Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Опгндвлннин 2.8. Вещественное линейное простпранстпво назовемм е в к л и д о в ы м Еа, если в нем определена операция с к а л яр и ого умножения, котпорая любой паре вектаоров а и Ъ сопоставляет вещественное число, обозначаемое как а ° Ь, и котаорая обладает следующими свойстпвани| 1' а ° Ь=Ь ° а; 2' (а+Ь) ° с=а ° Ь+Ь ° с; 3» (ва) ° Ъ = в(а Ь); 4» а ° а ) 0 (причем равенство достпигается только если а = 0); где в — произвольное действительное число. Длиной вектора а называют число: (а~ = (а ° а)~|~. Имеет место неравенство Коши-Буняковского: а ° Ь < (а((Ь), (2.12) доказательство которого следует из соотношения: (ра+дЬ) ° (ра+дЬ) = р'~а~~+2рда ° Ъ+ у~~Б~~ ) О. (2.13) Здесь р и о — произвольные числа, в качестве которых можно выбрать: р = ~б~з, в = — а ° Ь, что и приведет к неравенству (2.12).
Векторы а и Ь называют ортогональными, если а Ь = О. Систему векторов аз...а в евклидовом пространстве называют ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогонзльны. Тногнмй 2.8. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. т Для доказательства предположим противное, т.е.
существует ортогонвльная линейно зависимая система векторов ет... е, для которой в~аз + ... + в™а = О. Умножая это соотношение сквлярно на произвольный вектор а;, получим, в силу ортогонапьности, что все слагаемые в сумме обращаются в нуль, кроме в'~а;~ = О. Так как а, — ненулевой, то, в силу аксиомы 4', (а;) ф 0 и, следовательно, в' = О. Поскольку индекс т был произволен, то все коэффициенты в' = О, что противоречит условию (2.1) линейной зависимости. Это противоречие и доказывает теорему.
а Ортогональная система ет...еа, все векторы которой имеют единичную длину ~е;( = 1, называется ортонормированной. 2.1. Линейное п-ме нос п ост енство Творима 2.9. В и-мерном евнлидовом просгпранстве суи1ествует ортпонормированная система иэ п вентпоров. т Докажем эту теорему по индукции. Если н = 1, то выбрав ненулевой вектор а, образуем из него вектор единичной длины: е = а/~а(. Тогда теорема будет справедлива. Предположим теперь, что в каждом (н — 1)-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис и перейдем к н-мерному евклидовому пространству Е„.
Выберем в нем произвольный базис аз...а„, тогда линейная оболочка векторов аз...а„ 1, согласно п.2.1.4, образует (н — 1)- мерное евклидова пространство с'„' „ и по индукции в с„' 1 существует ортонормированный базис е1...е„1. Введем далее вектор а'„= а„— взе1 —... — з„ге„1, где коэффициенты з1... в„1 определим по формулам: в; = а„° е;, и на его основе построим вектор е„= а,',/~а'„). Длина этого вектора е„равна единице, и он ортогонапен ко всем векторам е1...
е„1, что легко проверяется непосредственно. Тогда система векторов е1...е„зе„будет ортонормированной. Теорема доказана. й Метод построения, использованный при доказательстве, называют методом ортогонализаиии Грома-Шмидтпа. Пусть теперь имеется и-мерное евклидова пространство, тогда в нем можно выбрать базис ез...
е„и ввести матрицу дб из попарных скалярных произведений: д; =е< ° е, з,у =1...п, (2.14) эта матрица называется фундаментальной или матрипей Грела. Если для базиса е1...е„фундаментальная матрица является единичной: дб = Бб = ( з, у = 1,..., н, (2.15) (О, вфла, 1, в=у, то такой базис называется ортонормированным, где 41 — и-мерный символ Кронекера. Из теорем 2.8 и 2.9 следует, что в и-мерном евклидовом пространстве С„существует линейно независимая ортонормированная система п векторов, которая, согласно теореме 2.4, является ортонормировалным базисом в ов. Упражнения к З 2.1. Упражнение 2.1.1. Локвзвть, что линейное прострвнство С с аксиомами 1с ос ° ° .8 овладеет единственным нулевым вектором О, в противополоиный элемент (-а) длз возного а б С также звлкетсз единственным. Упражнение 2.1.2. Локвзвть, что длк любого векторе а б ь" и любого й имеют место соотнмленис: Оа = О ( — 1)а = — а ЙО = О.
Глава 2. Тенер ы на линейньпс и ост листвах Упражнение 2.1.3. фу ция Р (х) ивз завес полиномом или целой рациональной функцией от аргумента х, если она может быть представлена в виде Р (.)сх >.й.... с=о где х означает ьую степень числа х из области определения функции, 77 — нвтус ральное или О, д; — действительное (или комплексное) число (дс» у- О).
Локазвтсч что множество всех полиномов Рм (х) степени не выпи заданной гд ( и образует линейное пространство. Упражнение 2.1.4. Локазвты что любая система аз... а» векторов линейного пространства С, включаюпсая в себя нулевой вектор, является линейно зависимой. Упражнение 2.1.5. Доказать, что каждая подсистема линейно независимой системы из з. сама является линейно независимой. Упражнение 2.1.6. Показать, что компоненты а' вектора а Е С в базисе ЕЗ определяются однозначно. Упражнение 2.1.7. Доказать, что мнозсестео все с тензорое второго ранга, введеннык геометрическим способом по формуле (1.104) с операциями (1.105), образует линейное пространство. Упр 2.1.3. Доказать, что множество всех квадратных и-мерных матриц образует линейное П-мерное пространство.
