Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 80
Текст из файла (страница 80)
А (8.88) Е.З. Римвново и ост внство с и инной связностью 521 ТноРБМА 8.20. Козу)д1иииенты еразцения Риччи яеляютея компонентами таензора трелььего ранга и могут быть выражены через тензор' кручения следующим образом: зТ зй + зй11зз1 зй(з1г) (8.86) т Вначале установим вспомогательную формулу, имеющую и само- стоятельный интерес. Из теоремы 8.18 следует, что "ьз;ды = дыд— Г~чд 1 — Г11д ь = О, откуда получаем: дм ' = Гэздю1 + Г11 д Ь (8.87) Подставим эти производные в выражение (8.69) для символов Крис- тоффеля Гу: Г; = -д '(Г'; дср+ Г' дюь + Г',дзр+ Г';дзу — Г,' дзд — Г' дн) (8 88) Введем обозначение '1 1 ', 2 (8.89) для симметризованной связности и используем определение (8.52) тен- зора кручения, тогда получим Г;, = Г",, — д- (днй„' + д„й„') (8.90) Тб =-йсу +д ~(днй„,е Рдзуй„').
(8.91) Поскольку в правой части этого выражения стоят компоненты тензоров, то и коэффициенты вращения Риччи 2 '; являются компонентами тензора третьего ранга: Т = Т ; е грез 8 ез. Подставляя соотношение (8.91) в (8.92), получаем соотношение (8.92) 'Т = ( — й +й +й ) 8 '8 = зй+зй11ззз — зй1ззз) (8.98) — искомое соотношение между связностями Г,, Г™ и метрической матрицей дн. Подставим теперь формулу (8.90) в (8.83) и выразим из нее Т~д, в результате получим Главаа. 'Зензо ыв инановы:си ест анствах 522 которое И доказывает теорему. а ПосколькУ зТ вЂ” тензоР, то длк него в пРостРанстве Аг опРеделена операция поднятия — опускания индексов, поэтому коэффициенты Т~у следует писать как Т*') .
Условимся однако для этой конкретной комбинации индексов использовать оба обозначения: Т; = Т; . 2 8.4. 'Гензор Римана-Кристоффеля 8.4.1. Тензор кривизны пространства П" В 27.2 мы ввели понятие тензора кривизны егь — Римана-Кристоффеля для поверхностей в ьс~. Покажем теперь как можно ввести этот тЕНЗОР В ПРОСтРаНСтВЕ аффИННОй СВЯЗНОСтн з.а. Рассмотрим в точке М Е 5." произвольный вектор Ь = 6"ез из ТлеУ " и вычислим его ковариантную производную относительно связности Гу (8.42): дьь (8.94) Вычислим вторую ковариантную производную: Поменяем теперь индексы з и 7' и образуем разность: дХ; + Г»йгм Галгез)6 у7,6 ' %Ч,Ьь — (дГ дХ2 — (г; — г, ) с7 ь". (8.96) Коэффициенты, стоящие в первой скобке, обозначим следующим образом: Здесь, как и ранее, Г55 — — дгв,./дХз. Выражение во второй скобке в (8.96) представляет собой компоненты тензора кручения (8.62).
Тогда получим ь * ~72~7;Ь" — зу;~7 Ь" = В;, 6' — 2ЦЧ Ь". (8,98) 8.4. тсняо Римана-К исто сяя э ТЕОРЕМА 8.21. Система коэффициентов Луп, образованная пв формуле (8.97), представляет собой компоненты тензвра 4В. чет- вертого ранга из пространства 7„' (1лл'я.о): <зз1 ь К=В;, езее'Эе'вэеэ. (8.99) у Показательство следует из формулы (8.98), поскольку в левой части этой формулы стоят компоненты тензора третьего ранга (см.
п.8.2.2), а 17,оь", Й,.О 6' также являются компонентами тензоров (см. теорему 8.10). А Тензор (8.99) называют тензором кривизны првстаранства 1." от- носительно связности Г; (или тензором Римана-Кристоффеля). Вместо ковариантной производной в (8.98) можно рассмотреть аб- солютную производную вектора. Пусть имеются две кривые Хг(8) и Х'(и), проходящие через точку М. Вычислим абсолютные производ- ные некоторого вектора Ъ вдоль этих кривых: ЗЬ дХ' ' „. ЗЬ" дХг ' — = — 'Г;Ьь и — = — Я7;Ь, дс' с)~с ' дц ИЕ а затем вычислим вторую абсолютную производную З ЗЬ" дХ' " ЗЬь дХ' ' дХ ' дХ' ' дХ вЂ” — = — Ч;( — ) = — г7; ( — г716э)) = — ((7,— ) 716э+ Ип (Ц сЬ1 ' (Ц сЬ1 ' И~ з бц (8.100) дц Здесь мы учли, что вх ~ в ) = — —, = — б = 0, и поэтому Если теперь вычислить абсолютную производную в обратном по- рядке, то получим 'З ЗЬэ Н~' ИХ1 * °, * д( сЬ) дц И~ — — = — — (~7з'Р;ьь + Г™и%' 6э).
(8,101) Вычитал (8.101) из (8.100), находим З ЗЬ" З Зьэ ° ° „° °, ° .„°,. дХ'дХУ сЦ' бп дп сЦ з ' ' з В з' дп И~ — — — — — = (171З7;6~ — гуг716 + (Г; — Г™)%' ьь) — —. (8.102) Левую часть выражения (8.102) называют альтернированным вторым абсолютным дифференциалом. Учитывая (8.98), приходим к следую- щей теореме. Глава а. Тенор и в имвновых и ест истаа:с 524 Тиогимл 8.22. Альтернированный второй абсолютный дифференциал всякого касательного векпсора из 1 о дпределяется тензором кривизны пространства ~Кс Р Роь Ю Эо" ' ",дХс дХУ вЂ” — — — — = Лус, Ь' — —.
