Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть S2Asсимметричных 2-форм h на M класса H , удовлетворяющих условию div J δg h = 0. Как и в общемs∗s при экспоненциальном отображеесть образ окрестности нуля W s ⊂ S2Aслучае [93], срез Sω,gнии. Для пространства ассоциированных метрик экспоненциальное отображение задается обычнойоператорной экспонентой:∗s−→ AMs ,Expg : S2AExpg (h) = g eH ,(9.50)g −1 h.sПоскольку отображение Expg является вещественно аналитическим, то срез Sω,gгде H =sесть вещественно аналитическое подмногообразие в AM .
Отметим также, что отображение F :Sω,g × U → AM теоремы о срезе является ILH-гладким.ss /Is+1Фактор-пространство Sω,gω,g описывает локальную структуру фактор-пространства AM /Gв окрестности класса [g].9.8. Пространство контактных ассоциированных метрик. Контактый случай рассматривается совершенно аналогично. Многообразия контактных ассоциированных метрик изучались в работах Д. Блэра [57–63], Д. Блэра и Дж. Леджера [65], Д. Блэра и Д. Перрона [66] и в работахавтора [24, 26, 26].
Укаже основные конструкции.Пусть M — (2k + 1)-мерное гладкое компактное ориентируемое многообразие без границы. Контактная структура на M заданется гладкой 1-формой θ, такой, что θ ∧ (dθ)k невырожденная вкаждой точке M . Тогда последняя форма определяет ориентацию на M . Пусть ξ — характеристическое векторное поле контактной структуры θ и E = Ker θ — контактное распределение. Ясно, чтоRξ ⊕ E = T M .Напомним, что риманова структура g на M называется ассоциированной [57], если существуеттензорное поле ϕ типа (1.1) на M такое, что для любых векторных полей X, Y на M :1) g(X, ξ) = θ(X),2) ϕ2 = −I + ξ ⊗ θ,3) dθ(X, Y ) = g(X, ϕY ),где ϕ рассматривается как морфизм ϕ : T M → T M , I — тождественный морфизм.
Отметим ещеряд очевидных свойств ассоциированной римановой метрики g:(a) g(ξ, ξ) = 1,(b) распределение E ортогонально полю ξ,(c) ϕ(ξ) = 0, ϕ(E) = E, ϕ кососимметрично и (ϕ|E )2 = −IE ,(d) форма(−1)kθ ∧ (dθ)k = μgk!является римановым элементом объема на M ,(e) имеют место соотношенияdθ(ϕX, ϕY ) = dθ(X, Y ),g(X, Y ) = θ(X)θ(Y ) + dθ(ϕX, Y ).Обозначим символом Mθ множество гладких ассоциированных метрик на контактном многообразии (M, θ). Тензорное поле ϕ задает в подрасслоении E ⊂ T M структуру комплексногорасслоения. Ориентация на M и векторное поле ξ определяют ориентацию в распределении E.Определение 9.2. Положительной комплексной структурой в подрасслоении E ⊂ T M будемназывать тензорное поле ϕ типа (1.1) на M , обладающее свойствами 2,3 и задающее положительную ориентацию E.Множество всех гладких положительных комплексных структур в расслоениии E обозначимсимволом Aθ .
Пространства Aθ и Mθ являются множествами гладких сечений конечномерныхрасслоений, поэтому они являются ILH-многообразиями [36].122Н. К. СМОЛЕНЦЕВПусть Dθ = {η ∈ D, η ∗ θ = θ} — группа точных контактных диффеоморфизмов многообразия Mи Dθ,0 — связная компонента, содержащая единицу. Группа Dθ действует как на пространстве Mθ ,так и на Aθ . При этом, если метрике g соответствует тензорное поле ϕ = Ψ(g), то метрике η ∗ gсоответствует тензорное поле η ∗ ϕ, где η ∈ Dθ .Ассоциированная метрика g на M называется K-контактной, если ξ является киллинговымвекторным полем, т.е. если Lξ g = 0, где Lξ — производная Ли.
Пусть K — множество гладких Kконтактных римановых меторик на M . Поскольку контактные преобразования η ∈ Dθ сохраняютхарактеристическое векторное поле ξ, то Lξ (η ∗ g) = η ∗ (Lξ g) = 0 для g ∈ K. Таким образом, группаDθ действует на пространстве K K-контактных римановых метрик. В работе [24] показано, чтопространство K является замкнутым ILH-подмногообразием многообразия Mθ ассоциированныхметрик.Пусть g — ассоциированная метрика и ϕ = Ψ(g).
Известно [57], что g является K-контактнойтогда и только тогда, когда Lξ ϕ = 0. Поэтому пространству K соответствует пространствоAθ (ξ) = {ϕ ∈ Aθ ; Lξ ϕ = 0} положительных комплексных структур в расслоениии E, инвариантных относительно действия ξ.Пусть теперь контактное многообразие (M, θ) регулярно. Тогда векторное поле ξ порождаетсвободное действие на M одномерной группы, изоморфной окружности S 1 .
Поэтому M/S 1 = N –гладкое 2k-мерное многообразие. Пусть π : M → N — проекция. На многообразии N определеназамкнутая невырожденная 2-форма ω такая, что π ∗ (ω) = dθ. Это вытекает из того, что Lξ dθ = 0.Группа Dθ точных контактных преобразований многообразия M сохраняет векторное поле ξ.Поэтому η ∈ Dθ определяет диффеоморфизм η многообразия N такой, что π ◦ η = η ◦ η. Посколькуη ∗ (dθ) = dθ, то η ∗ (ω) = ω. Поэтому η ∈ Dω (N ), где Dω (N ) – группа диффеоморфизмов многообразия N , сохраняющих 2-форму ω.
