Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Рвмввовы и ест ввствв 497 ОЛРеделение 8.4. Касательным простпранстпвам в данной точке М злементпарного многообразия М" называют множество касатпельных вектаоров а = а'ен построенных ко всевозможным кривым ь", проходяи4им через данную тоцку. Тиогнма 8.1. Касательное пространство в любой точке М Е М" является п-мерным линейным пространством, которое обозначаюта как ТзлМс, а векторы е; образуют базис в нем. 7 Первое утверждение теоремы очевидно, так как операцию сложения и умножения на число касательных векторов а1 = азе; и аз = азе, можно определить с помощью соответствующих операций с компонентами а1 и а~. Векторы е;, 1 = 1...
ть, являются линейно независимыми и действительно образуют базис. Нам нужно только доказать, что онн все принадлежат касательному пространству в данной точке М. Пусть Х' — координаты точки М. Рассмотрим и кривых С в вб", заданных следующими функциями: Х11 1(~) =Х'+б'4, а=1...п 74 Е(0,~1], (8;7) где с1 — некоторое положительное вещественное число. Эти функции проходят через точку М при значении параметра ~ = 0, а производные дХ1 )/а4 = б' образуют компоненты некоторых касательных векторов н совпадают с компонентами векторов е„= бз е..
Очевидно также, что при переходе к новым координатам Хн(Х1) кривые Г преобразуются к виду Х,'*.1(б) =Хн(Х',.,(б)) =Хн(Х +б б), при этом компоненты касательных векторов преобразуются действи- тельно по тензорному закону: дХ1н )/д~ = (дХн/дХ1)У . Таким образом, мы нашли такие кривые .Со в вбв, которые проходят через точку М и компоненты касательных векторов к которым совпадают с компонентами векторов е в своем же базисе, следовательно, е; йТА4М".
А 8.1.3. Определение риманова пространства ОПРЕЛЕЛЕНИЕ 8.5. Элементарное и-мерное многообразие М" называют рим апов ым про стран с завом Ч", если в каждой елочке М й лвв с координатами Х' задана матрица д; и-го порядка, которая является 1' симмеепричной, дс невырожденной: де1 (ду) ф О, ЧХ', Гвввв8. тевзо ыв выввовывп оот вветввх 493 оо компоненты ее являются непрерывно-дифференцируемыми фуккциями, при переходе к другим координатпам Хн преобразуется по тензорному закону: ду = Ю';Ю'удь (8.8) Двумерные поверхности, рассмотренные нами ранее в 84~, очевидно, можно рассматривать как двумерные римановы пространства Чз с метрической матрицей дгз.
Расстояние в римановом пространстве вводят для бесконечно близких точек М и М', имеющих кординаты Х' и Х'+ ИХ', и'определяют его как дгз = кд4ГдХ'дХ', (8.9) где к — знаковое число, которое выбирают так, чтобы форма (8.9) была положительной. Риманово пространство называют собственно римановым, если метрическая матрица д<, ЧХ' Е 2з, является положительно-определенной, в противном случае говорят о псевдоримановых пространствах.
8.1.4. Скалярное произведение в Ч" Поскольку у нас теперь в каждой точке М й М" определена метрическая матрица д;, то в касательном пространстве ТллМ" можно ввести скалярное произведение. Опгидилннии 8.6. Скалярным произведением касат ель ных в е к тор о в а и Ъ из касательного пространстпва ТллМ" называют отображение юз ТллМ" х ТллМ" — + гь~, построенное следуюи4им образом: (8.10) а Ъ = а'Уд,у(Х ), где а' и У вЂ” компоненты касательных векторов в точке М Е Ч" с координатами Х, а д; (Х") — метприческая матрица в данной точке.
Если Ч" — собственно риманово, то скалярное произведение (8.10) обладает всеми свойствами, приведенными в определении 2.8, и, следовательно, пространство ТллМв с введенной на нем операцией (8.10) является евклидовым пространством. Его обозначают как Тлл т' . Если же У" — псевдориманово, то соответствующие пространства Тлл'Ув называют псгвдоевклидовыльи. Пусть е; — базис в Тлл'У", в котором касательные векторы а и Ъ имеют компоненты а', Ь', соответствующие системе координат Х'.
Тогда из (8.10) следует, что а ° Ь = а'Уе; ° е = а'Уд,у, 8.». Римановы п осе васева 499 откуда получаем е; ет — — дт.. (8.11) Поскольку дтт(Хь) не вырождена, то можно определить обратную метрическую матрицу дтт(Х ): д»тд ь = 6», (8.12) а с ее помощью — векторы взаимного базиса е'.
