Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Двукратное дифференцирование скаляров Ч 8 ~ р = К1 8 —. ( К вЂ” ) . д / »ду'1 дХ' ~, дХ»,l (6.83) Дифференцируя произведение в скобках по частям, получаем с учетом (6.3) выражение для градиентно оп» градиента скаляро: дг (6.84) Рассмотрим теперь операцию двукратного ковариантного дифференцирования, и начнем с двукратного применения набла-оператора к скглярному полю 1о(Х»). Однократное применение оператора з7 к 1о приводит к градиенту скаляра (6.14), представляющего собой векторный объект, поэтому при повторном применении ч7 возникнут три объекта: градиент от градиента, дивергенция от градиента и ротор от градиента.
Рассмотрим первый случай: Гнввв а. Тензв ный внвннз 420 представляющего собой симметричный тензор второго ранга. Если в определении (6.83) использовать обозначение (6.15') и (6.21) для кова- риантных прозводных, то получим альтернативное (6.84) представле- ние: и Э ~7<р = К' 8 —, (и»у»с~) = и;(Ч»~о)К' Э К». (6.85) д Сравнивая (6.85) и (6.84), находим выражение для вторых ковариантных производных скаляра: дг Ч,Ч» р Р»С7,р дХ» „— — „Г,» (6.86) ч.чр к —, к —, (6.87) дифференцируя по частям выражение в скобках, получаем: дХ'дХ» дХ '"/ (6.88) т.е. эта операция образует скаляр, называемый часто лапласиано.н над»з. Запись лапласиана через ковариантные производные имеет следующий вид: д ~з р =- У Ч~ = К' —,.
(Ч,~П») = дХ' = зуЛ»юК' ° В» =Ч;Чуз = ~'зз7;~р. (6.89) Ротор от градиента скаляра вычисляют следующим образом: ~х Г,=К»х . ~К д Г,а~~ дХ'1, дХ»)' (6.90) Переходя к ковариантным производным, получаем: 1; » з' х ~~р = — е ~ зуЧу(рК» = О, Л (6.91) В силу того, что первая ковариантная производная скаляра совпадает с частной прозводной (см. формулу (6.15')), мы получили правило независимости вторых ковариантных производных скаляра от порядка дифференцирования. Лиеергенцию от градиента ока.зяра определим следующим образом: Е.4. Ковв ивитиые и оиэвовиые вто ого по к кв 421 так как символ Леви-Чивиты сворачивается по двум индексам с симметричным тензором Ч1Ч йо (см.
(1.37)), т.е. ротор от градиента скаляра всегда равен нулю. 6.4.2. Двукратное дифференцирование векторов Двукратное применение набла-оператора Ч к вектору а приводит к образованию различных тензоров: ЧЛЧЧа=й.'Л вЂ”. ~НйЧ вЂ” ) Л,ЧЕ(е,х,.), (6.92) д l й да1 дХ1 '1, дх ) в зависимости от сочетания знаков операций Л и Ч тензорного, векторного и скалярного умножения (здесь Л не является знаком внешнего умножения).
Переходя в (6.92) сначала для одного набла-оператора, а затем для другого к ковариантным производным, с учетом (6.16) и (6.47) получим: Ч ЛЧ ма = Рь' Л вЂ”. (Чйа Яй Ч Вэ) = Ч1(Чйау)Н1 ЛВкЧ НУ (6 93) — представление в тензорном базисе набла-операции второго порядка над вектором. Творима 6.5.
В пространстве )кз ковариантные производные от компонент вектора и, еообийе, тснзора любого ранга являются перестановочными при двукратном диф4ерениированиис (6.94) Ч Ч й""'" = ЧйЧ й"'"'" е Образуем разность ковариантных производных: '7 Ч й"-'" — Ч '7.й"'"'" = М й й 1 = сй В декартовой системе координат всегда имеем М1„""" = О, так как в ней Г; = О, и ковариантные производные совпадают с частными.
