Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Покажем их независимость. В классах Е, М и О системы инвариантов (4.163), (4.164) и (4.165) являются независимыми, так как каждый из инвариантов содержит хотя бы одну компоненту Т", которая не входит в остальные инварианты системы, и тем самым выполнено условие 2' теоремы 4.18. ,Пля доказательства независимости системы инвариантов (4.166) в Глава 4. Инни е ентные тенер ыи инва иваты гео Т-классе составим матрицу частных производных: 1 0 0 0 0 0 0 0 2Тдз 2т„ о о Тдг ты — Тгг 0 Вы Вдг Вдз (4.176) Здесь введено обозначение для производных: В;, = д(д1ед Т)/дТ'д = ддед Т(Т ');,. Вычисляя определитель этой матрицы, находим Хд = 41е1 (дХ /дТдд) = 4(Ты — Тгг) (ТгзВдз — ТдзВгз). Поскольку всегда существуют такие Т<,, что д5 ф О, например, при 1 2 3 — 1 3 — 2 (Т<,) = 2 4 5 и (В;,) = 3 — 3 1, (4.177) 3 5 6 — 2 1 0 получаем д5 = -468), то гапб (дХ /дТду) = 6, из теоремы 4.17 следует независимость системы (4.166).
Аналогичным образом, составляя матрицу частных производных (дХ /дТду), доказываем независимость систем из шести инвариантов (4.167) — (4.170). Матрицы частных производных для Н, Тз классов и класса изотропии соответственно имеют вид: 1 0 0 0 0 0 — 0 0 2тдз 2Тдд 4Тдг 0 1 0 0 0 0 1 0 2Тгз 0 2Тгг 0 0 Вгг Вгз Взз Вдд Вдг Вдз 0 1 0 1 — 2Тдз (Ты + Тзз) — 2Тгз (Тдд + Тгг) Вдз Вгг Вгз Взз 0 — 2Тдг Вдг Вычеркивая в первой матрице четвертый столбец, а во второй— четвертый, пятый и шестой столбцы, получаем матрицы пятого и (Ж) = 1 — (т +т ) Вы 1 0 0 2Тгг тдг Вгг 0 0 0 1 2Тгз 0 0 0 0 0 Вгз Взз 4.5. Инва манты еиммет ачного тенер а ге» третьего порядка соответственно. Убеждаясь, что определители этих матриц для случая (4.177) отличны от нуля: Н, Тз-классы г3 = 8Тгг(ТгзВ»з — ТгзВгз) = -208, Т-класс г3 = 2(7гзВгг — ТггВгз) = 26, находим ранги этих матриц: 5 и 3, соответственно.
Применяя еше раз теорему 4.17, отсюда делаем вывод о независимости систем инва- риантов (4.171) — (4.173). в В силу теоремы 4.24, все другие скаляры из (4.145) — (4.147), явля- ющиеся тоже инвариантами относительно данной группы С„могут быть выражены в виде некоторой функции от инвариантов 1» соот- О ветствующего функционального базиса. В частности, второй и третий главные инварианты всегда можно выразить через 1» любого класса. Другие примеры приведены в упражнениях к данному разделу. 4.5.8. Запись инвариантов в криволинейных системах координат Выше была использована запись инвариантов вектора а и тензора Т через их компоненты в декартовом базисе е,. Однако ничто не мешает записать зти инварианты с помощью компонент а; и Тг в 1 произвольной системе координат: а = а;гь' = а'Вб Т = Т; гс' 8 КР Очевидно, что достаточно записать только неповторяющиеся инвариантные комбинации.
