Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Тензо ный анализ 436 1 / 1 дав дай Ьв зк — ~ —.— + — — аес16 д 2 '1,61пд аф дд 1 да„ 1 да„дав 1 дав ~ — (( —" — ав) ( —.— ") + (а„+ — ) ( —.— — айсф д)+ 2тз дд взпд дф " дд 61пд дф дав дав 1 + — ( — —. + а„+ айс12 д) ), дд дф взпд 1 (да„ / 1 да, ае'1 дав / 1 дав 2т1 дт 1,тв1пд дф т/ дт ~61пд дф даф / 1 да; + — —. — + а„+ ай с16 д дт 1,взпд дф УПражНЕННЕ 6.5.10.
Используе результаты упр.6.5.9 и формулу (6ПВВ), показать, что компоненты правого тензорв деформаций 1ь = ген (и) в пилинлричеекой системе координвт имеют вид: "~тг ~ + + + з + 1 /1 да, дай з~ 1 удав да, 1 дай да, Л = — — — + — ~ — — — + — — — + 2~тдф дв) 2здт дт т дф дф дав да, ат да,~ + — — ++ — — ) дв дв тв дф )' 6.5. Ди еици рвение в о тогонвиьных кое динвтвх 437 1 / да„да, 1 да„да, да„да, 1 щ — 11 — — + — 1 — — аф) — + — — (, 21 дг дт тг дф дф дд дв !' в в сферической — следующий вид: 2 д 2 + —. — — аф ( 1 даф ~,2 дав г + —.— — афсга д ~ + 2а„— + а,), '2 вшд дф " дд В = — ~ —.— +а,+афсЦд! щ — ~т ( — ) +1 — ) + 1 1' 1 даф 1 / г даф 2 даф 2 т 81Пд дф 2тг ~ дт дд + ( —.— ) + —.— 1а„+ авс2а д) + 1а„+ афсгй д) ), 1 даф г 2 даф 81пд дф вшд дф 1 / гда, дав даф да, ш — ~т — — + — ( — — ас)+ 2тг ~ дт дт дд дд 1 да„ 1 дав да„ +( —.—" — афИ вЂ”.— — афсга д) + аг( —" — аф)), вшд дф 81пд дф дд 1 / 1 дав да,1 Л = — ~ —.— + — — афсга д 2т 1,вшд дф дд 1 у 2 дав даф дав даф щ — ~т — — + — 1 — + а„)+ 2тг '1 дт дт дд дд 1 дав 1 даф + ( —.— — афсга д) 1г —.— + а„+ авсгй д)), 81Пд дф в1пд дф ГЛАВА 7 ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ з 7.1.
Кривые в трехмерном евклидовом пространстве 7.1.1. Способы задания кривых Данная глава посвящена тензорному описанию кривых и поверхностей в пространстве 1ез. Напомним, что положение одной точки ЗИ в трехмерном евклидовом пространстве в гл.1 определялось с помощью радиуса-вектора х = х'е;. Олркдвлвнин 7.1. Крив от1 ь в Е' называют непрерывное отпображение отрезка )СтСз] из й~ в пространство йз, т.е. ь": [(т(з] Е Из Иначе говоря, множество точек, образующих кривую ь в трехмерном евклидовом пространстве, определяется с помощью вектор-функции (рис.7.1): х = х(с), (т < ~ < (з, (7.1) или трех обычных функций: 2 Х1 от одного аргумента, где ( - некоторис 7 1 и рареаеаен«ю «рн«оя Рый паРаметР (не обязательно вревой в пространстве называется параметрическим.
Понятие непрерывности отображения ь" уместно, поскольку в евклидовом пространстве йз определена метрика (т.е. расстояние между точками). Тогда х'(() являются непрерывными числовыми функциями. Кривую ь" можно также задать с помощью двух функций от трех Глава 7. Геомет ил к ивых и лове хноетей 440 аргументов - координат х'. Ф1(х') = О, Фэ(х') = О.
(7.2) Такой способ называется недо ныл. 7.1.2. Длина дуги кривой Две соседние точки М и М' с радиусами-векторами х(() н х(( + еЗС), находкщиеск на кривой х,, соединены малым вектором Ьх (рис.7.2): Ьх = х((+ гас) — х((). (7.3) Устремляя Ь~ — + О, получим элементарный радиус-вектор йх, который связывает бесконечно близкие точки М и М' на кривой .С. Из определения йх следует, что он направлен по касательной к кривой ь'.
Также по касательной к к', направлен и векглор скоросизи двихсвнид ко кривой йх/д(. Длина элементарного вектора ~дх~ численно равна расстоянию дв между бесконечно близкими точками М и М' на кривой .С: Х1 Рис. 7.2. К олределению длины дуги кривой Ыв = ~Нх~ = (Нх Нх)зуэ, (7.4) величина сЬ называется элеменлзарной длиной дуги кривой Е. Очевидно, что дв является функцией параметра (, тогда можно определить функцию в(() как г4 в(() = / Нв, га (7.5) Если кривые являются гладкими (непрерывными и без изломов), то вектор-функции (7.1) или функции (7.2) являются непрерывно дифференцируемыми, по крайней мере один раз. В дальнейшем будем предполагать существование и непрерывность тех производных, о которых говорится в тексте. За положительное направление кривой Е, по определению, выбираем направление, соответствующее возрастанию параметра (.
