Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Таким образом, представление (а) (5.150) всегда возможно. а Вычислим теперь тензор производной от тг) (5.150) и подставим его в (5.141), тогда получим: дф 810) 81» В.Т' (5.151) в декартовой системе координат Охг, то при переходе в другую систему координат Хг, получающуюся с помощью линейного преобразования в группе С„характеризуемого матрицами А' и Вг, вид зависимости Яг,, г„от Т" "' в новой системе координат не меняется и определяется формулой (5.142). Очевидно, выполнена следующая теорема.
Творима 5.9. Если скалярная функцию ЦТгц" 1") ювляетпсю индифферентной относительно группы С„т.е. длю нее выполнена формула (5.8Ц из п.5.8.1г Гиввв З. тенер ные нинин 310 Перепишем это соотношение в следующем виде: "3 = ~ ~~р (1' ("Т)...1(')("Т))"Н(')("Т), (5.152) 1и1 где введены обозначения для тензоров производной от инвариантов: д1( ) "Н(') = 7 деТ (5.153) и скалярных функций дФ зэ7 д1 ) 7 которые, очевидно, удовлетворяю'г условиям взаимности: (5.154) др7 дрр (5.155) 5.3.4. Потенциальные векторные функции Рассмотрим случай в = 1, тогда потенциальная функция (5.141) имеет вид: э=Да) = д4' да' (5.156) где уу является функцией инвариантов вектора относительно группы С,: 7Р = Ч)(1(*) (а)) у = 1...
и. (5.157) Представление (5.151) для векторной функции имеет вид: дф д17(') " д17'~ е = ~~~ — < 7 — — 5 р7(1(')(а)...1(')(а)) 7, (5.158) Запись (5.152) называется предсизаелениеж оонзенциальной тензорной (брннпии е иэензорнол базисе. В самом деле, любая потенциальная тензорная функция (5.141) может быть представлена в виде разложения (5.152), причем в рамках одной и той же группы симметрии С, одна функция отличается от другой только коэффициентами у7, а тензоры Нт не изменяются.
и (е) Так как полный набор инвариантов 17 строится с помощью образу() ющих тензоров групп "й7 и тензорных степеней от "Т, то и "Н( ) зависит от этих же самых тензоров. Установим далее эти тензоры "Н(,') для и = 1 (векторные функции) и п = 2 (тензорные функции второго ранга) и различных групп симметрии. З.З. Потенциальные тенко ные ницци 311 где ед-, = дЯд1<'~.
2риккиккая сикгокшс в = Е;=1 рт(аы~г аз)ет1 Сг. 'в = ~ зуд,(агав,адаз,адаг)(аде + а ер), а ф)3 ф 7 ф а, а,)у,ч ке 1,2,3. (5.159) Мококииккая синеокие Сз: в = 2(~рдадед+ ргазез) + дрз(адег+ аге,), здд — — Мад, адаг аз) г г я = 2 ~ д Чдтаате-, + тдзез, ~р, = рд(ад, аг, аз), в= ~ 1Рте„+2дРзазез, Уд; = Рт(ад,аг,азг). (5.160) С4 де я Ромбическая сикгокидс Сг: в= 2~ г,дрга.,е-, +9дзез~ ггт — — з'-д(ад г Ст,з: В = 2 ~„~ид дота)7Е,, тдт — — Рт(ад, аг, 2 2 Сикгокиид тетрагональная С, ромбоздрическгя О, гексагональная С, трансверсальная изотропия д', г , аг, аз), аз) (5.161) = 9, 12, 14, 15 = 17,19,20 = 21,23,24,25,27; = 34,36,37; в = 2Удда+ 2едгазез, 1от — — Уьд()а!~,агз).
(5.162) 6, = 10, 13; С, = 16, 18; С, = 22, 26; О, = 33, 35; Сикгокии: тетрагонзльная ромбоэдрическая гексагональная трансверсгльная изотропия в = 2Удда + гдгез, гдт — — <Р.,()а)~,аз). (5.163) Кубическая синеокая, изоидролия С, = 28,...,32,38,39: в = 2уда, ед = ~р((а)~). (5.164) Используя теперь выражения для вектора производной д12 /да, 00 полученного в п.5.2.3, запишем представление (5.158) векторной функПии относительно различных групп симметрии О,. Гиввв 3. Тенер ные нк ии 312 5.3.5.
