Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(5466) Если Т вЂ” кососимметричный тензор, то необходимо вместо (5.465) ввести следующий аргумент: (5.467) а затем, после вычисления производных в (5.464), учесть кососимметрию Ты = — Т'". Формула (5.459) в этом случае примет вид: Б г = — — '7 К' Э К~ Э (В» Э В~ — В~ Э В.").
(5.468) 2 дТы 5.8.3. Производная произведения скалярной и тензорной функций Пусть Зе(Т) — скалярная функция, а Б(Т) — тензорная функция от одного и того же тензора. Вычислим тензор производной от их произведения, применяя определение (5.464) для функции (рБ), в результате получим: х В ' Э В1 Э Вь Э В~ = Б Э фт + фБт. (5.469) Здесь мы использовали определение (5.88) тензора производной от скалира фт, определение (5.464), а также применили обычное правило дифференцирования произведения функций. Подставляя (5.469) в (5.463), получим выражение для дифференцирования произведения скалярной и тензорной функций: б(ФБ) = (Б Э Фт+ ФБт) дТ*. (5.470) 5.8.4.
Производная произведения тензоров Подставим в определение (5.464) вместо Б произведение Б ° В, где Б = Х'(Т) и В = С(Т) (5.471) З.е. Скаля ные нклнннееколькнхтензо ныхв г ментов Зев — тензорные функции от одного и того же тензора Т. Тогда получим (5 В) т = — ыд а„б) В' Э В. Э В" Э В.' = дТы ы ~ д д ~ т | ~ | ~ ~ и и ~ Е и ~ ~ ~ | ~ ~ ~ | | ~ ~ и ~ и т д д ~ ~ ~ ~ С ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ | дТге — '" В.' Э (В." ° В. )бебе Э Кбб + =( — ' дК„ ь! мх +г К' ЭВ.н К ЭВ.1 ~бгбе) Э К~ Эхе~ = дб дТге дТге — '" В.' Э К" Э Вг Э В.Я ° В.~ Э Кь ° В.
Э КУЯ,„+ =('— ' ' ямб + у;„Ж Э В.н ° 1 В Э Вб Э ВгЭ дС 1 дТге ЭВ9 ..Я, ЭВ„) Э Вь ЭЯ~ (5.472) Здесь несколько раз использовано свойство б~бе = ВЯ ЭВе. В~ Э В.ь. Последнее выражение можно переписать следующим образом: (Б В)т = ((Ят' К~ Э Вь) В+ Б (Вт 'Ве Э Кь))Эхс~ЭВ~ (5.473) Таким образом, формальное правило дифференцирования произведения функции для тензорных функций уже видоизменяется. Используя свойство К" Э В.' г(Тт = В." Э К' Вн Э В.г(Тб = 6Т~' и выражение (5.473), получим для дифференциала от произведения тензорных функций следующее выражение: ~4(Б В) = (Бт ч(Т ) ° В+ Б Вт сПт (5 474 3 5.9.
Скалярные функции нескольких тензорных аргументов 5.9.1. Определение скалярной функции нескольких тензорных аргументов В механике, кроме рассмотренных выше скалярных функций одного тензорного аргумента, иногда применяются скалярные функции, аргументами которых являются одновременно несколько тензоров: (5.475) где ~ Т~ 1 — тензор ранга т, или в компонентном представлении: згх Г(т"-'- т"-'-,...Т"„'-""-). я ~ (ц ' (г) '''' (я1 Глава 3. 'Гензо ные ненни Опгвдклвние 5.11. Отображение декартова произведения и простпранстпв тенэоров Тз " (К ) (к = 1,...п) в простпранстве И называют скалярной тенз орной функцией от и тенэорныг аРгУментов и обозначают как зт Тз» х... х Тз~ " — + ее~ или в виде зависимости (5.475). При переходе из одной системы координат Х' в другую Хн значение такой скалярной функции не меняется: 1(Т"'"'"' ...Т""а"") = У'(Е ...О' ' Т " Т '"' "") (5,477) В то же время вид функции )' при таких преобразованиях может ме- няться.
5.9.2. Индифферентные скалярные функции нескольких тензорных аргументов Опгеделение 5.12. Если при любыг линейныэ преобразованиях вида (з.1) относительно группы О, вид самой функции 1' не меняется, то топкую скалярную функцию ф.475) наэываютп индифферентной относитпельно группы О,т 1" (Т<,'"' "',...Т",,"'~ ") = 1 (Т '"' "',...Т<'„'"'""), (5.478) где компоненты тензоров преобразуютпся следующим образом: Т('1" "' —— Т(')" "'А" ...А "';, о = 1...п, Ч(А'ь) Е О,.
