Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 66
Текст из файла (страница 66)
бН. = Н.Н,дХ. (6.118) а ф)3, 1 дН 1 дНа а аВ Нгдхб НгдХ» Ф 7 Слагаемые в скобках равны нулю в силу (6.116). Возвращаясь снова к ортонормированному базису, имеем окончательно: де 1 дН 'дХ8 На ЗХ (6.119) ЗХ~ = Н~ дХРб Н Эх(' Обе эти формулы, очевидно, можно объединить в одну: деа и ~ / 1 дне 1 дНа — ~ — — бб — — — Баб е о )3 = 1 2 3. (6.120) дхз ~ 1,Н дХ" 7 Н дХ» »=1 7 6.6.3. Дифференциальные операции с векторами в ортогональных координатах Вектор а, согласно (1.237), всегда можно препставить в ортонормированном базисе е: з а = а'К; = )з аваев оа = оса/На (6 121) а=1 В.з. Ли е ици рвание в о тотонввьнык кое инатак 427 А. Градиент векпеора Запишем формулу (6.21) для градиента вектора »7 8 а в базисе ео, используя (1.235), (6.121): зрэа=й Е— да дХ» (6.122) Во вторую сумму подставим формулу (6.120), поменяв в ней предва- рительно индексы круговой перестановкой: а — + у, 13 — + а, у — 1,8, тогда получим: к 71 дафр т аф» 1 дН 1 дН» ~7®аве кз ~ — — +аз — ( — — б~р — — — бе~))ео®ев.
Но дХ Н„Н» дХ» НВ дХВ (6.123) Учитывая свойство символа б, получаем окончательно: з з ! 1 дафн афо дНо ~ аф» дН„1 (6.124) Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения ~ оф» дНо 1 дафн афо дНо О р — — — — —— Н дХн Н Нр дХР' тогда компоненты градиента вектора можно представить в следующем виде: з »78 а = ~' (аов + бовао) ео 8 ев.
(6.126) а,я=1 Б. Ротор вектора Приведенный выше для градиента вектора вывод полностью сохраняется, если знак 9 заменить на знак векторного произведения х, позтому для ротора вектора имеем: з »7ха=К х —,= ~ (а В+б ра )е хер. (6.127) да дХ" з =Е 1 дафв — — ео Н дХа о,он1 з ео да Но дХ з оф» де» 9 ее+ З вЂ” ео Э вЂ”. Н„дХо о»=1 Глввв Е.
'Гензе ный внвлнз 428 Поскольку ев х е = О, а е х е)т = ез (а,)3,7 образуют четную подстановку), то в этой сумме ненулевыми являются слагаемые только при а ф )3. Это означает, что второе слагаемое в скобках вообще пропадает. Тогда з з хаза~~) (а р — ар )е„, аф,дф уфа, (6.128) где при каждом ч индексы а,)д, у образуют четную подстановку. Подставляя вместо а р их выражения (6.125), после приведения подобных получаем окончательно: з дН е = г 6 6 — ) Н . )6.129) Н1Н2Нз 1, дХ дХ)) )н1 В. Дивергенция вентпора Для дивергенции воспользуемся формулой (6.36), а также (1.231), в результате получим: %9 ° а = — —.
= ~ — (аевНвНз), (6.130) 1 д/да' 1 д /д дХ' Н1Н2Нз дХ а т- 92 т= 7 т= а. Г. Лапласиан сналяра Если в формуле (6.130) в качестве а выбрать градиент скаляра а = 979)), то получим формулу для лапласиана скаляра: з Н1НзНз дХ6 1з Нв ст ~ )д ф у -,4 а. Я. Линейный тпензор деформаций над а Используя определение (6.33) линейного тензора деформаций над вектором а и складывая формулу (6.126) со своей транспонированной, получаем: з 1 т Е = — (ебе 8 а+ (962 8 а) ) = — ~~6 (аа)З + а)та + 26в)таа) Е6„8 Е)З.
2 2 в,)зн1 (6.132) 6.5. ди е енин рвание в о то<овальных кое хинатах 429 з е = ~ воаео Э ев, ф о,ео1 (6.133) где 1 дефо 1 дНо 1 дН„ Йдл'д Н Н для ~~ Н Н А.Т» (6.134) Е. Левые тензоры деформаций над а Получим представление нелинейных дифференциальных операторов, определенных в п.6.1.10, в частности левых тензоров деформаций над а. Для этого вычислим скалярное произведение градиента (6.124) на свой транспонированный: ('У Э а) ° ( 1У Э а)т = з з (аав + довао)ео Э ее ° ~~~ ' (а<р+ 6<ра<)ер Э е< о,ро1 <,ри1 з — (аод + дораоНа<в + 6<да,)ео Э е, = о,р,<и1 з з авва<в + а,а, + аоа<о + дога~ ео Э е,.
