Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 45
Текст из файла (страница 45)
также (4.4)). Условие индифферентности (5.24), согласно п.4.1.3 (формула (4.7)), можно записать с помощью тензора линейных преобразований (4, определенного формулой (4.5): пй пй СЗ („-) 8 Сз (2п-1,2п-з,...э,1,2,4,...,2п) где (4 = А'.е' Э е;. Например, условия индифферентности вектора с и тензора второго ранга К$ третьего ранга зМ и четвертого ранга 4С будут иметь вид1 с=с сэ, зМ зМ щей®щ)(821248) ь й(р)7Р$ Р-1 (5.25) или ь й$1- $- — С ' й11- 1- 7Р (р) йп1 (5.26) ЯС ЯС щ ® ц 42 (п яЭ ц~(78812488) Иэ теоремы 5.2 следует, что для описания индифферентной линейной тенэорной функции достаточно рассмотреть соответствующий индифферентный задающий тензор пй. Лля индифферентных относительно фиксированной группы преобразований С$ тензоров, как было установлено в п.4.1.6, существует разложение по тензорному базису (4.19) в пространстве Хз" .
5.1. Линейные тенер ные ненни 573 где "йр~ - тензорный базис для группы О„а 7в - коэффициенты разложения. Этот тензорный базис может быть организован с помощью образующих тензоров группы Оэ17~ (см. п.4.1.8). Подставляя (5.25) в (5.16), получим первое предстпавление линейной индифферентной тензорной функции (через тензорный базис): э ыБ ег 7веу5[ — Т ~3ы1 (5.27) Вторым представлением индифферентной линейной тенэорной функции назовем компонентное представление, например, в декартовом базисе е;: э В' -'- ='~'7,а1-1-т, „„,;„.
(5.28) 11=1 Заметим, что в этих представлениях одна линейная функция отличается от другой только значениями констант 7р (в рамках одной группы симметрии О,). Соответствующие представления (5.25) и (5.26) будем называть первым и вторым представлениями эадаюецего тензора "11. Укажем далее тензорные базисы "йр и представление задающего тензора "й для различных групп симметрии, ограничиваясь наиболее распространенными в механике значениями и =1, 2, 3 и 4. Будем при этом использовать символику (5.17). 5.1.6. Индифферентные линейные векторные функции Как было отмечено в п.4.1.8, тензорные базисы могут быть построены с помощью только образующих тенэоров Оэ1,~ группы О,.
Рассмотрим случай индифферентных тенэоров первого ранга (векторов): ~е1 = с, т.е. в (5.25) положим и = 1. Тогда в тензорный базис зйбз~ могут входить только образующие тензоры групп из наборов (4.28)- (4.36) рангом не выше и = 1. Если таких образующих тензоров нет в какой-либо группе О„то индифферентной линейной векторной функции в этой группе нет. Соответствующие компоненты с' задающего вектора в этом случае будем полагать равными нулю. В табл.5.1 даны вторые представления (5.26) задающего вектора с линейной функции для разных групп симметрии.
Максимальное число ненулевых констант .уя у линейной векторной функции равно 3 и достигается в группе О1. Пля групп О, э = 4, 6, 10, 13, 16, 18, 22, 26, 33, 35 имеется только одна константа 7, а для Сз — две. Пля остальных групп О, не существует соответствующих ненулевых индифферентных линейных тензорных функций, что отражено в (5.25) как с = О. Глава 3. Тенге ные нинин 274 Таблица 5.1. 1. Триклинная сингония 3 С1: с а а — 17аба> ~2' с =О. 11. Моноклинная сингония г Сз: с. = ,'1,рн17вбй, 64.
с =7бз, Сз. с' = О. 111. Ромбическая сингония Св. с =7бз> Ст,в: сл = О. 1Ч. Тетрагональная сингония >э9,11,12,14,131 с = О, се1о,гз: с = 7бз' Ч. Ромбоэдрическая сингония 4Я16,13: с =7бз> >Я17,1326: с = 0 Ч1. 1"ексагональная сингонив 021,23,24,26,27: с = 0> 622,26: с = 7бз. Ч11. Кубическая сингония Сгг...зг . 'с = О. Ч1П. Трансверсальная иэотролия 4эзз,зз: с = 7б3> сэ34,36,37: 1Х.Нзотроиия Сзв,зв: с = О. (5.29) 5.1.7.
