Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Линейные тенер ные нинин 2вт Тензорный базис О,м.,1 (5.25) для индифферентного тензора четвертого ранга 4С, обладающего симметрией (5.67), будет состоять из симметричных образующих тензоров, представленыых в таблице 24.2. Так же как и для тензора второго ранга, тензорный базис одинаков для всех групп С, в пределах фиксированного класса.
Ниже даны первое, второе и третье представления тензора чет вертого ранга С, индифферентного относительно различнх классов, а также образующие тензорных классов, участвующие в этих представлениях. Е - Триклинныб класс (еа): з С = ~~~ (Лае~, Эег + Л24а(ер Эе,„+е., Эер) + Ле+аО» Э Оа+ аа1 + Лэм.а(е„Э 01 + Ом Э е„) + Лмг+а(е,", Э Ог + Ог Э е,„)+ + Лмзм.а(е„Э Оз+ Оз Э е„) + Лмв4-а(Ор Э О 1 + О-м Э Ор)) см ф,9 ~ у ф а, ЛЛмв з/2Лмт 1/2Лмв 2Лго 2Льз 2Лв 1 Ле Лз сГ2Лмо 1/2Лмз Лг Л4 1Г2Л11 1Г2Л14 Лз ъГ2Л12 ьу2Лмз сим. 2Лт 2Лм 2Лв ( С)= (5.72) з Сммьм = ~~м (Лаб' б'баьб~, + Лз+а(брбзбтбт + Бтмбтмбр~бр~)+ а=1 + Ле+а(брб, + б;б,)(б,"б,'+ Б,"Бр)+ + Лэ+а(БА(бгбз + Бзбг) + Баба(бгбз + бзбг))+ + Л12+а(баба(Б1бз + Бзб1) + Авда(51бз + БЗБ1))+ + Л„,. (Б.'Бм (Б,'Б,'+ Б,"Б',) + Б."Б.'(Б Б', + б,'б',))+ + Лмвма((Б,.БР + БР бм)(брбм +Бебр) + (брдм + Б| Бр)(бабР + б б ))) ~ 1 ф рф,В~ и, руд ма ф у ~ р, р,ам,и„и,а,му,7= 1,2,3.
(5.71) Индексы в формуле (5.71) выбираются следующим образом: если, например, а = 1, то мг = 2, у = 3, и, следовательно, и = 1,,и = 3 и р = 1, ем = 2. В матричном представлении тензор С имеет общий вид (5.68) и содержит максимальное число независимых констант - 21: Л Глава 3. Тенко ные иннин 388 з С = ~ Л ег Эег + Лз+ (ез~ Эег+ег Эер~) + Лвв-аОа Э Оа+ а=1 + Л34. (ег Э Оз + Оз Э ег) + Льз(О1 Э Ог + Ог Э О1), (5.73) С1111 С1133 Сгггг С1133 Сггзз Сзззз (4С) = сим. Л, Л, Лз О л, л, о л, о сим.
глг Индифферентный относительно моноклинного класса тензор 4С имеет 13 независимых констант. Заметим, что среди тензоров О только Оз является априори индифферентным относительно М-класса, однако тензоры четвертого ранга Оа Э Оа, 01 Э Ог + Ог Э О1 (а = 1, 2) также индифферентны (см. упр.5.1.2), поэтому их использование в качестве тензорного базиса для тензора 4С правомерно. С = ~~1 (Лаег Эег +Лз+а(ез Эе.„+е., Эе~в)+Л84. Оа Э Оа), аа1 М - Моноклинный гслосс (ег, ег, ез): з а=1 + Лгз((бгбз+ бзбг)(бг'бз+ бзбг)+ + (бгбз + бзбг)(бгбз + бзбг)) о о о о о о 2Сгзгз 2Сгзгз 2С1313 О зl 2Лго О ~/2Л11 О,ГгЛ13 гл„о 2Лв О гл, О - Ортотропный (ролебичссний) класс (ег„): ДС111г и/2сгг13 /2С3313 о о 2С1313 3.1. Линейные темзе ные нинин 289 3 С17~~ = ~~~, (Л баб~ бьб1 + Лз+а(бЯб~~б~ + б,'бббЯ)+ аи1 + Лей (бдбб + б' б~)(б~дб1 + бьб~~)), (5.74) г= Р Ф 7 Ф ж~ а,8,7=1,2,3, Сыы С1122 С2222 С1 133 С2233 Сзззз ('С) = сим.