Обхцее представление потенциальных тензорных функций второго ранга Рассмотрим теперь случай в = 2, тогда потенциальная функция (5.141) имеет вид: Б = У(Т) ев —, до (5.165) где Б и Т - симметричные тензоры второго ранга, а уэ - скалярная функция, зависящая от инвариантов тензора Т относительно группы С,: Ф = Ф(ХР1(Т)), (5.166) Представление (5.152) для функции второго ранга имеет вид: дХР1 Т Б = ~ ~Р„(Х10~(Т),..., ХР1(Т)), (5.167) »=1 где 1о = дФХдХ01(Т).
(5.168) В качестве инвариантов Х„(Т) выберем полные наборы инвариантов 01 различных классов, приведенные в п.4.5.5. Как было показано в п.5.2.5, все зти инварианты являются либо линейными: Х» (Т) =Т 'й» 7 1...п1, (5.169) где й.,', й»' и й»Р - тензоры, построенные с помощью образующих тенэоров групп, а гп - число линейных инварнантов, п12 = е — пзчисло квадратичных инвариантов, тз = т — д - число кубических инвариантов в группе. Тензоры производной от этих инвариантов вычисляются в п.5.2.5 (формулы (5.105), (5.120) и (5.125)), и в общем виде могут быть записаны следующим образом: — =йбй 7=1...»л» =2 йРК1 ° Т у=лз+1...9.
И,", дХ»01 дт ' дт либо квадратичными: ХР1(Т) = Т Э Т ° ° й»11 7 = »л+ 1 ° "Ч (5.170) либо кубическими: ХР1(Т) = Т ®Т ®Т ° ~й~*1, 7 = 9+1...г, т (6, (5.170а) З.З. Потенциеиьные тенер ные ницци 313 67( > — =Зейт('1('1 ° ТЭТ, у=4+1...г. ВТ (5.171) Тогда представление (5.167) можно записать в виде: Б = ~ ~уг й('1+2 ~~1 р ей(*1(4 ° .Т+3 ~~1 уг вй('((4 ° .Тфт, г=г гиы+1 гив+1 (5.172) р, =(;(7, (Т),...,7('>(Т)) = —,, д1.", (5.173) Подчеркнем, что тензоры й( 1, ей(, ~( ~ и ей( ~( ) не зависят оттензора Т, а меняются только при переходе от одного класса симметрии к другому. Таким образом, доказана следующая теорема.
Тиогемя 5.11. Всякая пвпьенииальная тензорная функция (5.165) второго ранга, индифферентная относительно некоторой группы С„может быть представлена в виде разложение (6.172) по тензорным степеням: Е, Т и Т Э Т вЂ” не выше второй степени. 5.3.6. Потенциальные тензорные функции второго ранга относительно различных групп (е, Запишем теперь представление (5.172) потенциальной тензорной функции для каждого класса симметрии. Будем исходить из представления (5.167), в которое подставим выражения для тензоров производной дЯ., /дТ каждого класса симметрии, полученные в п.5.2.6.
00 Представление тензорной функции (5.172) запишем в беэиндексном виде и в компонентной форме в декартовом базисе еь (Е)-Триклинный класс (т = 6, тг = О, тз = 0): ((огег + -'Рз+гог) ~ -г 2 г=1 (5.174) (о,б',бед+-(вз+г(б' б~+бдб')), а ф(г ф уф а, ( " -' 2 7 1 (вг = р., (Т1„Тгг, Тзз, Тгз, Тгъ Тгг). Зля одной и той же группы с, одна потенциальная функция (5.165) отличается от другой только коэффициентами (о „которые являются скалярными функциями (5.173) инвариантов 7г (Т).
(е1 Глава Ь. Танко ные индии здь (Гт)-Ромбоэдрический класс (пд = 2, ттдг = 3, тз = 1): Б = (дрд + 1гдрв)(Е' — ез) + (ттг+ 1грв)е3+ 1т 1 + -(дрз(Од Э Од+ Ог Э Ог) + -~ряОз+ 2д 2 + 2рь(дЗд — -(Од Э Од+ Ог Э Ог) — ее Э ез) — дрв1ддЗд! Т+ увТ, 1 -г -г г 2 8" = (Рд + 1гув)6'д + (уг — ~од — 2рьТзз)бз6~+ + ((ттз — Здоь)Тгз — 'РяТдг) (бгбз + бзбг)+ + ((доз — 2Уь)Тдз+ — (2ы — Тгг))(бдбтз+ бзбд)(2(дР4 — Рь)Тдз+ 2 + уя (Тдз(бдбд — 6,'б',) — Тгз(бдбг + бгбд))+ + (2дрь 1дгтв)2 + фв2и Т (5.180) г г 'Рт = тРт(2и + Тгг,Тзз, Тдз+ Тгз, Тдз(Тдд — Г'гг) — 2ТдзТгз, Тг, + Тггг+ 2Тгг,йеь Т).