Индифферентные линейные функции второго ранга Рассмотрим случай линейнтях функций (5.10) при н = 2, причем кроме условия индифферентности (5.23) будем считать выполненными условия симметрии для задающих тензоров й = К, т.е. К = Кт или К>1 = Кэ>. (5.30) Для случая н = 2 часто используется еще одно, третье представление задающего тензора К -в матричном виде: К К Кз (К) = Кгг Кгз сим. Кзз (5. 31) -2 К12 К22 К23 а (5.32) где введены компоненты векторов в и а в виде координатных столбцов в базисе еь Матричное (третье) представление линейной тензорной функции второго ранга может быть также введено для функций вида (5.19) при т=1: 5.1.
Линейные тенино ные нинин 175 Максимальное число независимых компонент у симметричного тензора второго ранга равно 6, так как на 9 возможных комбинаций из Кгг наложены 3 условия симметрии (5.30): Кгг Кы Кгз Кзг Кгз Кзг (5.33) Условие (5.30) с 1 = у', очевидно, образует тождества. Индифферентность тензора К по отношению к той или иной группе симметрии С, приводит к появлению дополнительных условий (5.24): К11 = КыА11А11, Ч(А1„) к С, (5.34) Триклинный Е-класс (е ): з К= ~~~ 7аеаЭеа+7е(е1Эег+егЭе1)+75(е1Эез+езЭе1)+ аа1 + 75(ег Э ез + ез Э ег) з К 1 = ~ 7асаса + 75(Огсз + Огзг) + 75(згбЗ + 5ЗБ1) + 75(бгса + ОЗОг)~ а=1 К11 (К11) Кгг Кьз Кгг Кгз = 7~ уг (5.35) Моноклинныб М-класс (ег, Оз): з К = ~ 7аеа +71Оз г з К'1 = ~~~ 7аБ' б' + 75(ос'бг + б~бг), (5.36) аа1 аа1 на компоненты К11 и число й независимых компонент еще уменьшается.
Это число й может быть определено с помощью теории характеров матричных представлений (см. теорему 4А5 и табл.4.4). Тензорный базис Оз(т) (5.25) симметричных индифферентных тензоров второго ранга К будет состоять только из симметричных образующих тензоров рангом выше второго. Эти тензоры содержатся в табл. 4.2. Заметим, что они одинаковы для разных групп С, в пределах фиксированного класса. Ниже даны первое, второе и третье представления задающего тензора К для различных классов, а также используемые образуюпгие тензоры.
Глава 3. 'Геизо иые ик ии 226 Ку — Кгг Кгг О = 7е уг О Ортотропный О-класс (ег): з К=~ у ег з К" = ~ ~у б„'б', (5.37) о=1 о=1 КН = О К22 О = О 72 О Т - тетрагоналъный, Кз - кеазитрансеерсальноиэотропный, А, В- ролейоэдрические, Н - гсксагональный, Тз - трансаерсальнпизотрпп- ный классы (Е, езг): = 71(б бзбз) + 72бзбз Кев у,(Š— ез)+72ез К = О 71 О (5.38) К - кааэииэотропный, 1 - иэотропный классы (Е): К = уЕ, К'1 ='уб", Ко = О у О .
(5.39) О О Для групп симметрии Е-класса у тензора К достигается максимальное число независимых констант - 6; для групп М-класса - 4; для ортотропного класса - 3; для групп классов Т, Кз, А, В, Н и Тз- 2 константы, и для групп К и Х-классов - одна независимая константа. Если тензор К невырожден, то соотношения (5А9) при т = 2 и (5.32) можно обратить: а ее Ь ° з, Ьы Ьш Ьгз (Ь) ~'12 ~'22 Ьгз Ьгз огз Ьзз причем К ° Ь=Е где Ь - симметричный тензор, обратный к К и имеющий матричное представление: 5.1. Линейные тенер ные ницци г77 или Кедам,„= Ф,. Используя результаты упр.4.1.8, получаем, что если К - индифферентен относительно какой-либо группы симметрии, то и Ь - индифферентен относительно той же самой группы С,.