е' = д'тет, (8.13) которые в соответствии с соглашением о совпадении евклидовых и сопряженных к ним пространств (см. п.2.4.4) можно рассматривать как элементы из ТмУа. То же самое относится и к псевдоевклидовым пространствам. 8.1.5. Определение тензора в элементарном многообразии После того как мы ввели векторы а в касательном пространстве ТмМ", можно воспользоваться формализмом, изложенным в 92.5, и построить в каждой точке М Е М" множество наборов касательных векторов (а»ЪО~азЪт~1...ааЬт"1) = (а;ЬР1), где а; б ТмМа, Ь51 Е ТмМа, и ввести на этом множестве операции (2.112) сложения и умножения на вещественное число.
ОпРеделение 8.7. Тензорнылт касательным простпранств ом ~Т~~~(ТмМ") таина (рд), где р+ д = 2, в тпочке М элементарного многообразия М" называют тензорное произведение касательного пространства ТмМ" на себ»п Т1Р41(ТмМ™) = ТмМ Э ТмМ ЧМ Е М", р+ д = 2.
(8.14) Как и ранее, тензорное произведение вводим как фактор-пространство и-ой степени декартова квадрата ТмМа З ТмМ = [(ТмМ" и ТмМ")"] по отношению к той же самой эквивалентности, введенной определением 2.24. Теорема 2.29 тоже имеет место, и с ее помощью устанавливаем, что Т (ТмМ ) является линейным пространством, причем (Рт) д т„'Рт~=пз,р+4=2. Базисные диады в Тат~~~т(ТмМ") введем по формулам (2.118): ет 8 еь = [е;(бтеь)], (8.15) где [ ] — классы эквивалентности соответствующих наборов касательных векторов. Очевидно, что если рассматриваемое многообразие Мз является поверхностью Е в 54~, то ТмМ совпадает с Ст<,р введенном в п.7.2.3, а базисные диады (8.15) с соответствующими диадами Рт Э Рк. Гпввв г.
Тон»о ы в вы»новых и ост вист»ох зоо Опгнднпвнин 8.8. Тензором второго ранга А(М) типа (рд) в точке М Е М" называют элемент тензорного касательного пространства Т»(гг (ТвлМ"), р+ ч = 2. Подобно тому, как зто проделано в 12.5, можно ввести тензоры высших рангов "А в М". Всякий тензор й-го ранга ьА(М) согласно теореме 2.28а можно представить разложением по диадному базису в Т»гг~: ьА= А;, зл"о'е" еЗ...эе" Зе, 8...8е,, р+д = й.
(8.16) Поскольку тензор "А введен как инвариантный объект, то, переходя от координат Х' точки М Е М" к координатам Х", согласно формулам (2.158), получаем А. '»+""" = Ру' ...Рза Ц'»+' ... („Г» А и+'"'~", (8.17) »».. В» 1,+» — формулу преобразования его компонент. 8.1.6. Определение тепзора в римановом пространстве Если в многообразии М" введена метрическая матрица дб, то оно становится римановым пространством Ч", а касательное пространство в каждой точке М е Ч" — евклидовым (или псевдоевклидовым) Т»лЧ".'Тогда используя соглашение о совпадении пространств Т Ч" и ТллЧ" (см. п.2.4.4), можно говорить о тензорном касательном пространстве Т» (ТллЧ ), заданном на римановом пространстве Ч .
(ь»»» » 8.1.7. Алгебраические операции с тензорами в М" и Ч" Поскольку касательные тензорные пространства Т( г (ТзлМ") являются линейными пространствами, то для них определены операции сложения и скалярного умножения тензоров на число, операции транспонирования, симметрирования, альтернирования, а такжетензорное произведение тензоров. Формальная запись этих операций для тензоров из Тв г((Т»лМ") совпадает с формулами (2.159) — (2.165). Лля тензоров из Т (ТллЧ ) кроме того определены операции опус- (И» кания и поднятия индексов (2.166) и скалярное умножение тензоров (см.
определение 2.29). 8.1.8. Коэффициенты связности в Ч" В евклидовом пространстве (см. 86.1) была определена операция ковариантного дифференцирования тензорных полей. Эта же операция может быть введена и для риманова пространства Ч".
