Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Но по определению 8.15 любой касательный вектор а' = дХ'/д5 х Е в точке М параллельно переносится вдоль нее, т.е. удовлетворяет уравнению (8.48): да ',„дХ' дгХ ',„дХ' дХ вЂ” + Г",' — ау = — + Г'" — — = О. (8 50) эч д5 т,~~г эь,ц д4 Поскольку а' является касательным в каждой точке кривой Е, то уравнение (8.50) имеет место для всех 5 е [55,(г], что и доказывает формулу (8.49). и 8.2.4.
Тензор кручения Поскольку в определение 8.13 аффинной связности Г~у не входило тРебование ее симметРичности, то, вообще говоРЯ, Г~у следУет полагать несимметричной. В этом случае целесообразно рассмотреть объект Т,-у — Г, о Гпввв Е. '1'евзо ы в имвновых в оет отввх 510 ОпРедепение 8.16. Тензором кручения й в простпранстпве З." НаэЫВаЮта СЛЕдуЮщий ЭЛЕМЕНт Преетраиетеа "т» ~(ТМ1 ): зй й ьт ю® те (8.51) (8.52) й Ф» (1 от 1 то) ТЕОРЕМА 8.10. Тенэор зй, введенный по формуле (8.Иу, действитпельно яеляетпся тенэорем тпретпьего ранга. х Зля доказательства достаточно записать компоненты й; 'в новой системе координат и воспользоваться формулами (8.42): ] й'; ™ = -(Г; — Г; ) = -Рт Рт 9 „(Гт — Г',) + -9, (Р'; — Р";,) = рт рв Оот й от (8.53) так как Р"; согласно (8.2) симметричен по нижним индексам.
А 8.2.5. Пространство 3.р аффинной связности без кручения Рассмотрим теперь частные случаи пространств аффинной связности 5.". Важный случай представляет простпранстпво 5.о аффинной связности беэ кручения, когда й;т:— О, тХ' б 3.о. (8.54) Лля такого пространства в силу определения (8.52) связность Г; симметрична: Гы =Г;. тт' В' ТЕОРЕМА 8.11. В каждоо точке М простпранства я.о существу еоь тпакая систпема координатп Х', в которой коэффициенты аффинной связности обращаютпсн в нуль: Г™(М) = О.
т Пусть Хн — некоторая система координат. Выберем произвольную точку М с координатами Х" из 3.ов и определим в окрестности этой точки следующие преобразования координат: Х' = А',(Х'т — Х'т )+ -А' Г'., (Х'т — Хтл)(Х'1 — Х,'д), (8.55) 1 '/ В.з. П ест оиссоо инной связности 511 где А' — некоторая неособенная матрица с постоянными коэффициентами, а Г'т — коэффициенты связности в системе координат Х".
Вычислим якобиевы матрицы для такого преобразования координат в фиксированной точке Х~~. Р' = Ат ч 1~~1< — — (А 1)11, а также определим Рть — — д Х'/дХ'тдХ'и = А' 1" ~ (М). ть— юи Я Коэффициенты связности Г, в новой системе координат Х' удовлетворяют соотношениям (8А2), т.е. имеют место соотношения: Г';™ = А'1А1 (А 1), Г," + (А '), А", Г',. Откуда, очевидно, следует, что Г( (М) = 0 в точке М. Заметим, что условие отсутствия кручения пространства 1 о использовано нами существенным образом при составлении квадратичной формы (8.55). А 8.2.6.
Пространство абсолютного параллелизма Рассмотрим еще один важный частный случай пространства 1.", в котором связность Г; выбирается специальным образом, а именно предполагаем справедливой для Г,у только одну формулу (8.20), отказываясь от двух других (8.18) и (8.21) по сравнению с пространством йссс ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.17. Пространство аффинной связности 1." называют пространставом абсолютпного параллелизма А", если в каждой точке Х' из Аи сутцествует и линейно независимых непрерывно-дифференцируемых касательных вектпоров е;(Хд), таких, чтао связность ГД имеетп вид: (8.56) где Я ь — матрица коэффициентов разложения векторов е; = Я™; е,„, а (Я 1)"; — обратанан к ней матприца.
Обратная матрица, очевидно, существует в силу линейной независимости векторов е;. ТноРЕМА 8.12. Коэффициенты свнзностаи (8.бб) при переходе в новую систему координат Хн преобраэуютпсн по закону (8.42). Глана а. 'Гензо ы а нманоаых и ост ствах Т Поскольку по определению е; при каждом фиксированном 1 являются векторами, то коэффициенты 511 с фиксированным нижним индексом 1' при переходе в Хн преобразуются как компоненты вектора: (У-1)1 (о-1)1' рй (8.57) тогда производные (В 1)йй при переходе в систему координат Хи преобразуются следующим образом: (У-1)й ((о-\)й Р1 ) (В-1)й Р1 Ра + (о-1)й п1 (8 58) Записывая связность (8.56) в новой системе координат, получаем Я ( Я 1 ) й 9 Я ( ( В 1 ) Р Р + ( о ) Р ) ч)ы Ре Ра о (о-1)й + 6)ы Р1 (8.59) С учетом (8.56) действительно получаем правило преобразования связности (8.42).