(5.479) 5.9.3. Совместные инварианты нескольких тензоров Индифферентная относительно некоторой группы О, скалярная функция нескольких тензорных аргументов, очевидно, является инвариантом относительно данной группы О,. Построенные таким образом инварианты называются совместпными инвариантами тензоров 'Ттт)... "Тб» относительно группы преобразований С,. Будем обозначать их буквой д( 'Тб» ... "Т~„1). Среди всех совместных инвариантов и тензоров относительно данной группы С, можно выделить функционально независимые. З.з. Сваля ные нхиии нескольких тенер ных а г ментов Зтц Опрвдвлвнин 5.13.
Систему совместпкых инвариактов д (Т~'~" ' ...Т('„'1" "), ст = 1...г, тензоров 'Т(В... "Ття1 относительно группы С, называютп функционально независимой, если для любой нетривиальной функции 1(,УМ... Хг) отп зтпих инвариантов кайдутпся тпакие значения У ',...Т)'', ", что (от У(д (т'" "' ...т'„'-' "),...д„(т(,'" ' ...т'„'"' ")) ~4 0. В протпивном случае система совместных инвариантов наэываетпся функционально зависимой, Опгклилвнив 5.14.
Система функционально независимых совместпных инвариантов, с помощью которой функционально можетп бытпь выражен любой другой совместный инвариант откосителько тпой же группы С„называетпся функциональным базисом совместпных инвариантное тпензоров Ят' Т~ц... Ят" Т1„р Замечание 1. Также как и скалярные инварианты одного тензора (см. замечания 1 — 3 к определению 4.4), совместные инварианты ,7(Т(,'" "' ...Т'„'"'"") можно рассматривать как функции вида д: Кь — + зе~, где Й = Йт + ... + Й„, а Й вЂ” число независимых компонент тензора Т< '"' " . Такой подход позволяет формально применить уже доказанные результаты пп.4.4.2 — 4.4.4 для случая совместных инвариантов, просто формально увеличив число компонент тензоров.
Теоремы 4.17 — 4.19 при этом также имеют место для совместных инвариантов, если под компонентами т1""з" подразумевать набор компонент всех и тензоров: (е1п" з") = (У<'~"' ',..., Т(„'~"' "). Из теоремы 4.17, примененной для совместных инвариантов, вытекает следующее утверждение. ТИОРИМА 5.20. Число х независимых совместпных икварианпьов 'Т(11... "Т~„~ в функциональном базисе не может быть балете суммарного числа Й независимых компонент всех этих тпензоровт х < й = йт+...+й„т где й — число независимых компонент тпензора Т( р Если же, как и в случае инвариантов одного тензора (см.п.4.4.5), способ выражения одного совместного инварианта через другие ограничен полиномиальными соотношениями, то число р кеприводимых совместкых инвариантное (т.е.
тех, которые не выражаются полиномиально через другие), образующих минимальный рациональный базис, может быть больше й. В дальнейшем нас будут интересовать только функционально независимые совместные инварианты. Глава 3. Теиво иые иииии 332 5.9.4. Функциональные базисы совместных инвариантов двух симметричных тензоров Рассмотрим наиболее частый для механики сплошных сред случай — совместных инвариантов двух симметричных тензоров Т и В второго ранга: ,1(') =,1(')(Т,В), у = 1...2, 3 = 1...89. (5.480) Тогда, согласно теореме 5.20, максимальное число 3 элементов в функ- циональном базисе совместных инвариантов относительно какой-либо группы С„являющейся подгруппой полной ортогональной группы 1, не превышает й = 12: (Е)-Триклинный класс: 1(н) = 1(н)(Т), 13 1(н)(В), а = 1,...6, (5.481) (Т11~ Тггт Т331 Тгз~ Т13~ Т121 В11~ Вгг~ ВЗЗ~ Вгэ~ В13г В12)~ (М)-Моноклинныб класс: Х(м) = 1(м)(Т), а = 1,...6; (5.482) ,9 = 1,...4,6,,11(1 = (егг Т) (егз В), 1е+3 —— 1р (В), (М) (М) (Т11, Тгю Тзз, Тгг Т,з, ТгзТгз, В,1, Вгг, Взз, Вгг, Т13В13, ВгзВгз), 2 =12.