(К)-Квазиизотпропный класс (тп = 1, пьг — — 2, тз = 3): Б = (уд+ 1гув)Е+ (2ьтгОь+ ттз(а — Оь — ттв1д а) ''Г+ + (З~ря О„+ Зуд О,„+дрвг1 ° А) ° ° ТЭТ, з Бы = (дрд + 1г~ов)63 + ~~~ (2~рг — ~рз+ ЗдряТоа)бабаТло+ вид + (уз — 1дрв)Т" + рвТ™Т~т + — (ТдгТдз(бЯ + бз бт)+ 2 + ТдгТгз(бд бтз + бзбд ) + ТдзТгз(бдбг + бгбтд)) (5.181) р~ = уг (7 ы + Тгг + Тзз, Тд, + Тгг + Тзз, Т;з + Тгз + Тд г, г г г г г г Тдд + Тгг + Тзз, ТгзГдзГгз, йе1 'Г). (Н)-Гсксагоналаный и (Тз)- Трансверсально-изотпропный классы (т = 2, тг = 2, тпз = 1): т1 Б = (Уд + 1гдрь)(Š— езг) + (до + 1гдоь)е~з+ ~-1сз(Од Э Од+ Ог Э Ог)+ ~2 1 + 2дря(д!д — -(Од Э Од+ Ог Э Ог) — егд Э ез — ~рь1ддХ)) ° Т+ <рьТ, 5.4. Квазилинейные тензо ные нкции 217 У~ = ()ог + 1г9зз) гйз + (1ог — 9зг — 29зеТзз)55651+ + (9зз — 2ре)((бгбз+ Езбг)Тгз+ (ЕЯ+ два)Тгз)+ + (29зе — 1г)рз)Т'~ + рзТ'"Т"~, (5 182) 9зз = 9зз Я г + Тю, Тзз, Тгз + Тгз 2 ы + Тгг + 2Тггг, бег Т) .
-г -г (1)-11зотроиный класс (т = 1, тг = 1, тз = 1): Б = (9зг+1гуг+)грз)Š— (рг+ 1грз)Т+ )озТг, (5183) Уг = (9зг+129зг+ 9зз)е ~ (9 2+ 149зз)Ту+~рз1 Т~з, 9зг = узз(11(Т)112(Т)113(Т)). Функции у во всех соотношениях (5.174)-(5.183) потенциальны, т.е. удовлетворяют соотношениям взаимности: д9, д9, (5.184) д1~*) д1~ ) о 7 Сделаем ряд замечаний к представленным выше выражениям. 1. В двух классах симметрии, М-моноклинном и О-ортотропном, потенциал ф, а, следовательно, и коэффициенты )оз, удобно рассматривать как функции не шести, а семи инвариантов (среди хоторых, естественно, только шесть независимых): в М-классе добавлен инвариант 17 — — Тгз, а в О-классе — инвариант 17 — — Т г. В этом (М) г )о) случае выражения для потенциальных функций Уу(Ты) становятся симметричными: в М-классе — по отношению к индексам 1 и 2, а в О-классе — по отношению ко всем трем индексам. 2.
Инварианты 12 и 12, входящие в представленные выше тенэорные функции, всегда могут быть выражены через инварианты 1 со)з) ответствующего класса симметрии (см. упражнения к 24.5). Ъ'пражнения к 2 5.3. з пражнение 5.3.1. Исходя из общею представления (5.172) потенциальных тензорных функций и формул п.5.2.б для тензоров производных д1у /дТ, до(з) казать справедливость представлений тензорных функций для различных групп ьзз, приведенных в п.з.э.б. 2 5.4. Квазилинейные тензорные функции 5.4.1. Определение квазилинейных функций Рассмотрим потенциальную тензорную функцию второго ранга (5.155). Как было показано в п.5.3.5, ее всегда можно представить в виде разложения (5.172) по тензорному базису относительно каждого класса симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
