Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Дивергенцией тпекзора второго ранга ~7 ° Т каэываюта следуюн1ий вектпор: и ° Т = Кг ° —, = зд1ТВВ2 = дзо Т. дт дХ" (6.48) Дивергенцию тензора с учетом (6.41) и (6.11) можно представить в виде + — 2 )И + — ™Т' = — — 1(з~уТ"В ), (6.49) или иначе (6.50) Оба зти представления (6.49) и (6.50) часто используют в механике. 6.2.4. Ротор тензора ОпгЕЛЕЛЕНИЕ 6.6.
Ротор текзора второго ранга Т определяют следуюеэам образом: дТ ~ х Т = К1 х —. = то2 Т. дХ' (6.51) Используя формулу (1.138) для векторного произведения вектора и тензора, находим компоненты ~7 х Т: Ту х Т = — е""тУ;Т)(Ва Э К~ = ДецгтУ'Тз~В." 8 К~ (6 52) Л Творима 6.3. Градиент таенэора и-го ранга, определенный по 16.~7), представляет собой тензор (и+ 1)-го ранга, а ковариантные ней""'" а контравариантпные з11441н'л" производные являются компонентами этаого тензора в соответствуюзаих базисах.
и Локазательство аналогично доказательству теоремы 6.3 и основано на соотношении (6.46). а В силу этой теоремы, ко- и контравариантные производные тензоров при переходе из одной системы координат в другую преобразуются по тензорному закону. б.2. Ди е сипи рвание тензо оввто ого анга 6.2 6. Ковариантные производные метрической матрицы Если в качестве ТО выбрать метрическую матрицу д;, то из (6.42) и (6.8) получим: ддд ддзу 1 7 ддуч С~,дв = — — ГРд 1-Галдим щ — — -~ — + дХ" ' 1 ' дХ" 2 ~дХА (6.53) то есть зу~дб = О, Отсюда и из (1.38) следует, что е'ьдб = О.
(6.54) Вэ мв! туьд = -еьые~"'зУв(д;д удл) = О. 6 (6.55) Таким образом, мы доказали следуюзцую теорему. ТеОРемА 6.4 (Риччи). Ковариантная производное метрической матрицы и ее впределигасля д равны кулю. Из теоремы Риччи следует, что при всех операциях ковариантного дифференцирования дд, д'1 и д можно считать константами и выносить из-под знака ковариантной (но не частной!) производной. Упражнения к 2 6.2. Упражнение 6.2.1.
Показать, что правый ротор тензора имеет следующие компоненты: В = Т х 17 = В; К' Э К = В'™Вч Э В, правая дивергенпия тензорв имеет компоненты: а' = Т' Чьо а = Т ° зу = а'И< = а'В.;, сч =Т'~7„, и правый градиент: зй = Т Э з = О',В; 8 В. Е усе, зз"„щ Т" Ч " Упражнение 6.2.2. Еспояьзуя формулу (б.б2), показать, что если Т вЂ” симметричный тензор, то двойная свертка его ротора с метрическим тензором дает нуль: 12(з7 х Т) = Е ° з17 х Т = О. Главе 6, тенко ный внвлиз 414 Упражнение 6.2.3. Используе формулы (6.61) и (6.61), поквзвть, что если Й вЂ” кососимметричный тензор, то двойнел свертке его ротора с метрическим теизором вырвиветск следуюшим обрезом: 1з(~7 х й) = Е ° 17 х й = — 2~7 со, где со — вектор, сопутствуюший Й.
'З 6,3. Свойства ковариантных производных 6.3.1. Ковариантное дифференцирование сумм Из определения ковариантных производных (6.17) и (6.41) следует аддитивность операции ковариантного дифференцирования: 171(ай+ У) = „+ (а + 5™)ГУ й —— '(7йа)+ туйУ, (6.56) д(ад + У) Суй(т» + Вб) = — „(т У + Взу) + (т-У + В-1) Г' „+ +(Т' +В' )Г й — — ЧйР +РеВо, (6.57) тоже самое относится, очевидно, ко всем другим комбинациям индексов.
Из аддитивности ковариантных производных следует аддитивность набла-оператора во всех рассмотренных операциях: градиенте, дивергенции и роторе. Например, для векторов имеем: ч7 Э (а + Ъ) = 17; (ау + 6') К' Э К = з Э а + чй Э Ъ, з х (а+ Ь) = — е'1"'(71(а + 5 )Кй = зУ х а+ з х Ъ, (6.58) ый Д %' ° (а+ Ъ) = ьзз(а'+ У) = '~7 ° а+ зУ ° Ь. Аналогичные правила справедливы и для тензоров: ~7 Э (Т + В) = Ч~(Т" + Вб)К~ Э К; Э К, = ~у Э Т + ~7 Э В, (6.59) ~7х(Т+В) = ~7хТ+тух В, ~7 (Т+ В) = ~ Т+ (7 ° В.
