Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Тногнма 5.22. Всякую псевдопотпенциальную таензорную функцию (5.5357, индивту»еренпзную отаносипзельно еруппы С„можно предспзавитаь в виде разложения по таензорному базису Н(,') т 3 т Б = Яр» (,71 (Т,В),...,7(')(Т,В)) Н(,'). (5.539) »м1 Если тензорная функция является потенциальной по другому аргументу Я = У(Т, В) = —, дФ дТ' (5. 540) то формально для нее можно получить точно такое же представление, однако вид тензоров Н„) и их число при этом могут отличаться. 5.10.4.
Псевдопотенциальные тензорные функции для различных классов симметрии Выберем в качестве совместных инвариантов Х, (7 = 1... г) функциональные базисы, приведенные в п.5.9.4, тогда, используя результаты вычисления тензоров частных производных д,7 +,/дВ, содер() жащиеся в п.5.9.8, найдем базисные тензоры Н» . В итоге получим (а) следующие представления (5.539) для различных классов симметрии. Также как и для функции одного тензорного аргумента, введем тензорный базис: и 7(') (5.538) Гнева 3. тенин ные ненни 393 (Ж)-Триклинный класс: представление (5.539) совпадает с (5.174).
(М)-Моноклинный класс: з Б = ~ <о»е»+ -у403+ — (1рз02 Э Ог+ 2 1 1 2 4( 7=1 1 + ~р»01 Э 01) Т+ -уе(01 Э 02+ Ог Э 01) ° В, (5.541) <' <м) <м)'1 У7 Р» 1~1 1''' ~'~13 ) ' (0)-Ортотаропный класс: 3 Б = ~~~ з»»е + — (у401 Э 01+ <2302 Э Ог+ 7=1 + 9>703 Э Оз) ' 'Т + 31ре Он~ ' ' В Э В, (5.542) ~Р» <о» <'~1 1''' ~'713 ) (Т)-Тен1раеональный класс: Р <т< <т>1 <т< <о» = <о» <1А1, А13 ) Аз = де< В.
(Кз)-Коазитрансеерсально-изопьролный класс: 1 Б = (у1+ <о»12(В))Е + (<ог — ~р1)езг + -(01 Э 01+ 2 + 02ЭОг) (<озВ+ Т)+ ~(2<аз — — )Оь — 2<свез Эез+ 'Р4 916 Р Уб -2 -2 2 ~ 2 + — Л) Т вЂ” <о»11(В)В + Зг»В~, (5.544) 'Р» — 'Р» <,А1 ''' 713 ) н13 Р <к) <к>'1 <к) Б = (1Р1+~р»12(В))Е+(<рг — у1)ез+ — 1рз(01Э 01+ 1 2 + Ог Э Ог) (<озВ+ — Т) + < 2<оз(03 — ез Э ез) + -<оеььзл) Т— 'Р4 -2 -2 1 2 4 — Р»11(В)В+ Р»В2, (5. 543) Ь.10. 'Генко ные нкини нескольких тенер ныхв г ментов ЗВВ (А)-Ромбоэдрический класс: У» = Ют (дг," 1гз ) . (В)-Ромбоэдрический класс: 1 Б = (~Рг+ ~Рт1г(В))Е+ (Уг — Уг Рб1г(В))ез+ -(Ог Э Ог+ 2 'Ре 1 + Ог Э Ог) .. (<рзВ + ( — — ~рб)Т) + (рв Ь + -~рь1Эз) ..Т— 2 ) 4 — 1,(В)В+ Вг, (5.546) ~рт = Ут (1,"',..., 1,'з ') .
(К)-Кваэиизотпропный класс: Я = (~рг+~рт1г(В))Е+(рг — — )Оь 'Т+ — Т+ 'Рз ~рз 2 2 + (~ре — ~рь)(Т ° Оь) ° (Т ° .Оь) + рыли 'Т + + ~рв(В ° (Оь ° Т) + (Т ° Оь) °  — (Т Оь) ° (В .Оь))+ + «.т(В'- 1,(В)В), (5.547) 1,(Е) (ей Ут = Рт ~ 'г,..., 1гз ) . (Н)-Гексагональный и (Тз)-Трансберсально-изотпропный классы: Б = (уз + ~рв1г(В))Е+ (~рг — 1ог — уь1г(В))езг+ 1 'Ре + -(Ог Э Ог + Ог Э Ог) ..
