ — б~гбг~) (5 63) д1д -йд 0 0 0 «/2дг (зМ) = д1г дедг 0 0 0 — ~(2дд 0 0 0 0 0 0 Тензор зМ имеет 2 независимые константы. Группа Сгг.
тензор М имеет такой же вид, как и для группы Сдо, и содержит 4 независимые константы. Группа Сге.' М = дПгзь, (5.64) — И 0 0 0 0 (зМ) = 0 0 0 0 0 — «/2(Е 0 0 0 0 0 0 Тензор М имеет 1 независимую константу. Группа Сгз. тензор М имеет такой же вид, как и для группы Сы, и содержит 1 независимую константу. 5.1. Линейные тент«ные нинин 285 (К) -Кубический класс ГРУппы стзв и стзо1 3М 1Т з М'1" = Н~ б' (б'бь + бзбяй), (5.65) ««1 О О О з(211 О О (3М) = О О О О з/2сХ О О О О О О з/2Ы Тензор М имеет 1 независимую константу.
(Тз) -Траисверсально-изотроиныб класс 1"рулив С33. тензор М имеет такую же структуру, как и для группы Сю, и содержит 4 независимые константы. Группа С35. Тензор М имеет такой же вид, как и для группы Сзз, и содержит 3 независимые константы. ГРУппа Сзв1 тензоР М имеет такой же виД, как и Дла гРУппы Сы, и з содержит 1 независимую константу. Для всех остальных групп С„в том числе для всего изотропного класса (1) индифферентными тензорами третьего ранга являются только нулевые тензоры: О О О О О О (3М) = О О О О О О О О О О О О (5.66) 5.1.9. Индифферентные линейные функции четвертого ранга Если задающий тензор четвертого ранга 4С связывает симметричные тензоры второго ранга Я и Т, то его компоненты в любом базисе, в частности в декартовом, обладают симметрией вида: С" ь' = С"и и С'1"' = С"'".
(5.67 а) Кроме того, будем полагать выполненным условие симметрии по па- рам индексов (см. (4.37)): С" ы = С"л'. (5.676) ГРУлла 0251 тензор М имеет такой же вид, как и для группы Сзз, и содержит 3 независимые константы. Глава 5. теизо иые ихних збб Лля тензора четвертого ранга с типом симметрии (5.67) третье (матрцчное) представление вводится с помощью матрицы 6 х 6: Сзгы С1122 С1133 С2232 С2233 Сзззз ,щ" ызз ЯСзззз ЯСзззз 2С1323 ЯС1113 з(2Сзггз 2С2313 Г2С1112 ,ГгСз1" /2С3311 2С1311 2С'3'3 2С1згз (4С) = сим.
(5.68) Введем также представление для компонент симметричных тензоров Б и ЪЧ с помощью координатных столбцов: ~22 озз ЯС13 ,~/2Я12 Т11 Тзз Тзз ДТ23 /2Т13 (2Т1 3 (Т) = (5.69) 1хб 1хб тогда для линейной тензорной функции четвертого ранга (5.21) п1 = 2 можно дать третье (матричное) представление: (Б) = (4С)(Т). 1хб бхб 1хб (5.70) Первая группа соотношений (5.67а) содержит 27 независимых уравнений дпя С'зы: каждой из 3 пар неповторяющихся индексов (1, У) = (12,23,13) соответствует 9 пар индексов (И) (11,22,13,31,21,...).
Вторая группа соотношений содержит 18 независимых уравнений: каждой из 3 пар неповторяющихся индексов (5,1) = (12, 23, 13) соответствует только 6 пар индексов (11,22, 33, 12,13,23), так как перевернутые пары (21, 31, 32) уже учтены в первой группе соотношений. Третья группа соотношений содержит 15 независимых уравнений: первой паре индексов (11) соответствует 5 соотношений со всеми другими парами (кроме перевернутых (21, 32, 31), т.к. они уже учтены в первой и второй группе), второй паре (12) — уже 4 соотношения и т.д., т.е.
всего 5+4+3+2+1=15 соотношений. Эти соотношения имеют место дпя любой группы симметрии. Однако, дпя частных случаев число независимых компонент еще сокращается и определяется теоремой 4.15. Здесь же мы иным способом доказали частный случай этой теоремы. Тиогима 5.3. Тензор четвертого ранга 4С Е 73~, обладающий 14) симметриями вида (5.67а) и (5.67б), имеет не более 21 независимой компоненты. З.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