Таким образом, определено отображение F : Dθ → Dω (N ),P (η) = η.Пусть Dθ0 и Dω0 (N ) — связные компоненты, содержащие единицу групп Dθ и Dω (N ). Известно [199, 212], что группа Dω0 (N ) содержит замкнутую связную ILH-подгруппу G, алгеброй Ликоторой является алгебра H(N ) глобально гамильтоновых векторных полей на симплектическоммногообразии (N, ω). Последовательность гомоморфизмов ILH-групп1 −→ S 1 −→ Dθ0 −→ G −→ 1является точной [212].Рассмотрим теперь контактное распределение E на M . Поскольку Lξ θ = 0, то E инвариантно относительно действия S 1 . Ясно, что E/S 1 = T N — касательное расслоение многообразия N .Пусть Aω (N ) — пространство всех гладких положительных ассоциированных почти комплексныхструктур на N . Поскольку E/S 1 = T N , то пространство Aω (N ) отождествляется с пространствомAθ (ξ) положительных комплексных структур в E, инвариантных относительно S 1 .
Отождествление Q : Aω (N ) −→ Aθ (ξ) задается формулойQ(J) = (dπE )∗ J,где J ∈ Aω (N ), dπE = dπ|E — ограничение на E ⊂ T M проекции dπ : T M → T N . Для Y ∈ Ex ,x ∈ M , y = π(x) имеем Q(J)(x)(Y ) = (dπE (x))−1 (J(y)(dπE (x)Y )) . То, что Q — диффеоморфизм,следует стандартным образом из ω-леммы [1]. Поэтому пространство K/Dθ,0 гомеоморфно пространству Aω (N )/G.Обозначим через Kc пространство всех гладких K-контактных метрик на M постоянной скалярной кривизны, равной c.Пусть M — трехмерное контактное многообразие. Для регулярной контактной структуры векторное поле ξ порождает свободное действие единичной окружности S 1 на M . В этом случаеM/S 1 = N — гладкое компактное двумерное многообразие.
Пусть p — род поверхности N .Теорема 9.17 (см. [24]). Пусть dim M = 3, контактная структура на M регулярна и допускает K-контактную метрику постоянной скалярной кривизны c < −2. Тогда пространствоKc /Dθ,0 является гладким многообразием размерности 8p − 6. Топологически Kc /Dθ,0 представляет собой расслоенное пространство над пространством Тейхмюллера Tp поверхностиПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК123N со слоем H 1 (M, R)/Γ, где Γ — некоторая дискретная подгруппа первой группы когомологийH 1 (M, R).10. РИМАНОВЫФУНКЦИОНАЛЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ АССОЦИИРОВАННЫХ МЕТРИКХорошее изложение этой темы имеется в обзоре Д.Блэра [63].
Кэлеровым многообразиям посвящена глава 2 книге А. Бессе [5].10.1. Функционалы на пространстве ассоциированных метрик симплектического многообразия. Пусть (M 2n , ω) — компактное симплектическое многообразие и AM — пространство всех1 nгладких ассоциированных метрик на M . Поскольку элемент объема не зависит от g, μg = n!ω = μ,то можно считать, что пространство AM лежит в Mμ . Как было отмечено ранее, AM являетсявполне геодезическим подмногообразием.
Касательное пространство Tg AM к многообразию AMв точке g состоит из антиэрмитовых симметричных 2-форм h на M , h(JX, JY ) = −h(X, Y ), гдеJ — почти комплексная структура J, соответствующей метрике g. Поэтому критические метрики риманова функционала A(g), ограниченного на подмногообразие AM определяются тем, чтоgrad F (g) являются симметричными 2-формами, эрмитовыми относительно J. Этот факт впервыеотметил и успешно использовал Д. Блэр и С. Януш [60, 64].Теорема 10.1 (см. [64]). Пусть M — компактное симплектическое многообразие и AM —пространство всех гладких ассоциированных метрик на M . Тогда g ∈ AM является критической метрикой функционала A(g), ограниченного на пространство AM тогда и толькотогда, когда тензор Риччи Ric(g) является эрмитовым относительно почти комплекснойструктуры J, соответствующей метрике g.Поскольку для кэлеровых метрик тензор Риччи Ric(g) является эрмитовым, то такие метрикиявляются критическими.
Естественно поставить вопрос о том, только ли кэлеровы метрики являются критическими для функционала A(g)? Ответ на него отрицательный. Контрпримеры даны вработе Давидова и Мушкарова [82]. Они показали, что твисторное пространство компактного эйнштейнова автодуального четырехмерного многообразия отрицательной скалярной кривизны имеетпочти кэлерову структуру с эрмитовым тензором Риччи, но не является кэлеровым.Почти кэлеровы многообразия с эрмитовым тензором Риччи активно изучаются в настоящеевремя.
Основные достижения получены в работах Давидова и Мушкарова [82, 184], Драгхичи[87–89], а также в работах Апостолова, Армстронга и Драгхичи [46–48].Условие эрмитовости тензора Риччи Ric(g) является достаточно слабым и множество критических метрик может быть бесконечномерным. В работе [30] показано, что если дополнительнопотребовать постоянства скалярной кривизны, то множество критических метрик будет конечномерным.Пусть Iω (g) — группа симплектических изометрий метрики g ∈ AM и Sgs — срез действия группы G точных симплектических диффеоморфизмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