( етзВ + ( — — ~рь)Т) + 2 2 + уьТ вЂ” ~рб1г(В)В + ~рбВ, (5.548) 1 <н> (нй Рт ~рт ~~11 ~''" '11г / ' Я = ~рг(Š— ез) +(уг — 1г(В)ьтт)ез+ -(Ог Э Ог+ Ог Э Ог) (узВ+ -г -г 1 2 ~Р4 1 1 + ( — — щт)Т) + (~тзз + -'Рьзэз+ Резьбе) 'Т, 2 4 (5.545) Гиввв З Тенер ные иванн (1)-Изотрооныб клаас: Б = Мг+ Р211(В) + (2212(В))Š— ()ег+ (оз11(В))В + (озВ2+ +)геТ+'РзТ + Ре(Т ° В+ В ° Т) +Уг(Т ° В+ В Т), (5.549) 1 (1) (гй )27 )27 ('11 ~''' ~'110 / ' В этих представлениях кроме функциональных базисов совместных инвариантов 17 (7 = 1...2) добавлено еще по одному инварианту 112 (для Н- и Тз-классов — это 112 ), которые являются зависимь(ми, (е) (Н) однако их введение обеспечивает возможность предельного перехода к функции одного тензорного аргумента Б = У(Т): — У(Т, Т), если положить В = Т. Если же такой предельный переход не учитывается, то все функции (ог, соответствующие инвариантам 1 ': у17 = ду)/д112, можно положить равными нулю.
Лля Н и Тз классов то же самое относится к функции Ре — — дФ/д112 (н) Добавочные инварианты имеют вид: 112 = 112 = (ег Т) (ез В), (М) (О) -2 -2 11з — — 11з — — 11з —,1,з —,712 — де( В, (5.550) (т) (к) (в) (® (и) 1(л) Т В 21(л) 1(л) 1(л) 13 10 2 8 Зля изотропного класса добавочные инварианты не вводятся. ГЛАВА 6 ТЕНЗОРНБГЙ АНАЛИЗ э 6.1. Ковариантное дифференцирование 6.1.1. Символы Кристоффеля Пусть в пространстве Кз кроме декартовой системы координат Ох' имеется некоторая криволинейная система координат Х' (1.2), и задано некоторое тензорное поле "й(х), которое в силу (1.3) можно рассматривать как тензор-функцию от криволинейных координат "й(Х').
Рассмотрим простейший случай такого поля — локальные векторы базиса Кь Поскольку система координат Х" (х') криволинейная, то локальные векторы базиса В.; = — (Х') дх дХ' действительно зависят от координат, т.е. имеется векторное поле В., = К;(Хь). Рассмотрим производные векторов базиса дрм/дХз. Поскольку при фиксированных значениях 1 и з' объект дК,/дХ1 тоже является вектором, то его можно разложить по векторам базиса К.: дК /дХ' = Гг,Кь. (6.1) Коэффициенты разложения Г;. называют символами Кристоффеля (коэффициентами связности), они симметричны по нижним индек- Большинство законов физики и механики записывают с помощью дифференциальных соотношений между тензорными величинами.
Так как эти законы должны быть "объективны", т.е. не зависеть от выбора системы координат, то и дифференцирование тензоров должно учитывать это свойство. Оказывается однако, что обычные частные производные от компонент тензора не являются компонентами какого- либо другого тензора, поэтому применяют специальное ковариантное дифференцирование тенэоров, которому и посвящена настоящая глава. !пава е.
тенэо ный ввалив '402 сам: Г» = Г"о т.к. дК; дх дй» оХ» дХ!6Х» дХ' Символы Кристоффеля не являются компонентами тензора, при переходе иэ одной системы координат в другую они преобразуются по закону, отличному от тензорного (см. упр.6.1.1). Вычислим производные от векторов взаимного базиса: дГс»/дХ!. Зля этого прадифференцируем соотношение между В.! и В! (см.