Но согласно теореме 6.3, ковариантные производные тензоров являются компонентами тензора, тогда в произвольной системе координат Х' имеем М. "'- = О". Ой„' Р'1, Р'-., М,,"-'- = О, эй откуда следует (6.94). А Рассмотрим наиболее часто используемые сочетания операций Л и Ч в (6.93). Гл«з«в. т«лзо ный «нализ Дивергенцие от градиента вектора получим, если в (6.93) знак и заменим на" ° ", знак» на Э: а»а = Ч Ч З а = ЧзЧ»а К' ° К» 8 Кд = ЧзЧ'ауКз.
(6.95) В результате получаем вектор, для которого используется также название лап«авион вектора. Градиент озп дивергенции вектора получаем при обратном сочетании знаков скалярного и тензорного произведений: Ч8 Ч ° а = Ч;Ч»а К'ЭВ» ° Ку = Ч Ч»а~Кз.
(6.96) Ротор от ротора вектора получаем из (6.93), выбрав в качестве '»' и Л знак векторного произведенияа Ч х (Ч х а) =Ч;Ч»а К. 'х (К» х КУ) = — »ды = — е~д ЧзЧ»ауК' х К = е»1 е, «ЧгЧ»а К". Д (6.97) Используя свойство (1.36) символов Леви-Чивиты, а также (6.95) и (6.96), получаем: го1 го» а = Ч х (Ч х а) = (б«бз — б«бз«)Ч»Ч'а К" = = Ч„Чуа К" — Ч;Чга В.' = Ч Э Ч а — »за. (6.98) Дивергенция от ротора вектора всегда дает нуль: 61» го1 а = '7 ° (Ч х а) = Ч;Ч»а К' ° (К» х КУ) = = — е~~~Ч;Ч»а К' ° Кт = — е~~ «ЧтЧ»ау — — О, (6.99) Ч х Ч Э а = Ч;Ч»а К' х К» 9 КУ = — е'»1'7;Ч»а В„„э КУ = О, з Я Я (6.100) в силу того же свойства (1.37) символов Леви-Чивиты, свернутых по двум индексам с симметричными производными Ч 7».
При перестановке операций получаем уже ненулевой тензор — градиент от ротора вектора: ЧЭЧ х а= Ч;Ч»а К'ЭК» х Кд = — е»1 Ч;Ч»а В . (6.101) ,/а в силу свойства (6.94) перестановочности коварнантных производных и свойства (1.37). Ротор от градиента вектора также есть нулевой тензор: В.4. Кави ввитные п овввавные вта ого иа вико 423 6.4.3.
Двукратное дифференцирование теизоров второго ранга Двукратное применение набла-оператора к тензору второго ранга Т приводит к образованию следующих тензорных объектов: ЧЛЧЧ Т= К'Л вЂ”. ~К З вЂ” / Л,'ЗЕ(Э,х,.), (6.102) д / » дТ1 дХ' ~, дХ" 7 с различными сочетаниями знаков операций Л и Ч.
Общее базисное представление этих тензоров имеет следующий вид: 'Ч Л ЧЧ Т =Ч;Ч»Т К' Л К~Ч КУ Э К~. (6.103) Градиент от дивергениии тпенэора представляет собой снова тензор второго ранга: чэч ° т=чч т к'эк Тензорами второго ранга также являются дивергенция от градиента тенэора, называемая лапласианом тензврее ЬТ =Ч ЧЭТ = Ч;Ч'Т КУ ЭК, (6.104) и ротор вт ротора тензора: Ч х (Ч х Т) =Ч,Ч»Т, К' х (К» х Ку) Э К (6.105) Используя свойство (1.36) символов Леви-Чивиты, получаем, что Ч х (Ч х Т) = (б~Я вЂ” 5~5,')Ч'Ч»Т1 К'ЭК = Чуч,Т К'ЭВ. — Ч»Ч»Т, К'ЭК™ =ЧЭЧ Т вЂ” ЬТ. (6.106) Важную роль в механике играет несовместность тензора Т: 1п)» Т = 17 х (Ч х Т) = — ев»ее"'Ч2Ч Т „К» Э Кь (6.107) 9 являющаяся тензором второго ранга. Дивереенелия от ротпора тензара аналогично (6.99) образует нулевой вектор: д)в го1 Т = Ч ° (Ч х Т) = Ч2Ч»туыК '( в»у Ч „Ч»ту К" = 0, 1 (6.108) зур Глава 6.