Упражнение 2.1.9. Показать, что скалярное произведение векторов а и Ь из Е» можно представить в виде: сс Ьг дсуа'й( где и и (сз — их компоненты в некотором базисе е;. Бели же этот базис ортонормированный, то » а ° Ъ = йс)а'йз = ~ лафа. ал1 Упражнение 2.1.10 Показать, что в п-мерном пространстве любая линеино независимая система из И векторов является базисом. Упражнение 2.1 11. Доказать, что множество всех непрерывных функций одной независимой переменной х, онределенны:с на отрезке [О, Ц, образует линейное пространство. 'Упражнение 2.1.12.
Показать, что пространство всех непрерывных функций одной переменной, определенны;с на отрезке [О, 1], является бесконечномерным. Упражнение 2.1.13. Мнозсество )(з", элементами которого являются упорядоченные совокупности 7З произвольных действительных чисел (Х,..., Х ), 1»с называется прпфмеглпчсским простпрвиспзвом. Показать, что Оз" является П-мерным линейным пространством. Упражнение 2.1.14. Показать теорему ит. Упражнение 2.1.15. Пусть С' и Сл — два линейных пространства размер. ности и и гд.
Доказать, что сй (С'+Сл) =б Е'+бсвпСл — осин(С'ПСл). 2.2. Мат ицыо го цо ицка 2 2.2. Матрицы л-го порядка 2.2.1. Определение матриц л-го порядка В трехмерном пространстве в первой главе мы использовали только квадратные матрицы размером 3 х 3, например, для обозначения компонент тензора: А', г, у =1, 2, 3. Действия с и мерными векторами требуют введения матриц большей размерности. йгапгрицеб размером ог х и называется совокупность из глл чисел, расположенных в виде таблицы из кг строк и и столбцов: А~э Агг ...
Аг„ Аг Аг, Аг (2.16) Аси Аси ... Аси 1 2 ''' и Далее будем рассматривать в основном кецдропсные матрицы, для которых тл = кс А = (А' ) ио (2.17) Будем также говорить, что эти матрицы имеют порядок п и использовать для них обозначение А', где г,у пробегают значения 1...л, либо просто обозначение А (с помощью заглавной нежирной буквы). Числа А', составляющие матрицу, называют элементами мшпрппьь Две матрицы одинакового размера гл х и называют равными, если равны их соответствующие элементы.
Заметим, что матрицы ть-го порядка могут быть составлены из элементов и с другой структурой индексов: (2.18) Вообще говоря, все эти матрицы различны, однако если имеется ннФормация о том, что значения элементов матрицы не зависит от расположения индексов г, у (верхний или нижний), то все четыре матрицы (2.17), (2.18) равны между собой. Так, например, обстоит де"о, когда А' — компоненты тензора в трехмерном декартовом базисе. 1 4 т Тснчсинсс исчисление Глава г. Тензо ы ив линейных и ест внстввх гв Будем далее, если это не оговорено особо, полагать, что такая инфор- мация у нас имеется. 2.2.2.
Основные операции с матрицами С матрицами и-го порядка можно определить те же самые операции, что и с трехмерными, например, транспонирование матрицы Ат: А1, ... А"1 Ат=(Ат )= А1 1в (2.19) Сумма двух матриц и-го порядка А и В есть матрица С п-го порядка с компонентами: С' = А' + В' . Нулевая матрица — зто матрица с нулевыми компонентами. Противоположная матрица ( — А) — это матрица с компонентами ( — А' ). 3 Умножение матрицы на число вА образует матрицу и-го порядка с компонентами (вА'1).
Перечисленные свойства позволяют сделать вывод о том, что множество всех квадратных матриц порядка и образует линейное пространство Е, "векторами" которого являются сами матрицы (см. упр. 2.1.8). Матрица А является симметричной, если она совпадает со своей транспонированной: А = Ат. Матрица А называется кососимметричноб, если А = — Ат. Единичная и-мерная матрица Вв имеет единицу на главной диагонали и нулевые остальные компоненты: (2.20) Матрица А называется ортогональной, если ее умножение на свою транспонированную матрицу Ат дает Л„1 А Ат Я (2.21) Опгндипннив 2.9. Скалярным произведением (или простпо произведением) матриц А и В и-го порядка называется моторино С и-го порядка с компоненталт С' = А'ьВьу, где 1',),й = 1...п, а по й идет суммирование.
2.2. Мвт ивы п-го по ияив 99 т.е. каждый злемент матрицы С' есть результат умножения координатной строки (А11... А'„) на координатный столбец (В1 ... В", ) Скалярным произведением матрицы А размером т х и на координатный стполбец а = (аз...а")2 называется координатный столбец Ь = (51.... 5"')т, компоненты которого вычисляются по формуле: 51 = ~ ~А' ад у Уы1 (2.23) 1 = 1,...п, нли иначе Ь = А ° а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
