Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(5.510) Полный дифференциал от скалярной функции (5.476) представляет собой сумму частичных дифференциалов: дУ( Т)ц....т<„)) = 5 д«~=') ""У о, ....д(""Т<,))) «=1 «=1 (5. 511) Например, для случая скалярной функции двух тензоров (н = 2) второго ранга имеем: дУ(Т,В) = )т "дтт+У "двт. (5.512) Если тензоры Т и  — симметричные, то вычисление тензоров производной ут и ун должно осуществляться по правилам (5.94) и (5.96). В механике важную роль играют частичные дифференциалы от скалярной функции (5.476) по одному из тензорных аргументов: 5.9.
Сканя ные нкннннеекоаькнктенео ныка г ментов Зег 5.9.7. Лифференцирование совместных инвариантов Рассмотрим в качестве скалярной функции 7" (5.475) совместные инварианты у = о ' двух тензоров Т и В относительно какой-либо 00 группы С,. Очевидно, что если совместный инвариант содержит компоненты только одного тензора, то тензоры производных от них будут совпадать с соответствующими тензорами производных обычных инвариантов 7<, .
Поэтому вычислим производные только от инвари- 00 антон,у из функциональных базисов классов, приведенных в п.5.9.4, 60 которые содержат компоненты обоих тензоров Т и В. Возможны два вида таких инвариантов: ~ = (Т З В) ° ° ° 441 (5.513) — квадратичный совместный и У=(ТЕВЕВ)"" еа (5.514) — кубический совместный, где й и 41 — индифферентные относитель- 4 Е но группы с4, тензоры. Лля вычисления нгензора часпгноб производной ун, рассмотрим тензор Т как фиксированный, тогда скалярные функции (5.513) и (5.514) можно свести к линейной относительно В: у=В ° й, й=ей ° Т (5.515) и квадратичный относительно В: 7' = (В 8 В) ° ° ° ~41, 41 = ~41 ° .Т.
(5.516) Тогда, используя правила (5.118) и (5.120) дифференцирования линейных и квадратичных функций, получаем: (Т 45 В 411) (В 11) (41+ от) (411+ 411(ггзед) Т дВ дВ 2 2 (5.517) а также д — (Т Э В ®В ° ° ° ° ° ~й) = — (В Э В ° ° ° 441) = 2 41(4 ° .В. (5.517') дВ Если совместный инвариант (5.517) имеет структуру вида: (А Т) (С В) (ТйгВ) (А®С)(44зг) (5518) где А и С вЂ” симметричные тензоры второго ранга, то формула (5.517) принимает вид: д 1 г — ((А ° Т) ° (С ° В)) = — ~(А йг С)<ым1+ (А ® С)бн ~~) ° Т. дВ 2 (5.519) Гвввв 5.
'Геиво иые ивции 292 5.0.8. Частные производные от совместных инвариантов функциональных базисов дУ~ ) д 1г дВ дВ 1 '' 3' 2~ 1 3 и ((йг т) (-2 В)) ~(йг Э -2)(ызг)+ + (ег Э егз)(~~~~)) 'Г = — (02 Э Ог) .Т 1 4 (5.520) в силу симметрии Т. В ортотропном классе два аналогичных инварианта: дуго ' 1. дУ(о) = — (О1 Э О1) Т, 11 = — (Ог Э Ог) Т. (5.521) Лля тетрагонального класса имеем ду(т) дВ 1г — ~((Е - йзг) Э йз)(~~~» + ((Е— 2 1 -(О,ЭО +ОгЭО2) .т, -2) Э йг)(4122)) Г (5.522) д у(т) дВ д1(т)  — О„..т г(' )(т) д~ дВ и") —" =-Озь "т.
