Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ась 'Реево Римвив-К исто еив ззз де т74В47 — д" т77В44 — д""~7в.лье — — О. (8.138) Внося обратную метрическую матрицу на основании теоремы Риччи (8.32) под знак ковариантной производной, получаем: 17~ — 2471 У = О. (8.139) Это уравнение можно привести к виду: Ф вЂ” -бдл = О. 1 2 е (8.140) Откуда, очевидно, следует (8.137). А В тензорном виде уравнение (8.137) имеет вид: С7 ° С = 174 а! В.У = О. (8.140) В пространстве ЪЧв тензоры С и С, вообще говоря, уже различны.
ТЕОРЕМА 8.33. В пространстве Ар тензор Эйнштейна С тождественно равен нулю, а С, вообще говоря, отличен от нулю и может быть выражен с помощью матрицы Я ь С=О, С=Сне ®е, (8.140) Сн =ЯР(РЛь(Я ~)" — ~7ьс7<(Я )Р )В 'и (8141) где Вини = б)бс™ — -дид' . 1 (8.142) и Первое утверждение теоремы очевиднп,так как в А~ тензор кривизны тождественно равен нулю: 4В. Б О. Для доказательства второго утверждения рассмотрим ковариантные компоненты Сп тензора С: 1 Сн = Вн — -Вди = Лми(Я31 — д1™дн) = ЯмвВ н1 (8 143) 2 где В' и определяется формулой (8.142).
Используем зти тождества Бианки, домножив их на д""до, а также используем кососимметричность тензора Римана-Кристоффеля и определение тензора Риччи: Гневе 8. тензо ы в им»новых п ест внствах Выразим теперь компоненты тенэора вращения Риччи В; через матрицу Яв, поцставив ддя этого формулу (8.126) в (8.132): = Бэ (зу;з11(Б 1)У вЂ” 'ч з(7;(Б ') ). (8.144) Подставляя (8.144) в (8.143), действительно приходим к соотношению (8.141). й Тенэор Эйнштейна играет важную роль в общей теории относительности (см., например, (32], (35], [45]). Упражнения к 3 8.4. Упражнение 8.4.1. Показать, что в пространстве)(» компоненты тензора кривизны обладают сведующей симметрией: В еь = — В; з, а в пространстве й О имеют место тождества Риччи: и» 1 Я = Вгзгз! 11 У 22 Б = -Взгэп У 1 Я = -Вгззп 12 У 23 Я = -Взпг У 1 Б = -Визы 13 У 33 Я = — Взгзг У ь * ь * ь В ч, + Вг,у + В,П = 0 Упражнение 8.4.2.
Используя соотнощевия (8.116) и (8.117), показать, что в римановом пространстве ч из общего числа 81 компоненты тензора В„м не.з зависимых — только 6, в качестве которых можно выбрать: В1212, В2323, В31зь В12гз, В12зь В2ззь тогда остапьные либо равны нулю, либо выражаются через иих. Упражнение 8.4.3. Используя результат упр. 8.1.2, показать, что в собственно римановом пространстве У» из формулы (8.133) следует соотнощение дГ~у д21» .,/д „д1п,,(д дХь дХ'дХУ П дХ" Переставняя в этом выражении индексы з, у, убедиться, что правая часть остается без изменении, откуда спедует, что тензор Риччи 7С явпяется симметричным. УПРажнаниа 8.4.4.
В собственно.рви»новом пространстве ззг еще один 3 тензор второго ранга, называемый твенЗором несовмествносщи Б, образуется из Я сверткой с двумя тензорвми Леви-Чивиты: 4щ Б = Я'2 В.; 9 141 — — (1/4)е ° В..е. Доказать, что компоненты этого тензора имеют вид: Бм = (1(4д)е'ыег»Вы Упражнение 8.4.5. Показать, что тензор несовместности, введенный в упр. 8.4.4, явпяетгя симметричным. Упражнение 8.4.6.
Показать, что тензор несовместности, введенный в упр. 8.4.4, удовпетворяст соотнащенню В „и — — дегргеумБ, ипи 1С = е Б Е. 11 Упражнение 8.4.7. Используя свойства тензорв Римана-Кристоффепя (8.116), (8.117), показать, что явное выражение дпя компонент тензора несовместности имеет вид: ГЛАВА 9 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ Важную роль в механике и физике играет операция интегрирования тензоров "й(х'), заданных в некоторой области У трехмерного евклидова пространства Йз, либо либо на двумерной поверхности Е, либо на некоторой кривой .С в Ез.
Введем эту операцию для тензоров с помощью операций интегрирования обычных скалярных функций скалярного аргумента, более детальное изложение которых можно найти, например, в [39]. 3 9.1, Криволинейные интегралы от тензоров 9.1.1. Определение интеграла от тензора, заданного вдоль кривой пН( ~) Оо...ы( з)й 8 (9.1) Компоненты этого тензора й" -'" являются функциями декартовых координат я', которые изменяются вдоль кривой Гл х = х(с) или к' = я'(с), со < с < сн. (9.2) Разобьем отрезок [со,си] на Аг частей: [со,6], ° ° [с -н6] °" ...,[~и з,~и].
Этим отрезкам соответствуют Ф частей кривой С (см. рис.9.1), началом и концом которых являются пары точек". (9.3) х(арх(ц,... ',х~ ц,хрц;...;хр ц,х~гц; где хрц = х(6,) или я],ц — — *'(6,), а=О,...,Ф, — их координаты в пространстве. Пусть имеется некоторая кривая Е, заданная в трехмерном евклидовом пространстве, например, параметрическим способом (7.1). Точки х(со) и х(сд) назовем началом и концом этой кривой. Предполагаем, что вдоль этой кривой задан тенэор "Й(х') и-ого ранга, имеющий в декартовом базисе следующий вид: Главна. Интег и ванне тенэо ов ззе Длины дуг этих частей кривой обозначим как гй ЬЯ = / бв, а=1...М, с -э (9.4) и введем максимальное значение среди сэЯ;: Ы = шах (эзво), о ив..Гэ' называемое максимальным иэагом разбиения кривой.
