Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В размерности 4 эйнштейновы метрики и конформно плоские метрики с нулевой скалярной кривизнойявляются критическими для D(g). Из работы [52] (см. также Бессе [5]) вытекает топологическоепрепятствие для существования таких метрик.Теорема 8.6. Пусть M — компактное ориентируемое четырехмерное многообразие. Эйнштейновы метрики дают абсолютный максимум функционала D(g) и этот максимум есть8π 2 χ(M ). Конформно плоские метрики с нулевой скалярной кривизной дают абсолютный минимум функционала D(g) и этот минимум есть −8π 2 χ(M ).В обратном направлении получен следующий результат [166].Теорема 8.7. Пусть (M, g) — компактное ориентируемое четырехмерное риманово многообразие. Если g является критической для функционала D(g) и имеет неположительную секционную кривизну, то g — эйнштейнова.108Н.
К. СМОЛЕНЦЕВВ работе [187] Муто показал, что если (M, g, J)– компактное кэлерово многообразие постояннойположительной голоморфной секционной кривизны, то g является критической для функционалаD(g). В этой же работе показано, что каноническая инвариантная метрика на компактной полупростой группе Ли является критической для функционала D(g). Для многообразий, диффеоморфныхсфере получен [186, 189] следующий результат.Теорема 8.8. Пусть M — многообразие, диффеоморфное сфере S n . Тогда функционал D(g)имеет локальный минимум в метриках постоянной положительной кривизны.Для прямого произведения многообразий (M, g) = (M1 × M2 , g1 × g2 ) Muto [188] показал, что gявляется критической для функционала D(g) на M тогда и только тогда, когда g1 и g2 гомотетичныметрикам, которые являются критическими для функционала D(g) на M1 и M2 и поточечные нормы тезоров кривизны удовлетворяют соотношению |R1 |2 /n1 = |R2 |2 /n2 , где n1 и n2 — размерностимногообразий M1 и M2 .В работе [189] Муто отмечает следующий факт.
Пусть M диффеоморфно произведению сферS n × S m . Рассмотрим риманову метрику g12 ∈ M1 такую, что (M, g12 ) = (S n , g1 ) × (S m , g2 ), гдеg1 и g2 — метрики постоянной положительной скалярной кривизны, равной s1 и s2 соответственно.Тогда метрика g12 является критической метрикой функционала D(g) тогда и только тогда, когдаs21 /n2 (n − 1) = s22 /m2 (m − 1). Однако эта метрика g12 не дает локальнуй минимум функционалаD(g) если n > 2 и m > 2.В работах [188, 189] Муто приводит интересное замечание относительно нижней границы значений функционала D(g).
Пусть M есть произведение сферы S n , n 2 и тора T m , m 1с метрикой g1 постоянной кривизны на сфере S n и плоской метрикой g2 на торе T m . Если (M, g) = (S n , α2 g1 ) × (T m , β 2 g2 ) и если αn β m = 1, тогда g ∈ M1 . Муто показал, чтоD(g) = α−4 D(g1 × g2 ). Из этого выражения следует, поскольку α может принимать произвольныезначения, что inf D(g) = 0, хотя S n × T m не допускает плоской метрики.8.4. Функционал DW (g). Он определяется как интеграл от квадрата нормы тензора ВейляW (g),DW : M → R, C(g) = |W (g)|2 dμ(g).(8.4)MНапомним, что на четырехмерном римановом многообразии оператор Ходжа ∗ действует на 2формах как инволюция.
Соответствующее разложение Λ2 (M ) на ±1-собственные подпространстваиндуцирует разложение тензора кривизны Вейля W на две компоненты W = W + + W − . Метрикаявляется конформно полуплоской, если W + или W − есть нуль. Критическими точками функционала DW (g) являются метрики, конформные эйнштейновым метрикам и конформно полуплоскиеметрики (при условии, что M ориентируемо). При этом, конформно полуплоские метрики реализуют абсолютный минимум функционала DW (g), равный 12π 2 |τ |, где τ – сигнатура четырехмерногомногообразия M . Дополнительную информацию о свойствах этого функционала можно найти вкниге А. Бессе [5] (глава 4).В работе [159] О.
Кобаяси изучал следующий функционал(8.5)ν(g) = (2/n) |W |n/2 dμg ,Mинвариантный также относительно конформных преобразований. Если dim M 3, то ν(g) = 0. Вразмерности 4 имеем, ν(g) = DW (g)/2. Если dim M = n 4, то supg ν(g) = +∞. В четырехмерномслучае найдены первая и вторая вариации функционала ν(g). О.
Кобаяси [159] получил оценкиснизу для ν(g) через первое число Понтрягина p1 [M ], сигнатуру τ и эйлерову характеристику χмногообразия M .Теорема 8.9. Если dim M = 4, то |p1 [M ]| ν(g)/8π 2 для всех g ∈ M. Если, дополнительно,M ориентировано, то |τ | ν(g)/24π 2 для всех g ∈ M. Равенства имеют место только в томслучае, когда g является конформно полуплоской.ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК109Теорема 8.10. Если dim M = 4 и g ∈ M есть кэлерова метрика.
Тогда ν(g) 24π 2 |τ | +16 23 π min{2χ − 6τ, 2χ + 3τ }. Равенства имеют место только в том случае, когда g являетсякэлеровой эйнштейновой метрикой.В работе [159] рассматривался также вопрос о стабильности критических точек функционалаν(g) на произведении сфер S 2 × S 2 .Функционал ν(g) позволяет определить следующий инвариант римановых многообразий:ν(M ) := inf{ν(g); g ∈ M}.(8.6)В работе [159] показано, что если на M свободно действует S 1 , то ν(M ) = 0. Если M1 и M2 —многообразия одной размерности, ν(M1 M2 ) ν(M1 ) + ν(M2 ).Если многообразие M допускает конформно плоскую метрику, то очевидно, ν(M ) = 0.