(6.136) о,<=1 В=1 Складывая этот тензор с линейным тензором деформаций, получаем окончательно: 1еГь(а) = деГах -(и Эа) (»7 Э а) 2 3 з ~и (аов + аро + 26овао х (~~~ ао»ав»+ 2 о,ри1 »и1 + аз аод + аоаво + 26ора„) ) ео Э ер. (6.136) Если обозначить физические компоненты этого тензора как в р, то с учетом обозначений (6.126) получим: Главе б. тензо ный внвлнз взо Ж. Правые тенэоры деформаций над а Аналогичным образом вычисляем вначале вспомогательный тензор: ('[7 Э а) . (и Э а) = з з — (аар + бориа)ер Э ео ° ~~~ (аер+ брае)ее Э ер —— а,Ро1 е,р=1 з (аар + бориа ) (аар + бориа )ер Э ер Р,а,р=1 з у з ~~о аора р+аррар +аррар+ бррагр ер Э ер, (6.137) Р,рог о=1 а затем находим правые тензоры деформаций: гезий(а) = деу ах -(~7 Э а) ° (зУ Эа) = 1 2 1 з = — 7 (пар+ про +2бараа х (~ а о р+ 2 о,Ро1 зо1 + аоРао + аРоаР + 2боРаз)) еа Э еР.
(6.138) 6.6.4. Дифференциальные операции с тензорами в ортогональных координатах Согласно (1.237), тензор второго ранга в ортогональном базисе имеет вид: з Т Т К! Э Ку = Х~~ Тфороа Э Ер~ а,Р=1 Т Рзз Нар 1 д 1 1 д (бг и 'Г = — —. ( /уТПВу) = — з — — ~~~ Тфорер, (6.139) /д дХ1 ' Ь дХо ~ Н / ' А. дивергенция тензора Вычислим наиболее часто применяемую в механике операцию — дивергенцию тензора в базисе е .
Воспользуемся формулой (6.49): В.з. Ди е ниц рвение в о тотонвиьиык кое Нунатак 431 л=ннн,. Преобразуем зто выражение с учетом формулы (6.120) дифференцирования векторов базиса ев, в результате получим: е т= — 1 — ( — т.,), а,оа1 1 дНд — — — бад1е = ~~Ь е, Н дХ» I ~-~ 7 7 1 Ь 21дН бз ~-' Н а (Н дХв а,~з,»а1 (6.140) где к= — 7 ( ( — т.,)т — (т,.— ' — т..— )). (6.140') Если расписать все девять слагаемых в сумме (6.140), то выражение (6.140') можно также представить в виде: 1г д д д у~ — (НаНВТ»7) + а (НЕН»Та») + — В(НаН»То»)+ +Нв҄—" — Нд — Т, +На — «Тв — На — Тде), (6.141) дХа дХ» дХР " дХ» з Ьа=»7 T®аек~ с е . Используя формулу (6.140), где в качестве Т следует взять аа» + ба»аа, ПОЛунавы + — — (НаНва»), а ф Р ф 'у ф а. 1 д (6.142) (два слагаемых в (6.140) в круглых скобках при а = 7 взаимно уничтожаются) .
Б. Лапнасиан век»лора Выберем теперь в качестве тензора Т градиент вектора Т = ту Э а, дивергенция такого тензора дает лапласиан вектора а. Найдем его компоненты в базисе е: Глава 6. Тенер ный анализ 432 Упражнения к '2 6.5. З'пражнение 6.5.1. Используя формулу (6.120) и результаты упр.1.6.1, показать, что для цилиндрической системы координат отличны от нуля только следующие производные от векторов ортонормироввнного (физического) базиса: де„деф — = еф, — = — е„, дф ' дф для сферической системы — следующие: де„де„.
дее — = еф, — = ефвшд, — = — е„, дд ' дф ' дд дев деф — = ефсовд, — = — е, — еесовд. дф ' дф чсгпРежнение 6.5.2. Показать, что формула (6.129) для ротора вектора мо- жет быть записана в виде символического определителя: Нзез Нгег Нзез гщ и = д/дХ1 д/дХ2 д/дХз ННН Нгафз Нгафг Нзафз ЗгпРежненИЕ 6.5.3. Показвтгч что формула (6.129) для ротора в цилиндри- ческих координатах иыеет вид: а в сферических — следующий вид: 1 ~'д(вш даф) дао з) твшд ), дд дф / о пражнение 6.5.4.
показать, что формула (базе) для дивергеиции в цилиндрической системе координат имеет вид: 1 д 1даф да, т ° е = — — (та„) + — — + —, тдт " тдф дх' в в сферической системе координат — следующий вид: 1 д 1 /д, даф') з1 е = — — (т а,) +, ~ — (взп дав) + — ) . тг дт ' твзпд ),дд дф) 0.3. Ди е енци рвание в о тогонапьных кос динатах 433 Упрежнение 6.5.5. Показать, что формула (8.131) для лапласиана скаляра ф в цилиндрической системе координат имеет вид: 1 д / дф') 1 дзф дзф Ьф щ — — ~(ьт — ) + — — + —, тдг ~, дг( тз дф дяз' а в сферической системе координат — следующий вид: Упражнение 6.5.6.