Ладим ее определение. 8.1. Рнмвновы п ост внствв 501 Поскольку в каждой точке М(Х[) Е Ъ'" введена метрическая матрица д[[(Х[), компоненты которой, согласно 3', являются непрерывнодифференцируемыми функциями, то можно вычислить производные дд[[/дХь и образовать из них следующие объекты: 1 Г[[э = -(дм,[ + дуьд — д[[уь). 2 (8.18) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.9. Функции Г[[ь, определенные по формулам (8.18), наэываютп коэффициентпами связности первого р о д а в Чп. Коэффициенты связности в тп ар о г о р о д а вводим с помощью обратной матрицы д[1[ (8.19) Гтб птгГ [[ Заметим, что в евклидовом пространстве )и" англогичная формула (6.13) является следствием соотношения (6.1), с помощью которого вводились символы Кристоффеля.
В римановом же пространстве две основополагающие формулы (6.1) и (6.2) имеют место только в некоторых частных случаях и записываются следующим образом: Гп1 уп (8-1)ь ( 5 1 ) ь ( о 1 ) й (8.20) (8.21) Г[,„— -(д[ьу+дуьу — д[, „) = -(Р[Р„д )В+ 2 1, „1 2 2 1, д м — Р[Рв Р[ (дылд+уды [ д[д,тп)+д[тпР[[ Р1 =Р'[Р„Р'уГ, +д, Р™[, Р[ь. (8. 22) где 5 ь — матрица коэффициентов, связывающая два базиса е"„и е в У": е,', = Я ь еы которые являются аналогом базисов еь и Кь в пространстве Гдз соответственно.
Эти частные случаи мы рассмотрим далее, в общем же случае риманова пространства Уп формулы (8.20) и (8.21) не имеют места. Тиорнмя 8.2. Коэффициенты связности Гб и ГД, введенные в 'Чп по формуле (8.18), не являются компонентпами тпенэоров. д В самом деле, если определить коэффициенты связности в системе координат Х", а затем воспользоваться формулами перехода (8.8) и обозначениями (8.2), (8.3), то получим: Гл»в» Э. Тон»о ы в вмвновыя а ст висте»х Используя формулу (8.19), устанавливаем закон преобразования ко- эффициентов Г,": г«мГ) д«)м гр(Р~ Р» Рт Г, 33 1зг» г р т г» у 1е» +умР"; Р~ ) =Р~;Рв Я~,Г~ +Я~,Р";;. (8.23) Оба закона преобразования (8.22) и (8.23) отличаются от тензорного (8.17), что и доказывает теорему.
в (8.24) и Г; =Г;. Ву ут' Г; =Г; т Переставляя индексы 1 о«т' в (8.18) н (8.19), легко убедиться в истинности этого утверждения. А 8.1.9. Ковариантное дифференцирование тенэоров в Ч" Рассмотрим теперь в Ч" произвольное поле тензора 9-го ранга: "й(Х') =й""" ец®...®е;,фа«1 8...®е", р+д = 9, (8.25) причем его компоненты й ' ' (Х') будем считать непрерывно- 3» дг дифференцируемыми функциями координат Х' точки М Е Ч". Опрндндинин 8.10. Кое ариантной производной от компонент тенг ори й '" ' й-го ранга «й, определенного в Ч", называют следующий обьектп: +~~Г" й""" "" +.. вн "-Е г» ц- 1г Гудй '",,„, — „д, (8.2б) Творима 8.4.
Ковариантная производная от компонент тенэора в римановом простпранстпве, определенная по формуле (8.96), сама образуетп компоненты тензора (й+ 1)-го ранга. т Покажем теорему для случал Й = 2, для тензоров высших рангов доказательство аналогично. Записывая ковариантную производную Творима 8.3. Коэугугициенты связности Гб и Гу в Ч" си вметричны по паре индексов: ВЛ.
Рнывновып ест внствв 503 от тензора й'» в новых координатах Хб и используя (8.23), получаем: = (д',Р„й' )ц+ д Р' й,(Р" Р а',Г„' + а',Р" )— = Я',Р» Р' 27,й~ (8.27) Здесь учтено, что дзХ" дХ'дХб дХпв дзХс д2Хс дХг дХбдХпв дХбдХг Соотношение (8.27) действительно представляет собой тензорный закон преобразования компонент тензора (5+ 1)-го ранга (в данном случае — третьего). а С помощью понятия ковариантной производной можно определить градиенп» теизора й-го ранга»й в Чв: '79»й = ~72й""';,;„е'9е;, 9...9е;,9е"+' 9...9е'", (8.28) который, согласно формуле (8.26), представляет собой тензор (й+ 1)- го ранга; а также диеергенцию пзензора '17 ° "й = 57;йп'"'в;,е;, 9...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