дС дб дб сЦ У" сЬс дС ' (8.103) Иначе говоря, вторгл абсолютном производная зависит от порядка вычисления первых абсолютных производных. 8.4.2. Тензор кривизны пространства А" Покажем, что кривизна пространства П" непосредственно связана с независимостью параллельного переноса тенэоров от пути. ТеОРемА 8.23. В пространстве А" (в случае односвязного 3.") и только в нем тензор кривизны сВ. тождественно обраисается в нуль: В.= 0 в А".
(8.104) т Необходимость. Рассмотрим пространство А". Разумеется, можно непосредственно подставить связность (8.58) в (8.97) и убедиться, что выполняется (8.101). Однако мы поступим по-другому. Выберем произвольный касательный вектор Ь в точке М й А" и параллельно перенесем его в точку Ф Е А", тогда Ь будет удовлетво* рять уравнению (8.47), т.е.
+лекс ~УсУ = О. Поскольку мы находимся в пространстве А", то результат параллельного переноса не зависит от кривой, соединяющей точки М и Лс, т.е. от вектора (йХс/д~), касательного к кривой, и, следовательно, имеет место соотношение ЧсУ = О. Тогда, подставляя этот результат в (8.98), получим, что должно иметь место тождество Н с,ьо' = 0 для любого вектора 6'. Следовательно, действительно имеет место тождество (8.101). достаточность. Пусть в пространстве П" тензор ~Рс тождественно равен нулю. Рассмотрим в этом пространстве некоторую кривую Хс(с), см ( с < слс. Лля нее всегда можно ввести семейство кривых Х'(~, с1), Пс ( и ( 92 с совпадающими крайними точками Х (чм О) = Х)л, Х'(ьлс, с) = Ху для любого с1, причем для определенности положим, что Хс(~, Ос) = Хс(4).
Рассмотрим семейство векторов Ь(с, и) Е ТллМ", параллельно переносимых вдоль соответствующей кривой из семейства Х' (с, с1) . Тогда Ь(С, с1) удовлетворяет уравнению ТЗЬ/дС = 0 для любого и. Образуем альтернированный второй дифференциал касательного вектора Злъ Тенер Римана-К иста еле 525 Ъ, в силу отсутствия кривизны пространства 3.в получаем РР„ РР, РР— — Ь~ — — — Ь = — — Ь =О.
д5 дтт дтт сЦ' Ис дтт (8.105) 8.4.3. Тензор кривизны пространства 2.о Покажем теперь, что при отсутствии кручения кривизна пространства П" связана со свойством его локальной аффинности (см. п.8.2.7). ТеОРемА 8.24. Лтля того, чтобы простпранстпво 5." было локально-аутутинттым 5." необходимо и досптатпочно, чтпобы оно обладало нулевой кривизной и нулевым кручением: Й=О и 4В.=О в 2.". (8.106) т Необходимость условий (8.106) очевидна, так как если П." — локально-аффинное, то в окрестности любой точки существует система координат, в которой Г;.
= О, а, следовательно, по (8.97) Н; эт = 0 и * по (8.52) П," = О. Но поскольку В; ьт и Пьу являются компонентами тензоров, то они будут нулевылти в любой системе координат во всем с в Здесь РЬ" /дт1 = (дЬ~/дц) + Г~;Ь (дХт/дт1). Поскольку по построению все кривые семейства Хт(С, т1) совпадают в крайних точках, то ИХт/дт1 = 0 для се = слл и 5 = 5лт. Поэтому в точках М и Л/ имеем РЬ5/дтпл = (дЬ" /дтт) для любого тт. Но в силу того же построения в точке М все векторы Ъ совпадают, поэтому дЬь/дт1 = РЬ~/дтт = 0 в точке М.
Если теперь мы обратимся к уравнению (8.105), то его можно рассматривать как параллельный перенос вектора РЬь/дтт вдоль кривой Хт(С,т1), Слл ( с ( 5лт, т.е. (дХт/дС)ттт,(РЬь/Ит1) = О. Однако мы установили, что вектор РЬь/дц = 0 в точке М для любого тт, тогда результат параллельного переноса вдоль Хт(С, т1) также даст вектор- нуль, т.е. в частности РЬь/дт1 = 0 и в точке Л/ для любого тт. Это, в свою очередь, означает, что результат параллельного переноса из точки М в Л/ не зависит от той кривой семейства, по которой осуществляется перенос. Если П" — односвязное, то любые две кривые, соединяющие точки М и Л/ этого пространства могут быть объединены в одно семейство Х'(с,тт) непрерывным переходом. Следовательно, полученный выше результат о независиности параллельного переноса от пути справедлив для любых кривых.
Тогда согласно теореме 8.14, рассматриваемое пространство Ь.в является пространством абсолютного вараллелизма А". А Гпввв В. тспзо ы в »маковых и т ствах 8.4.4. Тождества Бианки в пространстве Ьй Тногвмя 8.25. В проппранстпве П.о птензор кривизны вй. удовпетпворяетп спедуюитим тождеспъвамт (8.107) зтвВ»Вз + гуУВдпнь + зт»Щрь = О> котпорые наэываюпг тпождеспгвами Бианки. т Поскольку Л Гп являются компонентами тензора, и ковариантные производные от компонент тензора снова образуют компоненты тензора, то уравнения (8.107) имеют тензорный характер. Это означает, что если мы покажем обращение левой части (6.169) в нуль в хакойлибо системе координат Х", то в любой другой системе координат Х' оно также обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
