Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 75
Текст из файла (страница 75)
о т Пусть поверхность Š— уплощенная, тогда можно ввести единую систему координат Х, в каждой точке поверхности совпадающую с локальной декартовой системой Х'~. В этой системе Х~: д~з — — бгз, и, следовательно, по (7.90) все символы Кристоффеля тождественно равны нулю: Ггз» = О. Тогда из (7.111) получаем, что действительно 7.5. уплелоенные лове внесен в Жз «В1 о В.к11м = 0 в каждой точке поверхности Е. В одну сторону теорема доказана.
о В обратную сторону. Пусть теперь в каждой точке поверхности Е имеет место Яко†: 0 в некоторой системе координат Хг. Тогда из о о соотношения (7.156) следует, что К = 0 в каждой точке Е, т.е. Е является поверхностью нулевой гауссовой кривизны. Из (7.153) получаем, что К = й1 йз = О, т.е. хотя бы одна из главных кривизн должна быть равна нулю в каждой точке поверхности; пусть для определенности: й,=О,й,;ЬО.
Выберем теперь в качестве координат Х линии кривизны поверхо ности Е, тогда в каждой точке поверхности имеют место соотношения (7.203), (7.205), т.е. Ь =О, Ьы = й1ды —= О, Ьгз = йгдзг ф О, (7.218) д ~ О, дзз Ф О, д з = О. (7.219) Кроме того, для данных координат Х1 уравнения (7.214) Петерсона-Кодацци имеют вид: д дАз дА1 д — (йзАз) = й1 — = О, йг — = — (й1А1) = О, (7.220) дХ' дХ' ' дХг = дХг интегрируя которые, получаем, что йзАз = до(Х ) — функция от координаты Хз, а А1 = А1(Х1) — функция только Х1.
Выражения (7.211) для символов Кристоффеля Г" и Г11 с учетом зтих результатов записываем следующим образом: 1 дА1 -з А1дА1 Г111 = — — и Г1 = — — — = О. А дХ' ' Аз дХз Воспользуемся еще одним имеющимся в нашем распоряжении уравнением — деривационным уравнением (7.96) при 1 = У = 1, которое принимает вид: дР1 к дР1 1 дА1 = Г11рк =з — = — — р1. (7 221) дХ' дХ' АздХ1 Это уравнение можно преобразовать к виду д(Р1/А1)/дХ' = 0 и проинтегрировать: р1/А1 — — а(Хз). Учитывая, что р1 — — дх/дХ, проинтегрируем еще раз, в результате получим выражение для радиуса-вектора поверхности: х' х = од(Х1)а1(Хг) + аз(Хг) оЬ(Х1) = А1АХ1 (7 222) Гиввв 7.
Геомет их к ивмх и нове хиостей 492 где ад(Х ) — некоторые функции, появившиеся при интегрировании. Эти функции удовлетворяют определенным ограничениям, покажем их. Из (7.222) находим векторы базиса: (7.223) Рд = Адам Рг = дгадг + агг, здесь адг = дат/дХ~. Тогда, вспоминал, что ддд — — Ад, получаем: 2 Ад = ды = рд ' рд —— Ад~ад~, г г ддг = рд рг = Адад ° (фадг+ агг) = Аад ° агг = О, и 6ш = рдг (рд х рг) = Ададг ° (Адад х (фадг + агг)) = О. Используя свойство векторного произведения аш ° (ад х адг) = О, по- лучаем в итоге систему соотношений ортогональности: адг ° (ад х агг) = О, агг ° (ад х агг) = О, и ~ (7.224) адг ° ад —— О, агг ад = О.
Отсюда следует, что возможны три ситуации: а) адг=О, агг~О; б) адг ф О, адг = 0; в) адг и агг не равны нулю и коллинеарны, т.е. (7.225) аш = д(Хг)агг где д(Хг) — некоторая ненулевая функция. Случай в) следует из того, что адг и агг одновременно ортогональны паре ортогонельных векторов ад и (ад х агг). Рассмотрим вначале этот случай, тогда дгг ех Рг . Рг = (Вй+ 1) гйг, где Й = )агг! откуда следует, что вектор ад имеет единичную длину: ~ад ~ = 1. Но для такого вектора имеют место соотношения (7.13), (7.14), поэтому ад ° адг = О. Воспользуемся теперь соотношениями (7.219) и (7.218): 7.5.
уппопгенные попе хпоети е Жг Составим квадратичную форму: Аг(е(Х )г+ (Оея+ 1)2112(АХ2)2 (7 226) и введем новые координаты: х Х ' 2 Хе Х'1 = у1совс — ) ЙвгпсИХе, с(Х2) = ( ОМХ~. (7.227) Х'2 = фвгпс+ ) )есовсАХ2, Несложно проверить, что с помощью замены координат (7.227) форма (7.226) может быть приведена к виду (7.216), причем это возможно в о каждой точке поверхности Е. Рассмотрим теперь случай а), тогда аг — — сопв1, Рг = агг и угг = 112 (Х'), следовательно: Ивг = А21(НХ1)2 + Ьг(ЫХ2)2.
Делан замену координат: х* Х'1 = Ф, Х'2 = Ыхг, снова приводим квадратичную форму Авг к виду (7.216) в каждой о точке Е. В случае в) имеем: Угг=ф У 2 2 рг = зга12, где уг = (аю)2, тогда сЬ~ = А~~(АХ1)2 + еягуг(ЫХ2)2. Осуществляя замену координат: ( Х'1 = у1совс, Х'2 = уэвгпс, х' с= ЯХ, (7.228) квадратичная форма Авг также может быть приведена к виду (7.216). Глава 7. Геомет ия к ивых и прае хностей 494 с Следовательно, во всех трех случаях а), б) и в) поверхность Е будет уплощенной.