Для вектора из (4.142) следует з (а(г = ~~ а,оУР'Яч = ага', оо а ' ео я\Ро~ а=1 (4.178) аг = аз а е = агагРД", ада = а®а ° й = а<а»РЯ», а ф)уф уа; а,~3,7= 1,2,3. Переход от записи в базисе е к записи в криволинейной системе координат с базисами К; и В.г, очевидно осуществляется с помощью одной из формул: ео ее РгКг = ОоВг. Для симметричного тензора второго ранга инварианты, участвующие в полных наборах, можно записать подобным образом: Т = Т1РЦ., Т = Т1РЯ~, (Т (= ~Т~РЦ (4.179) ТгзТгз = Тг Ть Р(с1 Рг Яг, Гдавае. Инда е ентныетенза ыи инва ванты гвг Т12Т1зТгз Т !Ть!Т Р'Я2Р11Я!2Р2 Яз Ты + Тгг = Т; ! (РЩ~ + Р2Я2). При записи инвариантов в криволинейной системе координат более удобно использовать именно смешанные ко-контравариантные компоненты Т!', в частности из-за того, что первый, второй и третий инварианты при этом не изменяются: з 11 (Т) = Т11 + Тгг + Тзз = ~ Т ! РаОч = Т11 + Тг2 + Таз, (4 180) аа1 12(Т) = — (Т»Т» — 112(Т)) = — (~ц~~„,"Р!!фР ф, — 1~1) = 1 = -(Т„!Т,а — Х1)2, 2 12(Т) = с)еФ (Ты) = Ае1(Т!ХРД') = = Йе1 (Т; )с(е1 (Рь)атее (Ч ) = ЙеС (Т;1).
Здесь Учтены формулы перехода: е = цг Вг, а также взаимообратность якобиевых матриц: РЯ" = 8!. 4.5, !. Запись инвариантов в физических компонентах Часто возникает необходимость связать запись инвариантов в декартовой системе координат и в физических компонентах. Переход к физическим компонентам осуществляется с помощью формул (1.238). Очевидно, что инварианты ~а(г, 1 (Т) не изменяют своего вида и в физических компонентах: (4.181) аа1 1 !3 2 12(Т) = — ~~! ТЕ Т д — Х12, 1з(Т) = ае$ (ТЕ!з ), а,!3а1 где а = ай;е» Т = Т;! е; !8! е, (4.182) а е; - физический (ортонормированный) базис криволинейной системы координат. 4.5.
Инва канты симмет ичного тензо а 263 Остальные инварианты в физических компонентах записываются следующим образом: з з оо ~~' оф33зггу3333Ро 1 по )' офргзфте Е о Узз ~ 1 (4 183) 13=1 33,7м1 у У 77 з Усе Рви~7 Ооп7 ш,/~ афе11фе з 33зяе' е,с=1 ЧУ ° Инварианты тензора имеют вид: з з Т1зТзз = ~~~ у ТфеТфнР1 1Е,Р1 Яр1 ", (4.184) з г .',г = 1' г' (Р с,-';Р о',3 е,с=1 Усе з з Т1З+ТЗЗ = ~ ~ ТфеТФФ, (Р1 ЯкР1 Ят+РЗЯРРЗ Чр) 1 е,е=1н,фм1 ', УыУ„ и т.д.
Упражнения к З 4 б. Ъгпражнение 4.5.1. Используя соотношение мюкду Е7(Т) и собственными значениями Ло положительно-определенного тензора Т, а также свойства Е, (Т) — ЗЕг(Т) = — ((Л1 — Лз) + (Лз — Лз) + (Лз — Л1) ), 2 показвтзч что имеют место следуюшие неравенства для инвариантов: Е1(Т) ~ ~ЗЕз (Т), Ез(Т) ~) 3Ез (Т), Е11(Т) ) ЗЕз(Т). з Т..= ~ Т',Р.д„~ —, 33 о Ур33 "У' У з Т„= ~ Т;.РУ4);, У— ", с, Р=1 Глава4.
Инду е ситные теизо ыи инва ленты 264 5гпражнение 4.5.2. Показать, что второй и третий инварианты Хг(Т)„ 13 (Т) выражаются через полный набор инвариантов моноклинного класса следующим образом: ( (М) Х (Т) 1(М)(1(м) ) 1(М)) ) 1(М)1(М) 1(М) 1(м) 6 2 1 г з г з 4 5 ~ (м) (м)( ~14 15 (м) 2 1(м)1(м)1(м) 1(м) 16 (м) (м)г 3( — 1 г з з (м) (м) 1 14 15 1(м)1(м)2 21(м) 2 5 6 в сквляр Тгз также являетсе инваривнтом относительно М-класса, т.к.
