Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Так как Т вЂ” симметричный, то в этом базисе он имеет три ненулевые вещественные компоненты: Т" = А; А Т". Поскольку базис еп вообще говоря, не является собственным базисом тензора В, то он в этом базисе имеет шесть компонент В'т = А'гАтт В"'. Следовательно, всего набор (Т", В'т) содержит девять ненулевых компонент. Поскольку матрица П Тсимриис иссисисиис Творима 5.21. Функииональныб базис совлтестпньтх инвариантпов двух силытетпринных таензоров втпорого ранга оптноситпельно одной и твой все группы С, с 1 состпоитп из г злелтентаов, где — г = 9 для групп С, изотпропного класса; — г = 11 для групп Тз и Н классов; — г = 12 для всех остальных групп С, С 1.
Гаева З. кеиео ные некии зее А' б 1, то оказываются выполненными условия теоремы 4.19 с уче-. том замечания 1 из п.5.9.3. Из этой теоремы следует, что з < 9. Но девять совместных независимых инвариантов относительно 1-класса существуют — это, например, набор (5.491). Первые шесть инвариантов,У в нем, очевидно, независимы по теореме 4.18 (п.1 ) с учетом 9П е замечания 1 из п.5.9.3.
Доказательство независимости всей системы инвариантов (5.491) можно осуществить с использованием теоремы 4.17 тем же методом, который был использован при доказательстве теоремы 4.24. Рассмотрим теперь класс Тз. Для тензора Т, как было показано при доказательстве теоремы 4.24, е всегда можно найти такую матрицу А' Е Тз, что этот тензор в бао зисе е;: е; = Аз;ез, — бУдет иметь только пЯть ненУлевых компонент. Поскольку тензор В в этом базисе, вообще говоря, будет иметь все шесть ненулевых компонент, то общее число ненулевых компонент (Т",ВВ) в базисе е; равно 11. Тогда по теореме 4.19 з < 11.
Но одиннадцать независимых совместных инвариантов действительно существуют — зто, например, набор (5.490). Независимость этого набора можно показать, вычислив ранг матрицы частных производных дуе(дТо, дуе/дВВ и воспользовавшись теоремой 4.17. Для остальных классов число з максимально и равно 12. Поэтому достаточно найти двенадцать независимых совместных инвариантов в каждом классе. Такие инварианты приведены в наборах (5.481)— (5.488). Доказательство их независимости аналогично рассмотренному выше и основано на использовании теоремы 4.17.
а 5.9.5. Сизигии для совместных инвариантов Подчеркнем еще раз, что если ограничить возможность выражения одних инвариантов через другие только полиномиальными соотношениями (т.е. в виде сумм и произведений сверток целых степеней тензоров), то число неприводимых инвариантов в каждом классе расширится. Про те совместные инварианты, которые построены в виде полиномиальных соотношений тензоров Т, В с участием образующих тензоров О~ 1 классов, но могут быть разрешены относительно функционального базиса инвариантов только как некоторые неполиномиэльные функции, говорят, что они образуют сиэигии. Такие совместные инварианты, очевидно, не входят в функциональный базис, но могут входить в целый рациональный базис.
Рассмотрим примеры таких сизигий для некоторых классов симметрии. Для триклинного Е-класса функциональный базис нескольких тензоров может быть образован без совместных инвариантов, поэтому нет необходимости его рассматривать. В М-классе можно образовать инварианты, например, инвариант ВззТзз, не входящий в функциональный базис. Очевидно, что он мо- 8.9. Сканк ные нк нннееконькнхтенво ныха г ментов 387 жет быть выражен через этот базис неполиномиальным образом: (м) (м) 112 = ВгзТгз— (м) — — (ТгзТгэ)(Т12Вгэ) 76 112 — — м) —, (5.492) Т, В, 4. откуда получаем сизигию." 1' ) 7' ' -,7' ) 7( ' = 0. 6 12 11 12 (5.493) Для ортотропного О-класса можно образовать, например, инварианты Вггэ, Вггэ, которые выражаются через функциональный базис неполиномиальным образом: (о) — — (Т12Т18Тгз)(В12В18Вгз) 16 112 (о) (о) (Т12В12)(ТгзВгз),7(~~),7(~) ' (о)г (о) -г Ао =В„= („) 1 и также образуют сиэигию.
Покажем, что длк тетрагонального Т-класса следующие инварианты можно выразить через функциональный базис 1», и, следователь(т) но, они не являются независимыми: 718 — Т11В22 + Т22В11~ (т) (т) „) Ви-Вгг 116 —— (Ти — Тгг) (Ви — Вгг),,716 Т11 — Тгг 116 = Вп+ В„, 117 = Вгг(В11+В22). (т) -г -г (т) (5.495) ,71,77 — 111 — — (Ти + Тгг)(Ви + Вгг) — ТиВ11 — ТггВгг = (т) = ТиВгг + ТггВи — — Хщ, 2711 — 11 77 = 2(ТиВп + В22Т22) — (Тп + Тгг)(Ви + Вгг) = (т) (т) (т) = (Тп — Тгг)(Вп — Вгг) =.116, (5.496) Для первых трех инвариантов достаточно расписать явным образом следующие произведения инвариантов иэ функционального базиса: Глава 3. тензе ные нилин зэз ,711 — 7,,7 (Вп — Вгг)(2п — Тгг) Вп — Вгг (т) (т) (т) (т) 27(т) 7(т)2 227 + 222 — (Тп + Тгг)г Тп — Тгг я Таким образом, скаляры 71з,,712 и,71з также являются инвариан- (т) (т) (т) тами относительно Т-класса, но уже зависимыми.