Это означает, что обратный тензор Ь для каждого класса симметрии будет иметь ту же структуру (5.35) - (5.39), что и тензор К. 5.1.8. Индифферентные линейные функции третьего ранга ( з ) (зм)(Т) (5.43) где ( з ) и ( Т ) — координатные столбцы из компонент вектора з и дхэ дхз симметричного тензора Т, построенные следующим образом: Тд1 Тгг ГгТз, ,/гт„ ( ° ) ез (5.44) Пля индифферентных линейных тензорных функций третьего ранга (формулы (5.16), п = 3) задающим тензором является тензор третьего ранга здд = зМ (формулы (5.17) и (5.20)). Будем далее считать его симметричным (см. п.4.1.10), т.е.
ЗМ ЗМ(дзг) Мззь МВэз (5.40) Наличие симметрии (5.40) приводит к сокращению числа максимально возможных независимых компонент М'з": из Зз = 27 компонент остаются только 18 штук, так как условия (5.40) накладывают 9 ограничений на компоненты. Условия индифферентности (5.24) тензора зМ по отношению к группам симметрии д',: Мзздззз — МЗзЗЗЗзз4 з 4 з 4 з (Я ) ~ дз (5.41) Зз Зз Зз| 3 еще уменьшают число независимых компонент (см. табл.4.4). Лля симметричного тензора третьего ранга также можно дать миндричнае представззение, для этого расположим его независимые компоненты в виде матрицы 3 х 6: Мды Мдгг Мдзз э72Мдгз дМдзд дМддг (зМ) Мгы Мггг Мгзз дМггз /2Мгзд дМгдг Мзы Мзгг Мззз дМзгз дМззд чз2Мздг (5.42) Появление коэффициентов ~/2 в этой матрице позволяет записать линейную функцию третьего ранга (5.20) при тл = 1 также в матричном виде: Глава Ь.
тенво ные ннцнн 223 Если координатные столбцы ( ) имеют различные размеры, как в данном случае, то в матричной записи указывается их размер. Эквивалентное для (5.43) и (5.20) компонентное представлениелинейной функции третьего ранга имеет вид: зл = М11'Т13. (5.45) Хотя для тензоров третьего ранга не существует понятия обратно- го тензора, однако аналогом обратной к линейной функции третьего ранга (5.20) т = 1 можно считать функцию (5.20) при т = 2: Б — М1~~~1 (5.46) где Я - симметричный тензор второго ранга.
Его компонентное (вто- рое) представление имеет вид: Уг = Мьгуаь, (5.47) а матричное (третье): ( Я ) (ЗМ)т( (5.48) или бгг озз Яягз /2331 з/2У2 Мзы М322 дМзгз Лмггг аг . (5.49) ,/2М312 Обозначение (3М) здесь означает, что к матрице (3М) применено транспонирование. Тензор 3М и в случае линейной функции (5.46) обладает симметрией вида (5.40).
Сравнивая матричные представления (5.43) и (5.49), легко заметить, что введение в матрицы (3М) и (3М)т коэффициентов ~/2 позволило сохранить структуру столбцов ( ) и матриц ( ) в "обратной" функции (5.49) (см. упр. 5.1.4). Если тензорные функции (5.43) и (5.46) индифферентны относительно какой-либо группы С„то соответствующий тензор 3М можно представить разложением (5.25) по тензорному базису данной группы. Тензорные базисы групп строятся с помощью направляющих тензоров, приведенных в п.4.1.10. М11' Мггг Мгзз 2~2 М123 ДМ131 ~Г2М 112 М211 М 222 М233 дМггз ЯМ231 (2М212 9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