Тенер ный анализ 424 Перестановка операций в (6.108) приводит к ропзору опз дивергенции пзензора: ту х ("(7 Т) = 17;17йТыН' х К = — в' 'з(7;ГуйТ~,В). (6.109) /д В отличие от вектора, для тензора определена операция дивергеиции опз дивергенции, образующая скаляр: д)у д т т = (7. (т7 Т) = Ч;Гу,т'". (6.110) Упражнения к 2 6.4. Упражнение 6.4.1. Используя формулы (6.93) и (6.96), показать, что 17 (Ч 8 а) т = т7 Э "(У ° Упражнение 6.4.2. Доказать, что для ротора от ротора вектора порядок следования операций существенен и (з7 х з7) х а = О. Упражнение 6.4.3. Доказать, что Е ° 17 х и ЭТ = з7 х %'12(Т) =О, 12(Т) = Е Т. Упражнение 6.4.4.
Доказать, что Е "Чзтует = 17;17,1,(Т)Н* ЭН'. Упражнение 6.4.5. Показать, что тензор 1пй Т, определяемый по (елоу), является симметричным, если симметричен Т. 2 6.5. дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 6.5.1. Символы Кристоффеля второго рода в ортогональных координатах Криволинейные ортогональные координаты Х' часто применяют при решении различных задач механики.
В этом случае переходят от безиндексной записи уравнений к компонентной. Поэтому полезно записать основные дифференциальные операторы, введенные выше, в ортогональных координатах Х'. Начнем с символов Кристоффеля. 5.5. Ди е еици рвение в о тогоненьньех кое нинетех 425 1 ь 7'ддьв ддь дд д ~ 1 дд Гад 9 ~ + ) 9 ) г (дх- дхд дх ) 2 дхд' (6.111) а ф~д, а,)3= 1,2,3, т.к. дад = 0.
Напомним, что по повторяющимся греческим буквам суммирования нет. Переходя к параметрам Ламе д = Н2, даа = 1)Н2, получаем: дН2 1 дН„ Г:р = —,— „= — — Р (6.112) При другом сочетании индексов получим: дН~ нд днд 2Н„'дХа Н2 дХа (6.113) При полностью совпадающих индексах из (6.8) имеем: а ьа / ддйа д9ао 1 аа 9ао 1 дНа Г:. = -д ~2 — — — ) = -доа — = — . (6.114) 2 1 дХ" дХа) 2 дХа Н дХ" При всех неравных индексах символы Кристоффеля равны нулю: Г; =-д'~ — '+ — ' — — ) =0.
1 ь /ддьн ддь дде '1 2 ~, дхт дхд дХь ) (6.115) Итак, получили следующие выражения для символов Кристоффеля второго рода: ди Нд дид а 1 ди Г 9 — — — —, Гдд — — — — —, Га = — —. (6.116) и. дхд 99 н2 дх- - = и. дх- Если Х' ортогональны, то д; и до — диагональны (см. 21.7), и формулы (6.8) для символов Кристоффеля примут вид: Гневе б. Тенге ный внвннз 42б 6.6.2. Производные от векторов ортонормнрованного базиса Часто в различных задачах механики необходимо иметь значения прозводных от векторов ортонормированного базиса: деа/дхн, Вычислим их, используя определения (1.233) и (6.1): де д /В.~'1 1 дн.а 1 дН„ дхб дхб ( Н ) Нб дхб Н' дхб (6.117) Используем теперь свойства (6.116) символов Кристоффеля: де / 1 дН 1 1 н 1 1 дне дХб = ~ ' Н.дХЗ) Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