л, л, л, Индифферентный относительно ортотропного класса тензор еС имеет 9 независимых компонент. Заметим, что как и в М-классе, тензоры О (а = 1,2,3) не являются индифферентными относительно О-класса, однако как показано в упр.5.1.2, тензоры четвертого ранга О Э Оа уже индифферентны относительно О- класса. еС = Л1Е Э Е+ Лзез Э ез+ Лз(Е Э йз + ез Э Е)+ + Ле(О1 Э О1 + О2 Э Оз) + ЛЗОь + 2ле~ + Л211331 С"" = Л1б1бб"'+ Лзбзбзбзбз+ Лз(б"бзбз+ бзбзб )+ + Л. ((бзбзр+ бзбз)(бзбз+ бзбз)+ (б1бз+ бзб1)(б1ба+ бзб1))+ з + Лз ~ б„'б'„бе б1 + Ле(б ьб11+ б 1531) + Лгй"ьы, (5.75) а=1 10 гннирннн нсннынннн о о о о о о 2С232з 2С1313 Лз О О О л, о о о л, о о о сим. 2лг О О гл, о 2Лз Т - Тетраеонааьныа хаасс (Е, езз, Оь, йзь): о о О о о Глава 5. Темза ные ннцнн гяо Сыы С"" С1111 С1133 С1133 О С3333 2Сгзгз о о о о 2Сгзгз ('С) = сим.
Л1+ Лз + 2Ле Л1 Л1+ Лз 0 о Л1+ Лз+ 2Л3 Л1+ Лз 0 0 Л' 0 0 сим. 2Л4+ 2Ле 0 2Л4+ 2Л3 Л = Л1+ Лг+ 2Лз+ Лз+2Л3. Тензор 4С в Т-классе имеет 7 независимых компонент. Выражение для компонент й',гы приведено в п.4.1.9 (формулы (4.40)). Тензор 01 Э О1+ Ог Э Ог является индифферентным относительно Т и Кзклассов в силу результатов упр.5.1.3. Кз - Кеазитрансесрсольно-изотронный класс (Е, егз, 0»): 4С Л1Е Э Е + Лгезг Э езг + Лз(Е Э езг + езг Э Е)+ + Л4(О1 Э О1+ Ог Э Ог) + Л30» + 2ЛеА, Си»1 = Лгбыб»1 + Лгбзб~бз бз + Лз(б гбзбз + бзбзб»1)+ + Л4 ((бгб~ + бзгб~г)(бгбе + бабг) + (б~б~ + баб~1)(бгба + з +ЛЗ ~~' бабабаба+2Л3(б' б~ +б бг ) бз б1)) + (5.76) ан1 Сыы С11гг Сыы С1133 С1133 Сзззз 0 О 0 2Сгзгз 0 0 0 0 2Сгзгз (4С) = сим. Л1+ Лз+ 2Ле Л1 Л1+ Лз 0 Л1+ Лз+ 2Ле Л1+ Лз 0 Л' 0 сим. 2Л4+ 2Ле Лс"13 1/2С1113 о 0 о 2С1113 0 0 0 0 0 2С1ггг 0 0 0 0 2Л4+ 2Ле ,Ггл, — ~/2Лг 0 о о 2Ле ~/2Лг -~/2Лг 0 0 0 2Ле 3.1.
Линейные темзе ные «ннн 291 Тензор ЯС имеет 6 независимых компонент. А - Ромбоэдрический класс (Е, е32,02 йзя): 4С = Л1Е Э Е + Лгезг Э ез г+ Лз(Е Э езг + езг Э Е)+ + Ля(О1 Э Од + 02 Э Ог) + ЛвР3 + 2ЛвА + Лгйзя, С' "' = Л1бд б"' + Л2бзбзбзбз + Лз(бд бзбз + бзбзб )+ + Л4 ((бгбз + бзбг)(бгбз + бзбг) + (бдбз + бзбд)Абз + бзбд))+ + ЛвР ды+ 2Лв(б'~бд~ + б'~бд~) + Лгй яы, (5.77) С1111 С1122 Сдд'д (Яс)— сим. д/2Л2 д/2Лв — д/2Л2 — д/2Лз 0 0 2Л4+ 2Лв 0 .2Ля+ 2Лв Лд+2Лв Лд Лд+Лз Лд + 2Лв Лд + Лз Лн сим. Лн = Лд+ Лг+ 2Лз+ 2Лв Выражения для компонент тензоров Вз и ддзя представлены в цм 1221 (4.40). Тензор ЯС в данном классе имеет 7 независимых компонент.