упр. 1.1.5): тогда Умножая это уравнение тензорно на В.!, получаем: дИУ/дХ» = — Г!» Гс!. (6.3) 6.1.2. Связь Г; с д!! —,+ —, — — „= Г»!д!у+ ГВд„+ Г!,д,»+ дд»! дд»» дд!! ! + Г» дн — Гг»дб — Г»дц = 2Г; д!» ° Умножая левую и правую части на (1/2)д», придем к теореме. (6.7) Оказывается, что Г». связаны с матрицей дб. В самом деле, дифференцируя (1.14), имеем: ддб дВ; ° В! дй„оВ! дХ~ дХ» дХ~ ! ' дХ» ' или с учетом обозначения (6.1): дую — „= Г!»В! ° В +В.; ° Г ° В.
= Г;»д! +Г д;. (6.4) Меняя индексы з и», получим: — Г»!дб + Г,!д,!. (6.5) Меняя в (6.4) индексы у и й, получаем аналогично: д!". = Г,',д„+ Г'„,дн. (6. 6) Складывая (6.5) и (6.6) и затем вычитая из полученного выражения уравнение (6.4), получаем с учетом симметрии символов Кристоффеля иды: ЕЛ. Кона кантове да е енн оеанне воз Теогема 6.1. Символы Кристоффеля Г~ опреде ипотся только метрической матрицей д;: (6.8) Отсюда видно, что в декартовой системе координат, где д,у = сопз1, Г =О.
В Часто используют формулу, связывающую символы Кристоффеля Г» с д'~: 1;,а (дд;т дд»' дд» Л 1;т ддна Г„= -д' — + — —. = -д' — '. (6.9) 2 ~,дХ" дХ дХ' ) 2 дХ» Вычислим также с учетом формулы (1.156) производную от д = ае» (д; ) по Х»: дд дд дд;.; дд; — = — — '~ = ддо — '~ = 2дГ» дХ" дд;1 дХ" дХ» (6.10) Из (6.9) и (6.10) получаем, что 1 дд 1 дз/д Г. 2д дХ» /д дХ" ' (6.11) 6.1.3. Символы Кристоффеля первого рода Умножая Г,.д на д» согласно правилам жонглирования индексами, получим Г;,, ат Г,уд, (6.12) — полностью ковариантные символы, называемые символами Кристоффеля первого рода. Лля Гзд в этом случае используют название символов Кристоффеля второго рода.
Из (6.8) и (6.12), очевидно, следуют соотношения между Гу» и метрической матриней: 1 1'дд» дду» ддд '1 Г;»= — ( —.+ —.— — '). 2 (,дХУ дХ' дХ») (6.13) 6.1.4. Градиент скаляра Пусть имеется скаляр 1в(Х"), заданный как функция координат точки М с координатами Х". Гнева В. Тензо ный анализ Опгнднлннин 6.1.
Градиентом скаляра назовем вектор, определенный следующим образом: з7<р =  —. „д1в дХ" (6.14) Здесь '7 - символ Гамильтона, называемый нобла-оператором, который трактуется как действие символического вектора: з7 — Вь —. ь д (6.15) Введем также обозначения для компонент разложения вектора 17~р по базису В~: 6.1.6. Коварнантные производные компонент вектора Рассмотрим теперь произвольное векторное поле а(Хь), заданное в Вз и вычислим его производные по Х": да да'В.; да'; дВ, дХь = дХе' = дХз В-+" аХа = да', / дад = — „В;+ а'ГВВ = ~ — „+ а'Гз„/ В.. (6.16) Величина, стоящая в скобках, называется ковариантной производной от контравариантных компонент вектора и обозначается как даУ ~7еаз = — „+ аТзы.
(6.17) Ковариантную производную от коварионтных компонент вектора определяют как да; (6.18) Тогда производную от самого вектора а можно представить в виде: да — = з7еаУВу = Ву иьаз. дХь (6.19) Контравариантной производной от, соответственно, ко- и контра- вариантных компонент вектора называют следующие величины: а = д "'17ьау и Ч™ад = д чеаз. (6.20) — Чр= 7,рВ', др дХь ' (6.15') — получим ковариантную производную скаляра, которая, очевидно, совпадает с обычной частной производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