Е.Э. Свойстввковв ивнтныкн оизв нык 6.3.2. Дифференцирование произведений вектора и тензора на скаляр Ковариантные производные произведения скаляра ф(Х" ) на другой скаляр р(Х"), вектор а или тензор Й вычисляют по формальным правилам дифференцирования произведения классических функций. В самом деле, согласно определениям (6.15'), (6.17) и (6.41): дХ' дуФ 3 Чь(уоа') = — + ра Г' ь —— а'Чьу+ ~оюза', (6.60) д рди т7 (4т') + р(т Г „+Т Г',) р'у т'+т'зу р.
Аналогичные формулы имеют место и для других комбинаций индексов. Образуем теперь с помощью этих формул градиент произведения скаляров: ~7(<рФ) = ~7з(~оф)В' = 4~7у+ ~р~7Ф, (6.61) градиент, ротор и дивергенцию произведения скаляра на вектор: Зк Э (уа) = Рэ(ра')В» Э Ви = '~7<р Э а+ у и Э а, (6.62) т х (~оа) = — еб Ч;(~ра )Ве = з ь Д 1 бь = — еб~ Ярра + рту;о )Вй = ~7~р х а + р'Р х а, Я и ° (ра) =Ч;(ра') = чу~о ° а+ у'Р ° а, а также градиент, ротор и дивергенцию произведения скаляра на тен- эор: Э7 Э (~рТ) = 'У ~о Э Т+ ~о'~7 Э Т, Чу х (~рТ) = 'Р у х Т+ Эо~7 х Т, (6.63) 17 (рт) =тур Т+ рЧ.Т. 6.3.3. Дифференцирование произведений двух векторов Вычислим, используя определение (6.43), ковариантную производную от произведения компонент двух векторов а и Ъ: да'Ь. гуй(а'Ь ) = „~ — а'Ь,„Гыь+а"'Ь1Г'„,„= Яза')Ь +а'УзЬ .
(6.64) дХ" Глава Е. Теизо ный внвлиз 41е Используя зту формулу, найдем градиент скалярного произведения двух векторов: 17(а ° Ь) = ~7»(а'6;)К» = 17»о'К»61 + Ч»6'К~а; = = з7»а'К ЭК; '61Ку+ х»61К» ЭК; ° а Ку = = ('У Э а) ° Ъ + (~ Э Ь) а. (6.65) х' Э(а х Ь) = зу ( /де<»а16')К ЭК» = ,~де,,»((зу„,о )6 +о 7,6 )Кы. Э К» = ('17 Э а) х Ъ вЂ” ( х Э Ь) х а. (6.66) Здесь использовано свойство (6.28), а также свойство векторного произведения тензора на вектор (см. упр.1.4.7). Вычислим теперь две возможные дивергенции векторного а х Ь и тензорного аЭЬ произведений (очевидно, что дивергенцию от скаляра а Ь образовать невозможно): (а х Ь) = ~7»(./де; »а;6.) = зуд(е;у»(~7»а;)6 — евм(Ч»6 )а;) = = Яе"б'Р»а;Ку ° 6 К вЂ”,уде"~Ч»6 К; а К = (и х а) ° Ь вЂ” (17 х Ь) ° а, (6.67) а также зР (аЭЬ) = У»(а Ьз)К = (и'»а )УКу+а х'»Ь'К =(~7 а) ЭЬ+а ~7ЭЬ. (6.
67') Наконец, вычислим два возможных ротора от векторного и тензорного произведений векторов: зу х (а х Ь) е»з»ед Р (а™й Ьв)К» = — (б' б„" — боб~„)(17;а Ь" +а 17;Ь")К» —— = ((гу„а )Ь + аЧвЬБ — ЬЧ7, а — аЧ<Ь ) К» = = Ь 17 Э а+ а(з7 ° Ъ) — Ь(%' а) — а ° 17 Э Ь, (6.68) Формально эту операцию можно было бы записать как зг Э (а Ъ), однако для градиента скаляра знак тензорного произведения обычно не используется. Аналогично вычисляем градиент векторного произведения двух векторов: Е.З. Свойство ковв ивнтных и оинвонных 417 здесь использованы определения векторного произведения (1.33) и ро- тора (6.30), а также свойство (1.36) символов Леви-Чивиты; 'Р х (аЭЪ) = — еойР1(а.б )ВйЭВен = 11й Я вЂ” е (17еау)Вй Э йоеВ е~ ау 71ейенВй Э В 179 ' ' Л = (~7 х а) ЭЬ вЂ” а х (~7 9Ь).