7.1. К ивые в евилииовом и осе вистве 441 называемую длиной дуги кривой ь', которая соединяет точки Мо и М (расположенные на кривой ь" уже произвольным образом) с радиусами-векторами х(Со) и х(С). Подставляя (7.4) в (7.5), получаем явное представление для длины дуги: (7.6) 7.1.3. Векторные характеристики кривой Элементарную длину дуги дз (7.4) можно записать в ином виде: аз = ! — !д4.
Их ас (7.7) х = х(з), з1 < з < зз, (7.8) или х1 = х1(з), где справа стоят, конечно, уже другие функции по сравнению с (7.1). Также от вектора скорости движения по кривой (ах/Щ) можно перейти к вектору (ах/аз): Их Их Из (7.9) Ы6 дз Ы8 Вектор (7.10) Ф = дх/Из называется единичньле еенпзорове касательной к кривой ь". Также как и (ах/Ы(), он направлен по касательной к А"., и в силу соотношения !Ф! сс — = — = 1, !Ых! дз дз дз (7.11) действительно имеет единичную длину. дифференцируя вектор 1 по з, получаем ас дэх дз (7.12) С помощью этого соотношения между дифференциалами дв и ас, можно перейти от параметра С, характеризующего движение по кривой Е, к параметру з - длине дуги.
Тогда все характеристики кривой можно рассматривать как функции длины дуги з. Например, само задание кривой в виде (7.1) можно представить следующим образом: Глава Т. Геомет ие к нвмх и иове хностей 442 — еекпюр кривизны кривой .С. Этот вектор ортогонапен вектору С. В самом деле, дифференцируя по е соотношение С ° С = 1, имеем йС с)С вЂ” С+С вЂ” =О, йе с)з (7.13) (7.14) Поскольку С направлен по касательной к кривой Е в некоторой точке М, то вектор к, в силу (7.13), направлен по нормали к ь" в той же точке.
Опгнднлинив 7.2. Кривизной кривой С в точке М называют длину вектора к в этой точке и обозначаюп1 как к. Выражение для к через декартовы координаты, согласно (7.12) и (7.8), имеет вид: Й=)к) =) — ) = (7.15) Величина (7.16) Л= 1/й называется радиусам кривизны кривой ь в точке М. Из определений (7.15) и (7.16) ясно, что й и Л - всегда неотрицательны.
Единичный вектор ы= Лк (7.17) называется вектором главкой норлеали к кривой. С помощью ы и С можно построить вектор Ъ=Схы, (7.18) называемый единичнььк вектороле бинорлеали. В силу свойства (1.49) векторного произведения, он ортогонапен С и м, и в силу (1.50) действительно имеет единичную длину. В силу свойств (см. упр.1.2.7) векторного произведения, из (7.18) следуют также формулы: м=-ехЬ, С=мхЬ.
(7.18') откуда, в силу независимости скалярного произведения от порядка множителей, получаем: тд. К ивые в евкнндовоы и ест енстве 7.1.4. Сопровождаюшмй трехгранник ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Плоскость, проходящую через точку М кривой Ю и содержащую вектпоры Ф и и, называют с о припас ающ ейскя; плоскость, содержащую векторы Ф и Ь, называют спрямляющ е й, а плоскость, содержащую в ектпоры и и Ь, — н в р м ел ь н о й. 7.1 б. Кручение кривой Если вся кривая б лежит в одной плоскости (плоская кривая), то эта плоскость совпадает с соприкасающейся плоскостью. Пля плоской кривой единичный вектор бинормали Ь постоянен, т.е. не меняет не только единичную длину, но и направление, поэтому дЬ/дв = О.
Пля неплоской кривой эта производная отлична от нуля: йЬ/ав ф О, и характеризует отклонение кривой от плоской формы. Поэтому вектор т = дь!дв (7.19) называют вектором кручению Пифференцируя (7.18), с учетом (7.12), (7.19) получаем: ди т ес к х и + $ х —. ая (7.20) Так как векторы к и и по (7.17) - коллинеарны, то к х и = О, поэтому аи т=Фх —. Ыв (7.21) По свойству векторного произведения иэ (7.21) следует, что т ортогонален вектору с.
С другой стороны, поскольку Ъ - единичный вектор, Рис. 7.оо. Сопровождеющий трекгрвнник вростренственной кривой Ь Таким образом, в каждой точке М кривой б имеется три взаимно ортогональных единичных вектора $, и и Ъ, которые образуют тройку векторов, называемых сопровождающим трехеранником пространственной кривой ь (рис. 7.3). При движении вдоль кривой ь' сопровождающий трехгранник движется как твердое тело. Глава т. Геомет ик к ивык и иове киоетей 444 (7.22) т = — ты, где т - коэффициент пропорциональности. ОцгндЕЛЕНИЕ 7.4.
Коэффициента пропорциональности т между вентпором кручения т и вектором ы главной нормали к кривой ь', взятаый с обратаным знаком называют кручением кривой ь". В отличие от кривизны й, кручение т может быть как положительным, так и отрицательным. Обратная к нему величина В, = 17т называется радиусом кручения. Получим выражение для кручения т. Умножая (7.22) скалярно на ы, имеем с учетом (7.21): т = — С х — ° ы.
(7.23) Подставим сюда вместо и его выражение (7.17) через вектор кривизны к: д(Вк) 7 йВ дк 1 тке — Сх ° Вк =-С х ~ — к+ — ) ° Вк= дв дз дз с(В 2 Г Нк~ = —  — (Схк) ° к — В (Сх — ) ° к. дз дз (7.24) Так как вектор (С х к) ортогонален к, то первое слагаемое в (7.24) рав- но нулю, Во втором слагаемом в (7.24) согласно свойству смешанного произведения векторов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