Показать, что формулы (В 134) для компонент линейного тензорв деформаций воя в цилиндрической системе координат имеют вид: да„1 даф а„да, да, да, сгг= сфф= + сзз = 2сгз = + дт г дф т дя дз' дк 1 да„д /аф1 да ~ 1 да, 2вгф — — — — "+ т — ~ — ~, 2вф, — — — + — — ', т дф дт т ' ' дя т дф ' а в сферической системе координат — следующий вид: да„1 да,з а, в„„щ —, вфф=- — + — ', дг' т дд т' 1 даф аг асс(5 д 1 да, дае ае вфф — . — + — + 2вгс = — — '+ — — —, твзпд дф г т ' ' т дд дг т ' даф 1 да„аф 2вфг — + дт гв(пд дф т ' 1 дав 1даф 1 2вфе = . — + — — — -афс(6 д. тв(пд дф т дд Упражнение 6.5.7. Показать, что в цилиндрической системе координат формулы (6.140 ) для компонент Ь» дивергенции тензора второго ранга Т имеют з вид: 1 дтТ„1 дТф, дТ,„Тфф г дт т дф дя г 1 д»Т„ф 1 дТфф дТ,ф Тф, Ьф — —— + — — + — + —, т дт т дф дя г ' 1 дтТ„, 1 дТф, дТ„ Ь,=- — "+- — + —, т дт т дф дя Глава 6.
Тенер ный анализ а в сферической системе координат — следующий вид: 1 д 2 1 / д . дТф,'! Тфф+Тфв 6» щ — — (тгТ„) + . ~ — (31пдТв,) + — ')— т2дт '" твгпд ~дд ' дф ) т 1д г 1 /д дТфе ~ То„ вЂ” Тффс18 д = — — (тгТ„ф) + . ~ — (вгпдТ ) + — ) + т' дт " твгпд 1,дд дф) т 1д, 1 /д дТфф'1 Тф» + Тфф с!8 д Ь = — — ( гт,ф)+ — ~ ~— (вгпдТв )+ — /~!+ тг дт ' твгпд [,дд дф) т чо»нражненна 8.5.8. Показать, что в цилиндрической системе координат матРицв аой (6.123) и ао имеют вид: да даа адз агг агз Эт 1 да, ао 1 дав (а~в) — а21 а22 а23 азг азг азз да да Ф -ЭР аг = О, аг — — а„/т, аз = О, а в сферической системе координат — следующий вид: дав 1 да~ твгпд дф (аор) = аг = О, аг = а»/т, аз = (а,/т) + (ав/т)с!а д. чо»прагнненне 8.5.9. Используя результаты улр.в.з.з и формулу (6.136), доказать, что компоненты лево»а тензора деформаций ы = !суй (а) в цилиндрической системе координат имеют вид: да, 1 да„даф да, +2а,— +а„), даф гй да 1 да ав 1 да аф тв1пд дф т дае 1 дар дав 1 да, т Дф да, дв 6.В.
Ди е енин оваииево тогональных хор динатах 435 ьй= — '~- —" + —" + 1 /1 да„д /ай~~ 1 удаг дат Ь„= — ~ — — + т — ~ — () щ — ~ — ( — — ай)+ 1 /дав 1 да,1 1 у да„да, Ь, = — ~ — + - — ) щ — ~( — — ас) — + 2~дг тдф) 2т( дф дг дай дав да, да,й +( — +а ) — + — — ), дф ' дг дф дг)' 1 /да, да„'1 1 уда„да, дав даа да, да,й е+ г ~ / г т е ей 2 ~ дт дг у' 2 ~ дт дг дт дг дт дг )' а в сферической — следующий вид: Ь- — д +2 д + д + д Ьвв— - — — +а, щ г ав + + д г 1/ 1 дар Ь = — ~ —.— + а„+ авсгц д т гвшд дф 1 у 1 да„г 1 дав г щ — ~( —.—" — ас) + ( —,— — а,~с12д) + 2тг в!ад дф вргд дф 1 даа г 2 дав + ( —.— ) + —.— (а, + авсц2 д) + (а„+ ассоц д)г), втад дф вгпд дф 1 /1да„д уав~'1 1 уда, да„ Ь~„= — ( — — +т — ~ — )) щ — ~ — ( — — ав)+ 2 ~,т дд дт 1 т )) 2т1 дт дд дав дав дав дав дав 1 + — — + — — + — /, дт дд дт дд дт ~' Главе 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