Поскольку 712 и (т) ,712 выражаются полиномиально через функциональный базис, толь- (т) ко последнее из соотношений (5.495) образует сиэигию. Для доказательства функциональной зависимости 7 е выпишем (т) выражение для четырех инвариантов: 71 = Т11 + Т22 7е — Т11 + Тгг~ (т) — - (т) (5.497) 77 = Вп + Вгг, 7п — — ТпВп + ТггВ22, (т) — — (т) и рассмотрим этот набор как систему четырех уравнений относительно компонент Тп, Тгг, В11 и Вгг.
Выразим из третьего уравнения В11 и, подставляя его в четвертое уравнение, находим: '711 '77 Тп '77 Т22 711 ( ) (т) (т) — (т) — (т) в = —, в 5.498 Т22 — Т11 Т22 — Т11 Возводя в квадрат эти уравнения, а затем складывая друг с другом, с учетом первых двух уравнений системы (5.497), получим: 716 — — — 2 ( (711 77 Тп) + (7п 77 Тгг) ) (т) ' 7 (т) (т) - 2 (т) (т)— (Т„тп)2 ~ 1 2,7 — 2,7( ).7( ),7( ) + 7(,7( ) (5 499) (2') (2')2 П 11 1 7 7 1 Е 1 — искомое соотношение, показывающее функциональную зависимость инварианта 7 е .
(т) Такой способ доказательства функциональной зависимости какого- либо инварианта, при котором входящие в его структуру компоненты тензоров предварительно находятся из системы уравнений, составленной из инвариантов функционального базиса, содержащих те же компоненты, назовем коиепонентнььн неетиодон. Этот метод можно эффективно применять для различных классов симметрии.
Лля доказательства функциональной зависимости 7 7 составим (т) систему: ,72 = 212(2п — Тгг), 2712 — — (Т11 — Тгг)В12+(Вп — Вгг)Ти (5 500) (т) - - — (т) З.з. Сквнк ные нкиии нескольких тенко ных в г ментов ЗЕВ и выразим из нее Вдг. (т) В 2 7дг Ю(т) исх — - ге (Ви — „Р(5.501) Домножая это выражение слева и справа на (Ви — Вгг), с учетом (5.497) получаем окончательно: ,7,„= Ви(Ви — Вгг) = (2,7,1 —,71з .7з ),7з (т) — — — (т) (т) (т) (т) (5.502) Х з = ТддВдд + ТггВи + 2ТдгВдг. (А) (5.503) Используя компонентный метод, покажем, что инвариант (5.503) можно функционально выразить через базис А-класса. Рассмотрим систему двух уравнений, составленную из инвариантов базиса А-класса: 7и = -Вдз(Ти — Тгг) + Тдз(Ви — Вгг) — ТиВгз — ТгзВдг, ,711 — — -Вгз(Т11 — Тгг) + Тгз(Ви Вгг) + ТиВдз+ ТдзВдг (5 504) 2 и выразим из нее Ви и (Ви — Вгг): 1 7 (А) - (А) - А - СВи = — ~ 7 Тдз — 7 Тгз — — Вгз — — Вдз) — (А)~и и 2 2 ) з В11 Вгг = = 7и — -Вдз(Т11 — Тгг) + ТдгВгз + ТгзВдг Тдз (, 2 (5.505) А = (Тдд — 2гг)Тдз+ 2ТдгТгз С = 2ТиТ1з — Тгз(Т11 — Тдг).
Подставляя эти выражения в (5.503), получаем окончательно соотно- шение 71з = — (Ти + Тгг)(Ви + Ви) + — (Ти — Тгг)(Вдд — Ви)+ + 2ТиВдг = -од 71 + (,7е 711 +,74 .711 ) —— (А) (А) (А) (А) (А) (А) 1 2 7(А) з 7(А)(7(А) 1 7(А)г) 1О З (5.506) Поскольку 7з образует сизигию, то (5.502) также представляет со- (Т) бой сизигию.
А-класс. Среди совместных инвариантов А-ромбоэдрического класса рассмотрим следующий: Глава З. телка ные нинин зоо которое образует сизигию. 5.9.6. Пифференцирование скалярных функций нескольких тензорных аргументов д«~ =, дТ~~„)'о"", Й Е (1,...н). (5.507) )«) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.15. Тензором частной нроизводной скалярной функции от н п1 ено оров но Й-ому тензорному аргументу называют следующий тензор: аУ дУ 'Ут, = — = .. Кз'З...ЗВу"», Йб(1,...и). (5.508) дТ)«) 8У""1" («) Этот тензор имеет тот же ранг, что и аргумент-тензор "Т)«).
С учетом (5.508) и определении (5.89) дифференциала тензора, частичный дифференциал скалярной функции можно представить в виде, аналогичном (5.92): «У= 'вт .д( "Т)«)( ""'1) (5.509) Для случая тензоров второго ранга (т« = 2) зта формула имеет вид: А 1 = атно ° дТ$), Й б (1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