Рассмотрим некоторые свойства пространства А". ТЕОРЕМЯ 8.13. Векторы е; в А" являются ковариантно-постоянными, т.е. ковариантнав производная ия компонента тождественно равна нулю: 'ьг 8 е1 = О, 1715м = О, о1(В )~ = 0 в А". (8.60) Т В самом деле, используя определение (8.45) ковариантной производной относительно связности (8.56), для векторов ес = У;е (нижний индекс у У; фиксирован), получаем: 17 Вм уа + РыйсВй Вй (оо — 1)1 уа Вй Здесь мы использовали результат упражнения 8.2.1. и ТЕОРЕМА 8.14.
В пространстве А" и только в нем параллельный перенос из точки М в точку Л1, определяемый с помощью уравнения (8.47), не зависит от выбора кривой С, соединяющей эти точки. Т Рассмотрим пространство А" и некоторый вектор Ь й ТрлМ", параллельно переносимый из точки М в точку ЛГ этого пространства. Разложим вектор Ъ по некоторому базису в точке М, в качестве которого выберем систему векторов е;: Ь(М) = 51ес(М), тогда в результате параллельного переноса в точку Л1 вдоль некоторой кривой ЭСК П ост внствв в инной связности 513 ззз1' „, ИХУ вЂ”" + Г~ з1 — = О. Ч Р (8.61) Поскольку зь есть функция от Хз, то преобразуем это соотноше- Р ние следующим образом: (8.62) Так как ез и Я,, по условию теоремы, не зависят от кривой (т.е. от касательного вектора с)Ху/И5), соединяющей точки М и Л/, то соот- ношение (8.62) выполняется тогда и только тогда, когда обращается в нуль выражение в скобке.
Откуда получаем (8.63) Учитывая результат упражнения 8.2.1, это выражение эквивалентно выражению (8.56), что и завершает доказательство теоремы. и Вычислим компоненты тензора кручения зй (8.52) для связности ГД в Ао. Согласно (8.56) имеем: 11 вр у-1)Ь (~-1)1 )ув 1 (8.64) Заметим, что если бы матрица (з-1)1' удовлетворяла соотношениям (8.21), то кручение обращалось бы в нуль, и наоборот. н т р яршсяррир * ь" получим вектор Ь(Л/) = 51е;(Л/), причем компоненты 51 в силу теоремы 8.8 не зависят ни от точки Л/, ни от кривой Е.
Но параллельный * перенос векторов ер(ЛГ) не зависит от кривой Е,так как в силу теоремы 8.13: 21е1/сК = а зГ Э ер = 0 для любого а. Следовательно, и перенос вектора Ь не зависит от кривой .С. В одну сторону теорема доказана. В обратную сторону. Рассмотрим снова произвольный вектор Ъ в точке М Е 5.".
Выберем некоторую линейно независимую систему и векторов е1(М) и построим разложение Ь(М) = 51е;(М). При параллельном переносе в точку Л/ Е 5.", получим новый вектор Ъ(Л/) = 51е;(Л/), причем е;(Л/) является значением параллельного переноса е;(М) в точку Л/, т.е. удовлетворяет уравнению: 21ез/д5 = О. Записывал ез = зз, е.
в некотором базисе е, получаем: Раааа 8. Товво ы в имавовых и оот ввотвах 514 Но условие (8.21) является необходимым и достаточным для того, чтобы дифференциальная форма (Я 1) т' дХ1 имела полный дифференциал, который, умножая форму на еь, можно записать как Их = етдХт. (8.65) 8.2.7. Локально — аффинное пространство Опгкдвлннин 8.18. Првппранство 3 в называюпт локально— аф фин мы м пространством 2.~~, если для всякой его точки М к з." сутаествует такая система координат Х", в которой каэффиииен- ты свгзностпи Г~у обРаиэаютсл тождественно в нУль в неквтпвРой окрсстпностпи точки М. Если же система координат Х", в хоторой Г.у = О, является единой для всех точек М б 1.~, то пространство 5." является, очевидно, линейным (аффинным) пространством, изоморфным пространству Й", Примером локально-аффинного пространства 3 зл является круговой цилиндр в пространстве Йз, а примером аффинного пространства является любая плоскость в Йз.
Тногнмя 8.15. Пространство А" без кручения (т.е. зй = 0) являсптся локально-аффинным. т Поскольку в каждой точке М пространства А" существует и линейно независимых векторов е;, то можно попытаться построить такую систему координат Х", для которой касательные векторы дХ" /дХ" к координатным линиям Х" совпадают с ет в некоторой окрестности точки М. Пля этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений: дХн (8.66) относительно функций Хь = Х" (Хн), где Я"1 (Х ) — заданные функции от Х .
Пифференцируя соотношение (8.66) по Х'т, получаем дзХэ дь дт дХндХ'т (8.67) Таким образом, тождественное равенство й~у = 0 в А" эквивалентно существованию "потенциала" для векторов базиса е в А". Такой потенциал существует в евклидовом пространстве й" (см. формулу (6.23)), однако в А", вообще говоря, условия й< "' = 0 не выполняются, и, следовательно, дифференциальная форма (8.65) не интегрируема. Поэтому компоненты тензора хручения й; тв в А" называют еще обьектом неголономности, а векторы базиса е — неголономным базисом. 8.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