2 < 12. Совместные инварианты 1», также как и инварианты одного тен(! зара, могут быть образованы с помощью операций свертки направляющих тензоров О в данной группе с каждым из тензоров Т и В, а также их тензорными степенями: Тг, Вг, Т В и т.п. Инварианты каждого из тензоров 1» (Т) и 1» (В) также могут (е) (е) входить в функциональный базис совместных инвариантов. Однако простое объединение таких инвариантов 1» (Т) и 1» (В) даже в слу(е) (е) чае, когда их по шесть штук, относительно той или иной группы С, не обязательно образует функциональный базис совместных инвариантов.
Ниже приведены функциональные базисы независимых совместных инвариантов двух тензоров для различных классов симметрии, в скобках представлены явные выражения совместных инвариантов через компоненты Ту и В( тензоров в декартовом базисе ег. З.з. Скала ные нкииинееколькиктенво ныла г ментов ЗВЗ (О) - Ортоидронньдй класс ,рдтт) =Ут~)(Т), а =1,...6; Ее+в = Уз~ )(В), )3= 1,2,3,6, (5483) ,Уд, ) = (ег ° Т) ° (ез ° В), Удо = (ег ° Т) ° (ез ° В), г г (Ти, Тгг, Тзз,Тгз, Тдз, ТиТдзТгз, Ви, Вп, Взз, ТгзВгз, ТдзВдз, ВдгВдзВгз) и = 12.
(Т)-Тетарагональный класс: 1(т) — 1(т) (Т),т ке 1 Удо = Ф ез)'Т''(ез ° В), Удг = -Те)В ° ° Заел, тт) -г -г тт) 1 ,Удд —— Т З В Оь — Ег( (Т)1г( (В), (5.484) (Тп+Тп, Тзз, 7дз+Тгз Тдд+Тгг Тп(7и — Тгг), дед Т, Вп+Вгг Взз, В,э+ Вгз, ТдзВдз+ ТгзВгз, 7иВи+ ТггВгг — ((Тдд — 7гг)Вдг+ (Вдд — Вгг)Тдг)), г = 12. 2 (Кз)-Кеаэикдрансверсально-иэокдронный класс: ,Уо ) =Уо )(Т), а=1,...6; Уе =1 (В), )3=1,2,3, Удо = ( — ез) . Т .
(ез В) Уд( ) =ТЭВ' ' Оь — Ег( )(Т)1г )(В) (5485) 1<"') = -' Т " — 21") — Я'тс) -.К(тс),У(к)) и = д '' до и г в 2 ~ (7п+ Тгг, Тзз, 7дз+7гз, Тдд+7гг, Тдг, йе1 Т, Вп+ Вгг, Взз В,з+ Вгз, ТдзВдз+ ТгзВгз ТддВдд+ТггВггт ТиВп) (А)-Ромбоэдрический класс: 5.9. Оквли ные нклнн нееколькнк тенио нык и г ментов (Н)-Гексагональнтлй класс: 1( ) =1( )(Т), а=1,...5; 1,+р — 1в )(В), )9=1,...,4, (5.489) 1( ) ((Е. -г) Т) (-г В) 1(н) Т В 21(н) 1(н)1(н) (Ты+ тгг, Тзз, Т,э+Т,з, Тгг+Тггг+ 2Тгг, т(еьТ, Вы + Вггс Вззс Вгз+ Вгз, Вгг + Вгг+ 2Вгг ттзВгз+ ТгзВгз -г -г -г -г -г Втгтгг + Вггтгг + 27тгВгг), г = 11.
(Тз)-Трансверсально-изотпропный класс: 1(з) 1(н) (5.490) (1)-Изотпропный класс: 1( ) =1 (Т), 1з( ) = 1„(В), а = 1,2,3, (5.491) ,1()=Т В (т';, -((т',) — Т' Тт;), Йеь Т, В';, -((В'; ) — В' Втт ), Йе1 В, Т ВтьВь ) гее 9. В качестве функциональных базисов могут быть выбраны совместные инварианты (5.481) — (5.491). т Рассмотрим изотропный класс. Выберем такую ортогональную матрицу А(, которы преобразует базис е; в собственный базис е; тенэора Т, т.е. ет = А'т е ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