(6.69) 6.3.4. Дифференцирование произведений вектора на тензор дТеу 771(Трйар) = — + ТснУГ' й + ТеенГ1 „ар— — ТУаоеГ11+ Тд — = (е71ТРУ)а1 + ТВ77йа'. дХ1' (6.70) Пользуясь этим правилом, вычислим градиенты от скалярного про- изведения тензора на вектор: и'9(Т ° а) = е7;(ТУ ай)НЭК ех(е7;Ту )Ж ЭК 9Вй а К + + 77;айК' Э ТзйВ. = (17 9 Т) а+ (з7 Э а) Т (6.71) е79 (а ° Т) = 771(арТй)В.' ЭВ.й = н7;арК1 ЭВ. Т йЯ Э Кй+ + 771ТрйЖ Э Вй Э Ку ° а В. = (17 Э а) ° Т+ (47 Э Тт) ° а. (6.72) Вычислим дивергенцию от скалярного произведения тензора на вектор: з7 (Т а) = Рр(Твай) = (е71Т' )аг + Т' 77,а" = = (зе Т) а+ Т (47 Э а) (6.73) (а Т) = 17;(аьТ ') ех (н Т ) а+ Т ° 17 9 а, и дивергенцию от векторного произведения: 1 уй е7 ° (Т х а) = е7;(е 1~Туай)К = — ееУ~(еерТ' )айВне+ ен'1 1 + е 1 Г 1е7еайКен (ч7 ' Т) х а + (Т " '~7) х а 9 (6.74) )Е р неорное иснисненне Убедимся вначале, что правило ковариантного дифференцирования формально сохраняется и для произведений компонент тензора Т и вектора а: 1'лввв Е.
темзе ный внвлнз 418 — — е "(Ч<Т1»)К а =(Ч ха) ° Т вЂ” а ° (Ч х Т). Я (6.75) Ч х (Т ° а) = — 411"Ч;(Тз,„а )К» = 1 / 3 = — е'1»(Ч1Т,„)а В» + — е»1~Т»„,Ч;а К» —— Л ' '",/у =(ЧхТ) а — (ТхЧ) а, (6.76) Ч х (а Т) = — е'1 Ч;(о,вТ1 )К» = — — ел Т Ч;а К»+ Л ' ' Л + — ео»(Ч»Т )К»аы = (Ч х Т ) а — (Т х Ч) ° а, (6.77) Л и роторы от векторного произведения тензора на вектор: Ч х (Т х а) = 411~41 „Ч;(Т а")К» Э К1 = " ».~Я "»,Я х а" К» Э В1 = (17 х Т) х а — (Тт х 'Ч) х а, (6.78) Ч х (а х Т) = е' еезвзЧ1(о Т"1 )К» Э К = = — (6' Ỡ— 6„6» )(Ч;а Т'1 +а Ч;Т1 )К» ЭК1 = = ( — Ч,„а Т"1 + Ч;а»Т'1 — а'Ч;Т"1 + а Ч;Т11 ) К» Э К = — (Ч ° а)Т+ (17 Э а) ° Т вЂ” а ° Ч Э Т+ а Э Ч ° Т. (6.79) Эти правила широко используют при безиндексной записи уравнений механики.
Здесь использовано формальное определение набла-оператора как вектора, а также формулы (6.51) для ротора тензора. Вычислим также роторы от скалярного произведения тензора на вектор: 6.4. Кова ивнтныеп оизвопныевто топо евка 419 6.3.5. Дифференцирование произведения тензоров Рассмотрим два тензора Т и В и покажем, что ковариантные производные от произведений их компонент также вычисляются по правилам формального дифференцирования произведения классических функций: '7»(т В ) — — (Т В )+(Т Р» — Тет» )В + + Тд(в'„Р„- В, Р'„.„) = (Ч»ту)в-„+ Т;Ч»в"„.
(6.86) Свертывая по индексам 1 и гп, получаем отсюда, в частности: Р»(тдВ'„) = (Ч»т',)В'„+ т',.17»В'„. (6.81) Вычисляя теперь с помощью (6.81) дивергенцию от скалярного произведения Т . В: 17 (т.в) = ч»(т»ув'„)В." = (ч»т'; )в'„к" +т", 17»в1„к" = = (т7 Т» )Ж ° В'„В., Э К" + Т» КУ 8 К» ° .17,В'„В.' ® В. ® В." = = ('зг ° Т) В + Тт . з 8 В, (6.82) получаем компоненты вектора. З 6.4. Ковариантные производные второго порядка 6.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