На каждом отрезке [С,С +з) возьмем еще по одной точке ( с координатами: х~ ~ — — х'(со) а = 1...ээ', (9.5) Рис. 9. 1. разбиение кривой на ээ' частей и образуем следующий тензор инвзеграяьнмх сумм: Я(к) = ~ "Й(х(о))Ьво, (9.6) вен эч 5""о" = ~~~ Йч"'"(~) >)Ь~, (9.7) оиэ где "Брч~ = ф;"'"е;, Э...Эев„. Поскольку каждая компонента Й""'" является обычной классической функцией координат х', то для нее можно положить, что сущест вуют пределы сумм (9.7) прн ээ' — + со и стремлении к нулю максимального шага разбиения кривой Ы вЂ” + О: Ф У*-'" = 1пп 7 Й'э-'-(й' )Ьв щ — эо~ <> (9.9) о ел который, очевидно, является тензором того же ранга, что и "Й.
Компоненты этого тензора У'"'" в декартовой системе координат связаны с Й""'" следующим образом: 9.1. К вволвнейные ввтег злы от тевзо ов 537 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Предел (9.9) называютп и и т е грал ам от компонент тпензора вдоль кривой С (или криволинейным интпегралом отп компонент тпензора) и обозначают как Й""з" (з')дз = У"'з" (9.10) Опгвдидинив 9.2. Криволинейным интпегралом первого рода от пйензора "Й, заданного вдоль кривой С называют следуюи)ий объект: лЯ = У "З" Е;, 8... й) Ет„= ( "Й(Х)дв.
(9.11) дс ТиоРЕМА 9.1. Введенный по формулам (9.9), (9.11) объект "Я зв яется тензором и-го ранга. т В самом деле, так как "Й(х1о)), ст = 1...)т', представляют собой )т' различных тензоров, то их компоненты преобразуются при переходе из декартова базиса в какой-либо базис Вй = фйе; следующим образом: Йб..з„(-1 ) Ййт..,й 4)Ц д) '1о) 1о) й~ ''' й (9.12) Здесь Йй'"й" — компоненты тензора вй(х1о)) в базисе Вй. Поскольку якобиева матрица Ц)й одинакова для всех членов суммы (9.9) и не зависит от числа разбиений )т', то используя известные свойства пределов, можно вынести произведение якобиевых матриц за знак предела, тогда получим: б)1.
ой,...й. й," й„ (9.13) где (9.14) о=1 (9.18) к' = я'(з), 0 ( з ( 1, где 1 - длина всей кривой,С: так как длины дуг Ьзо не зависят от выбора базиса, то из (9.13) и (9.14) следует, что У'"з" являются компонентами тензора. А Если кривую Ю задать в параметрическом виде (7.8) как функцию длины дуги: Гневе Э. Интег и венце тенео ов 838 то тензор "Й (его компоненты й""'") также можно рассматривать как функцию от з: "й(х(з)) = "й(з).
Интеграл (9.11) в этом случае будет обычным одномерным определенным интегралом с переменной интегрирования з,изменяющейся от 0 до (: г1 "Б = / "й(з)еЬ, е (9.17) причем компоненты у'"я" этого тензора имеют вид: г1 оч"'я" = й""я" (з)г(э о (9.18) 9.1.2. Криволинейные интегралы второго рода от тензора Криволинейный интеграл от тензора можно образовать иным способом. Пусть имеется разбиение (9.3) кривой Е точками х( ),о = О...М. Векторы, соединяющие эти точки, обозначим как ~)Х(а) «(а) «(а-1) НЛИ ~1В(а) = В(«) Е(а-1)~ (9.19) х(а) = х(8(а))~ сг = 1 ...Х Им соответствуют приращения параметра ~: о1Са — Са Са-1~ среди которых имеется максимальное езС = шах (ЬСа).
Тензор интегральных сумм составим, в отличие от (9.8), путем скалярного умножения векторов гзх( ) на транспонированные тензоры ("Й(х( )))( '" ") (см. гл.1): 1Т = ~ ~1х ° "Й(х ))(™'"' (9.20) 'Т(1ч) = Т(",)'"е;, Э... Э е;„, (9.21) где (гпз...тп ) означает некоторую подстановку индексов, одинаковую для всех тензоров "Й(х( )) (каждое из гп1... т„принимает какоето из значений индексов 11... 1„(см. 81.8)). Тензор " 1Т(1ч) имеет ранг на единицу меньше, чем "й (т.е.
(и — 1)), и его компоненты в декартовой системе координат имеют следующий вид: 9.1. К вволввейвые антее елы от тента в ззо тт Тк1з" = ~~~ Й "'' "(х~ 1)Ьх" . аа1 тт Т""" = 1пп ~ Й """ ""(х )13х" . а| о " 11 <=1 а=1 (9.22) Определение 9.3. Пределы (9:22) называютп скалярными криволинейными интегралами второго рода от компонента тенэора и обозначают следуюиеим обраэомт Й "'"' " (х')дх" — Т"'"т" тт с (9.23) Опгеделение 9.4. Скалярнын криволинейным интегралом второго рода от тпензар а "Й, заданного вдоль кривой ь", называютп птензор (п — 1)-го ранга " 1Т с компонентами Т""'"-', определяемыми по формуле (9.МЮ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