дВ 4 (Оь егз Э езг) ' 'Т Лля Кз-класса: д у(н) д У(к) = -(01 Э Ог+ Ог Э Ог) ° 'Г, 11 = (Оь — ез Э егз) 'Г, дВ дУ1( ) 1/ 1 — = — ~~ — — (О1 Э 01+ Ог Э Ог) — Оь 'Т. (5.523) дВ 2) 2 Лля А-класса: д,У('1) 1 = — (Ог Э Ог+ Ог Э 02) Т, дВ 4 Применим полученные правила для вычисления тензоров частных производных от совместных инвариантов функциональных базисов в различных классах симметрии. В триклинном классе нет инвариантов, содержащих компоненты обоих тензоров. В моноклинном классе есть один такой совместный инвариант: Ззи Скеле нме нкциинеекоиькихтеиза ныхв г ментов 292 д,7(Я) 1 д.7(Я) = -Пз. Т, 22 = -йзи Т. (5.524) дВ 4 Для В-класса: д (в) д 7(в) — = -(02 Э Ог+ Ог Э Ог) ° Т, = -1Эз ° Т, (5.525) дВ 4 дВ 4 д 722 (в) -2 -2 дВ 2 Л вЂ” -(Ог Э Ог + Ог Э Ог) — ез З ез Для квазиизотропного К-класса: д3(~~) д7(~) 1 — = Оь Т, = -(21 — Оь) Т, дВ ' дВ 2 д (Е) го = Оь ((Т "Ол) (Т Оа)) = (Т Оь) (Т Оь) (5 526) дВ дУЯ) — Оь ' 'Т (Т ' 'Оь) ' (Т ' 'Оь), дХ2(~~) дВ =в о„"т+(т "о„) в — (т "о.) (о."в).
д72 1 (в) -2 -2 дВ 2 — А — -(02 З О, + Ог Э Ог) — ез Э ез Т. хо (5.527) Для изотропного класса: (2) дХ, ! ° Т, дВ (г) д12 = Ь Тг дВ (5.528) д Уз =Т В+В Т, д.7(г) го Тг В+В Тг дВ Для гексагонапьного (Н) и трансверсально-изотропного (тз) классов: д 7(н) = -(О, Э О, + О, З Ог) "Т, Глава 5. Тензо ные икции Упражнении к з 5.9. Упражнение 5.9.1. Показать, что следующие сканеры можно выразить через функционельный базис совместных и и вар ивнтов М-кпееее: (и) (м) (м) (м) б 11 5 12 гзВ12 (м) ТгзВгз (м) Упр 5.9.2. Показать, чта следующие екэляры явпяютея инваривнтами относительно О-клвеев, и ик можно выразить через функционельный базис этого класса: (о)г (о) (о) (о)2 Вг ы 4 5 Вг Вы (ор (о)г ' Вгз (о) ' 11 о 1и 15 Упражнение 5.9.3.
Показать, что еледующие скэляры являются инввривн- тами относительно Кг-клвееа, и их можно вырвзить через функционвльный базис этого класса; ТпВ22 + ТггВ11 = 11 32 —,Уп (К) (К) (К) В' + В' = (и(к)' — 2.1(~),у(к),у(к) + у(к)'.у(к)) . (к) (к)2 ( и и 1 у 2 4 4 1 Упражнение 5.9.4. Поквзвть, что следующие сквляры являются инавривн- тами отноеительно А-клвесв, но их можно выразить через функциоиельный бозио этого клвесв; (А) (А) 715 = Вгз(В11 — Вгг) — 2ВыВгз, 7н = Вгз(Вп — Вгг) + 2ВыВ12.
'Упражнение 5.9.5. Показать, что следующие скеляры являютея инвариентами относительно В-клвеее, но их можно выразить через функциаивльный бозио этого клееев: 1 з = Вп + Вгг + 2Вы 114 —— Вгз(Вп — Вы) — 2В)гВгз. (в) -г -г -з (в) 'Упражнение 5.9.6. Поквзать, что сделующие еквляры являютея инввривнтами относительно К-клвеев, но их ножка выразить через функциональный бозио этага клвеев: 115 — В11 + Вы + Взз, Хн = Вы + В1з + Вы, И) -г -г -г (4)) -г -г -г =В +Вгг+В (и) -з -з -з 1(и) 2 чг 6 гз = (м) 15 (к)г 52 12 ы (к) ' 5 (м)г (и) 52 12 5 22 (м)г '11 1 (м)г Вгз = (м) 2 11 'У5 5ЛО. тенте ные нканннеокооькнхтензо ныхв г ментов Зез 5 5.10. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов 6.10.1.