2 Тг 1(м)2/1(м) 23 6 5 .г'пражнение 4.5.3. Проверить, что скаляр (ег ° Т) ° .(ег ° Т) = Т12 является инваривнтом относительно ортотропного класса О (т.е. проверить выполнение условий (4.131)), но уже не является независимым, т.к. выражается (О) через полный набор инвариантов Хт Тг 1(о)г((1(о)1(о)) Ъгпражнение 4.5,4. Показать, что скеляры (Т12), ТпТгг, )Т11 — Тгг~ в также Ег(Т) выражаются через полный набор инвариантов тетрагонального класса Ез (т)г '~ 112 15 ) (Т)2 (Т) (Т12~ — (т) (т)2 ! Т11Т22 = — (Х1 — 11 ), (,) 2 (Тп — Тгг( = (2Х4( — 11 ) (~, (т)г Х (,У) 1(Т) 1(Т) (1(т) 2 1(Т) ) 1(Т) 5 1 2 2 1 4 3 (т) (т)г 214 -1, и поэтому являются инвариантами относительно (Т) -класса.
4.2. Инва канты симмет ичноготензо в Унрнжнение 4.5.5. Показать, что скаляры Тп722, )Тг2 — Тгг) и 12(Т) вы- (К) ражвются через полный набор 1» Кз-класса и поэтому являются инвариантвми относительна кввзитрансверсально-изотропного класса; в частности 1 (Т) 1 (1(в)2 1(Ф)) + 1(Ф)1(ж) + 1(Ф) + 1(Ф) 2 Упражнение 4.5.6. Поквзвтгч что сквляры ТпТ22 — Тгг, (Тп — Т22) + 2 2 .(-4Т, Т + Тгг + 2Тгг, а тюгже 12(Т) выражаются через полный набор ин- 2 2 2 2 (А) вариантов А-ромбоэярического класса 1.
(Тп — Тгг) +4Тгг = (4) (14 +1з ) =ХА, г 2 з (А)2 (А)2 Хз ТгЛ22 722 = -(12 — 1А), 2 1 (А)2 4 Тп+ Тгг+ 2Тгг —— -(1, + 1А), 2 2 2 1 (А)2 2 1 (Т) = 1(А)1(А) — 1(А) + ~ (1(А)2 1 ) 4 1 и поэтому являются инваривнтами относительно (А)-класса. Упражнение 4.5.7. Показать, что скаляры ТпТгг — Тгг, (Тп — 722) + 2 2 +4Тг2, а также 12 (Т) выражаются через полный набор инвариантов яюз-ромбоэл- 2 (в) рического класса 1» ТпТ22 Т,г — — (12 — 12 ), г 1 (в)г (в) 2 (Тп — Тгг) + 4Тгг — — 21з — 1„ г г (В) (В)2 1 (Т) 1(В)1(В) + (1(В)2 1(В)) 1(В) 2 УнРажнение 4.5.8. Показать, что скеляры 7п72г + Т22Тзз + ТггТзз, ТггТ22Тзз, а также 12(Т) выражаются через полный набор инвариантов г(гс) К-квазиизотропного класса з г Хд =ТггТ22+ТггТзз+ТпТзз = -(Х, — Хг ), (Вг (а ТпТ22Тзз = -1 + -Х вЂ” -12 12 ) (г)) Х (Е)з ) (Е (Е) 3 6 ' 2 1,(т) зс Х„- 1('" Глава 4.
Инда е нтные тензо ы и инда ванты 266 и являются инваривнтами относительна (К)-класса. 'Упражнение 4.5.9. Показать, что сканеры Т11Тгг — Т12, (Тп — Тгг) + 4Т12, а также 1г (Т) выражыотся через пенный набор инввриантов Н и Тз клас- 2 (Н) (3) сов Хт ипн 17 таким же образом, как показано в упражнении 4.5.7, и являются инвариантами относительно (Н) и (Тз) кпассов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