ТензоР Од Э Од + Ог Э Ог в силУ РезУльтатов УпР.5.1.3, ЯвлЯетсЯ индифферентным относительно А и В- ромбоздрических классов. В - Ромбоэдрический класс (Е,егз, Пз): 4С = ЛдЕ Э Е+ Лгез Э ез + Лз(Е Э аз + ез Э Е)+ + Ля(О1 Э Од+ Ог Э Ог) + Л31ез + 2Л42~, С' "' = Л1бд бы+ Л2бзбзбзбз+ Лз(™дбзбз+ бзбзб )+ + Л4 ((бгбз + бзб~~) (бг бз + бз бг) + (б~бд~ + бзбд ) (бд бз + бз бд )) + + ЛвВзд + 2Лв(б«ьб'д + б'1бдь) (5.78) Спзз /2Сддгз С1133 ЯС1123 Сзззз О 2С2323 ЯСдддз ЯСдпз 0 0 2 С 2323 0 0 0 2Спдз 2Спгз С'д'д — Сд'22 0 0 — 2Лв 2Л2 2Лв Глава 3. Тенер ные нинин 292 ДС 1113 ЯСи13 О О 2С2323 Сии С1122 Сии С1133 С1133 Сзззз О о О 2С2323 О О О 2Сгиз О С11и С1122 ,/2Л3 Π— 1~2Л3 О О О О -2Лз 2Л.1+ 2Ле О 2Л.
('С) = СИМ. Л1+ 2Ле Л1 Л1+ Лз Л1+ 2Ле Л1+ Лз Лл О О О 2Ле+ 2Ле сим. Тензор еС в данном классе имеет 6 независимых компонент. С = Л1Е Э Е+ Лгйз 8 Оз + Лз(Е 8 Оз+ Оз 8 Е)+ + Ла(О1 Э О1+ 02 ® Ог) + 2Лзй, С = Л1б б + Лгбзбзбзбз+ Лз(бгбзбз+ бзбзб )+ +Ле((бгбз+ бэба)(бгбз+бзбг)+ (бгбз+бзбг)(бгбз+ + Лз(б1"бгз+ баб'"), бз бг)) + (5.79) Сии Сига Сизз С1111 С 1133 Сзззз О О О О О О О О 2С2323 Сии— О О О О О О 2Лг+ 2Л3 О 2Лг + О О О 2 С2323 (еС) = сим. С1122 Л1+ 2Л3 Л1 Л1+ 2Л3 Л +Л Л1 + Лз Л/и О О О О 2Л3 О 2Лз сим. Лн' = Л1+ Лг+ 2Лз + 2Л3.
Н - Гексагональнмй класс и Тз - Трансоерсально-изотропный класс (егз Е 2.1, Линейные теиз иые нкции 293 Тензор еС в данном классе имеет 5 независимых компонент. К - Кубический (квазииэвтропиый) класс (Е, Оз): вС = Л1Е Э Е+ 2лггз+ ЛзОл, з С1121 = Л1511бы + Лг(бгзу1+ угбб") + Лз ~~1 б' б' б~б~, (5.80) а=1 Сыы С 1122 С1122 С'"1 (~С) = сим. Л1+ 2Л2+ Лз Л1 Л+2Л+ сим. Тензор еС в данном классе имеет 3 независимые компоненты.
1 - Иэотропный класс: еС = Л1Е Э Е+ 2лгЬ, С'121 = Лгб'уб~~ + Лг(б'зу1+ бау~) (5.81) Л + 2Л, Л, Л, О О О Л1+2Лг Л1 0 0 0 Л1 + 2Л2 0 0 0 сим. 2Л2 0 0 2Лг 0 2Л2 (еС) = Тензор еС в данном классе имеет 2 независимые компоненты. Упражнении к з 5.1. Упражнение 5.1.1. доказать, что если теизор С обладает симметрией вида (З.бу) в какой-либо системе координат, то в любой другой системе координат зта симметрия сохраняется. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2Сгзгз О О 2С2323 2С2323 л о Лз Л1 0 Л1 + 2Лг + Лз 0 2лг 0 0 0 0 0 0 0 0 2Л2 0 2Лг Глава 5. Тензо ные унции 294 Упражнение 5.1.2.
Показать, что имеют место следующие соотношения: О1 Э Ог+ 02 Э 01 = 4(Оз Э езг)г), Оо Э Оо = 4(ег„Э егз)5), а = 1, 2, нз которых следует, что хотя тензоры О1 и Ог не являются индифферентными относительно М-класса, но образованные выше из них тензоры четвертого ранга уже М-индифферентны. Упражненне 5.1.3. Показать, что имеют место следующее соотношение: О1 Э 01+ Ог Э Ог = 4(О3 Э ег)5) — ег Э ег, из которого следует, что данный тензор четвертого ранга является индифферентным относительно Т, Кз-классов, хотя Оо таковыми не являются. Упражненне 5.1.4. Показать, что если в матричных представлениях (5.42) и (5.49) симметричного тензорв третьего ранга убрать уУ2, то в соответствующей линейной функции (5.43) и "обратной" функции (5А9) векторы (Б) и (Т) будут иметь вид; Т т.е. структура матричной записи будет различной в прямой и "обратной" функциях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