А Три типа поверхностей (7.222) с условиями а), б) и в), а также плоскости (для которых йг = О, йг = О) представляют собой все возможные виды уплощенных поверхностей. В случае произвольной, вообще говоря, не уплощенной поверхности, тензор Римана-Кристоффеля не обращается тождественно в нуль, поэтому поверхности Е в Йз представляют собой пример двумерных римановых пространств, более общих, чем евклидовы.
Эти пространства рассмотрим далее в главе 8. Упражнения к 2 7.5. УПРажНЕНИЕ 7.5.1. Поверхность (7АО), имеющую вид х(Х,Х ) = Х а1(Х ) + аз(Х ), где аг, аг — нраизвольиые вектор-функции, такие, что )а1) = 1 и а1, (Х агг + 1 аг2) — независимы, называют дпнейчогпой, где агг = дау/дХ~. Доказать, что всякая уплощеннвя поверхность является линейчатой. УПРажнение 7.5.2. Показать, что вектор-функция (7.222) с условием (7.225, в) описывает цилиндрическую поверхность с направляющей аг (Х ). г УПРажНЕНИЕ 7.5.3.
Показать, что вектор-функция (7.222) с условием (7.225, 5) описывает коническую поверхность с направляющей аг(Х ). г ГЛАВА 8 ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ПРОСТРАНСТВАХ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ з 8.1. Римановы пространства В механике и особенно в релятивистской физике тензоры широко применяют в и-мерных римановых пространствах, являющихся более общими, чем евклидовы. Ладим определение этих пространств, а затем покажем, как конструируются тензоры в них.
Начнем с основополагающего понятия римановых пространств — элементарного многообразия. 8.1.1. Элементарное многообразие Хн =Хи(Хт), т',у =1...п, (8.1) которые предполагают достаточное число раз дифференцируемыми и невырожденными, т.е. без (дХн/дХт) ф 0, ЧХт к сэ. Введем как и ранее обозначения для якобиевых матриц преобразования, а также для их производных: и кроме того в этой главе будем использовать обозначения для част- ных производных: дУ вЂ” ',=У, дХт (8.3) Опгндвлвнин 8.1. Элементпарным и-мерным многообр аз и ем называют тпакое множество М", каждой тпочке котпорого взаимнооднозначно поставлен в соотпветпстпвие упорядоченный набор чисел (Хт...Х") из некотпорой связной области тл С й", тп.е. задано биектпивное отображение втт М" — т ст С Гс".
Координатпами тпочки М б М" в системе координат 1т называют координаты Х' б Ж" ее образа Р(М), изменяющиеся в области ь С 1пв Если для множества М" имеется другое биективное отображение Эт'. М" — > тл' С В", то координаты точки М в системах координат с и ст' связаны соотношениями: Гпьвва. 'Гснзь ыв имьнсвыхп ост ьнстьсх 496 Примером двумерного (и = 2) элементарного многообразия Мз являются поверхности в Й~, на которых определены криволинейные координаты Х~, Хз и которые заданы тремя функпиями (7.41). 8.1.2. Касательное пространство ОпгЕдилЕНИЕ 8.2. Кривой ь в многообразии М" называют отобразкение бс [смсз] й 24 — + М", которое записывают в виде функции: Х' = Х'(6) Ч~ Е [~„69], Х' Е М". (8.4) Здесь Х' — координаты точки М й М", [~м (з] — некоторый отрезок из 1кз, ((з ( (з), а функции (8.4) предполагаем непрерывно дифференцируемыми, по крайней мере, два раза.
Зафиксировав значение параметра б Е [~м Я, получим некоторую точку М й ь, в ней можно вычислить производные от функций (8.4): а' = с(Х'/й(. (8.5) Опгидилинив 8.3. Упорядоченный набор (аз...а") производныз (8б/ называют компонентами касательного вектора а' в точке М кривой .С в М". Если перейти к координатам Хн той же точки М б ь", то согласно (8.1) получаем, что компоненты касательного вектора ан в этой системе координат будут иметь вид: ан = дХн/Ыб и связаны с а' тензорным законом: а' = ье' аз.
(8.6) Поскольку через фиксированную точку М Е М" можно провести различные кривые ь", то, вообще говоря, в каждой точке М имеется множество упорядоченных наборов (аз...а"). Определим операции с этими наборами. Пусть имеется две кривые Сз и ьз, заданные в виде функций Х[((), Хз(с), проходящие через точку М, тогда можно построить два набора компонент касательных векторов а', = дХ'/д6 и а' = НХз/д~.
Суммой компонент двух касательныл векторов назовем набор а', + а',' = а(Х,'+ Х,')/д~, который представляет собой компоненты касательного вектора к кривой (Х[+ Хг)(с) в данной точке М. Аналогично определяем произведение компонент а' на вещественное число Л: Ла' = Лс(Х'/дс = й(ЛХ )/ас. Поскольку набор чисел (аз... а") является элементом пространства з1", то, выбрав базис е; в этом пространстве, можно построить сам касательный вектор а в точке М кривой ь: а = а'е, = ане[, где е',. = Рз, е — новый базис. ВЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