Определение тензорной функции нескольких тензорных аргументов Кроме скалярных функций вида (5.475) в механике применяют такие таензорные функции нескольких тпензорных аргументов. Опрндвлннив 5.16. Отображение декартпова произведения и простпранств тензоров Тз, й = 1...и, в просптранстпво Тз на(тив ) (то) зывают тензорной функцией п тензорных аргументное и обозначают как ыГ: Т( ' х ... х Т( ) — + 7 ( ) или в виде зависимостпит Б = 2с( 'ТПВ,..., "Т(о)), У™Я Е Тз "Т(») Е Тз (5.529) )о = 1...п. В компонентном представлении, например, в базисе К; пространства Й~ такие функции имеют вид: одт- т', »о..» б;, з„=Г;,„;„(2"„;" ...Т,„;- .).
При переходе из одной системы координат Х' в другую Хн значения такой функции меняются по тензорному закону: Я' ~дц....д'-. Т""'- О' д'"- Т"*-'"-) = <..л ( т,. у, (ц .. »,. »„() Опгидицинин 5.17. Тензорную функцию (б.б30) называют индифферентной отаносительно группы С„если вид функции не меняетпся при всех преобразованиях в этой группе: (5.532) где У;т„з — компонентное пРедсптавление тпензоРной ЯУнкции в декартповой системе координат х' = Хн с осями, совпадакнцими с осами анизотпропии. Из (5.531) и (3.45) следует, что для индифферентной тензорной функции нескольких аргументов выполняются условия: т;,.„;„(т(,';" ",..., Т('„',-'".) = = Ао' ...Ао" У „, ~~Ац ...А "' Т""'т"',..., т Чо т 1 Ь т з (1) Аз А' Т"'"'» ") Ч(А'») Е О,.
(5.532') Глава г. 'Уеиео иые иииии зге 5.10.2. Псевдопотенциельные тензорные функции нескольких тензорных аргументов Для тензорных функций нескольких тензорных аргументов введем понятие псевдопотпенциальностпи, которое, вообще говоря, отличается от обычного понятия потенциальности тензорной функции. ОпгвдЕЛЕНИЕ 5.18.
Псевдопотенциальной или потпенциальной по й-ему тенэорному аргументпу называют функцию види (5.530), для которой суитествует скалярная функция» »Р = Ф (Т( ) ', ° °, Т~(г)"",..., Т('„')"'"") (5.533) тпензор частпной производной отп котпорой по й-ому аргументу сов- падает с функцией (5.530)т О;,, з„= От(»(дт""л (5. 534) или в тпензорном виде Б=дф(ОТ)ь) 4 =4( 'Тр) " Т(ь)" "Т(и)) (5534') Из определения псевдопотенциальной тензорной функции следует, что ранг тп тензора Б совпадает с рангом аргумента ™Т»ь). Оцевидно,что если скалярная функция (5.533) является индифферентной относительно группы С„ то соответствующая ей псевдопотенциальная тензорнгя функция также является индифферентной относительно С,. 5.10.3.
Представление псевдопотенциальной тензорной функции в тензорном базисе Рассмотрим псевдопотенциапьную тензорную функцию (5.534'), зависящую от двух симметричных тензоров: Я = л=(Т, В) = —. ду) ОВ' (5.535) »Р(Т, В) = »5(Х~')(Т, В)), у = 1...г. (5.536) Обозначим г — число совместных инвариантов Х» в функциональном базисе группы С„а и — число инвариантов 1„одного тензора Т Индифферентную относительно группы С, скалярную функцию т)»(Т, В) всегда можно представить как функцию от полного набора совместных инвариантов,7 (Т, В) из функционального базиса относительно той же группы симметрии: З.10.
Тенер ные икали нескольких тензо ных а г ментов Зет относительно этой группы С,. Будем далее полагать, что инварианты 7»(Т) полностью входят в набор,7»: Х, =,7»(Т), 7 = 1...и. Тогда от тензора В зависят 'только 7», для которых 7 = т + 1... я. Вычисляя тензор частной производной от тр, получаем, что псевдо- потенциальную функцию (5.535) можно представить в виде: дтг дд»0 (') дВ , „+тджх» (5.537) и скалярные функции дтр (о»зк (), 7=1 ° ° ° г т' и'„ (5.538') Тогда получим следующую теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