Обратноене верно. Действительно, многообразие M = S n × T m допускает свободное действие S 1 , поэтомуν(M ) = 0. В то же время известно, что это многообразие не имеет конформно плоских метрик[164]. В работе [159] установлен следующий результатТеорема 8.11.
Пусть M — компактное четырехмерное многообразие.(i) Если M допускает эйнштейнову метрику, то ν(M ) 16π 2 χ.(ii) Если M допускает эйнштейнову метрику неотрицательной секционной кривизны, тоν(M ) (64/5)π 2 χ.8.5. Другие римановы функционалы.
Достаточно широкий класс образуют римановы функционалы вида(8.7)I(g) = f (g)dμg ,Mгде f есть скалярное поле на M , которое локально выражается в виде гладкой функции от компонент gij метрического тензора g и производных от gij некоторого конечного порядка. В работе [187]Муто установил общий признак для критических метрик функционала (8.6). Он нашел тензор T ,такой, что условие критичности метрики g выражается в пропорциональности тензора T метрикеg. В работе Патерсона Е. [204] получены явные выражения для тензора T в случае, когда f (g)является подынтегральным выражением в формуле Гаусса-Бонне.
Напомним, что теорема ГауссаБонне [9] утверждает, что(−1)m 22m π m m!χ(M ),(8.8)Gm dμg =(2m)!Mгде n = 2m — размерность многообразия, χ(M ) — эйлерова характеристика и подынтегральноевыражение локально имеет вид...j2m i1 i2R j1 j2 . . . Ri2m−1 i2m j2m−1 j2m ,Gm = δij11ij22...i2m(8.9)j...j2m= det(δiαβ ) — обобщенный символ Кронекера. В частности, G1 = −2s(g), G2 = 4(s2 −где δij11ij22...i2m224| Ric | + |R| ).Определим тензорное поле Gm не только для m = n/2, но и для любого m n/2 формулой(8.9) (Gm = 0 для m > n/2). В этом случае(8.10)I(g) = φ(Gm )dμg ,Mгде φ – гладкая функция, является римановым функционалом.
Такие функционалы рассматривались в работах [54, 174, 204].Положимjkjkj3 ...j2m i3 i4= δhiiR j3 j4 . . . Ri2m−1 i2m j2m−1 j2m ,Shi3 ...i2mm > 1,...j2m i1 i2R j1 j2 . . . Ri2m−1 i2m j2m−1 j2m ,Eij = δiijj11...i2mjkjkShi= δhi,jkjkShi= δhi,m = 1,(8.11)(8.12)110Н.
К. СМОЛЕНЦЕВ Теорема 8.12 (см. [204]). Метрика g является критической для функционала I(g) =M φ(Gm )dμg тогда и только тогда, когда11cdφ(Gm )gij + φ (Gm )(Eij − Gm gij ) + 2m(∇b ∇d φ (Gm ))Sibgcj = cgij22для некоторой константы c. Теорема 8.13 (см. [204]). Метрика g является критической для функционала I(g) =M Gm dμg тогда и только тогда, когда Eij = cgij для некоторой константы c. Кроме того, если m < n/2, то Gm является константой на M .В работе [204] рассмотрены также более общие подынтегральные выражения и предложенопонятие обобщенной метрики Эйнштейна.В работе [49] рассмотрен функционал, который равен сумме функционалов полной скалярнойкривизны и полной средней кривизны для компактного многообразия с границей,n−2n−1s(g)dμg +hdσ.(8.13)F (g) =4(n − 1)2M∂MТакой функционал рассматривался в работах [102–104] в связи с обобщениями проблемы Ямабедля многообразий с границей.
В работе [49] изучались критические точки функционала (8.12) намножестве метрик Ma,b = {g : a Vol(M, g) + b Area(∂M, g) = 1}.Теорема 8.14 (см. [49]). Метрика g является критической для функционала F (g) на пространстве Ma,b тогда и только тогда, когда g является эйнштейновой с омбилической границей постоянной средней кривизны, при этом скалярная кривизна s и средняя кривизна hудовлетворяют соотношению bs = 2nah.Пусть Δg (u) = div(grad(u)) — оператор Лапласа—Бельтрами.
ПоложимLg u = −4(n − 1)Δg u + s(g)u.n−2(8.14)Пусть λ1 (g) — первое собственное значение оператора Lg , g ∈ M. Свойства функционала λ1 (g)исследовались в работах Каждана и Уорнера [148, 150]. В частности, в работе [150] полученыследующие результаты.Теорема 8.15. Пусть M — компактное связное многообразие размерности n 3. Тогда1) Критические точки функционала λ1 (g) на пространстве M1 являются метриками Эйнштейна.2) Знак λ1 (g) является конформным инвариантом.3) На M можно ввести метрику с положительной (соответственно с нулевой, отрицательной) скалярной кривизной, поточечно конформную метрике g, тогда и только тогда,когда λ1 (g) > 0 (соответственно λ1 (g) = 0, λ1 (g) < 0).4) Для введения на M метрики с λ1 (g) > 0 и λ1 (g) = 0 существуют топологические препятствия.5) На любом многообразии M можно ввести метрику g с λ1 (g) < 0.6) Если M допускает метрику g+ с λ1 (g+ ) > 0, то оно допускает метрику g с λ1 (g) = 0.Другие собственные числа оператора Лапласа также являются римановыми функционалами.Спектр оператора Лапласа Δg определяет многие геометрические свойства риманова многообразия (M, g).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
