Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом,ΔL = Δ + K. Напомним, что гессиан Hess(f ) определяется как ковариантный дифференциал 1формы df , Hess(f ) = ∇(df ). Тогда из определения гессиана вытекают равенства Hess(f )(X, Y ) =∇(df )(X, Y ) = ∇X df, Y = X(Y (f )) − (∇X Y )f и его симметричность.Из свойства η ∗ (Ric(g)) = Ric(η ∗ (g)) сразу следует, что для любого векторного поля X на Mимеет место равенство LX (Ric(g)) = dg Ric(LX g).Сопряженный оператор для dg Ric имеет вид [5]:1ΔL h − 2δg∗ δg h − δg (δg (h))g .(7.7)dg Ric∗ (h) =2Рассмотрим отображение скалярной кривизны s : M → C ∞ (M, R), g → s(g) следуя работамА.
Фишера и Дж. Марсдена [109,110]. Как показано выше, это отображение является ILH-гладким(следствие 7.6). Из свойства η ∗ (s(g)) = s(η ∗ (g)) сразу следует, что для любого векторного поля Xна M имеет место равенство LX (s(g)) = dg s(LX g). Если s > n/2, то отображение s продолжаетсядо C ∞ -отображения Ms+2 → H s (M, R). Дифференциал отображения s также хорошо известен[5, 172]:(7.8)dg s(h) = γg (h) = Δg (tr h) + δg δg h − g(h, Ric(g)),iгде Δg f = δg df = −∇ (di f ) — лапласиан. Сопряженный оператор для γg имеет вид [5]:γg∗ (f ) = gΔg (f ) + Hessg f − f Ric(g).(7.9)102Н. К. СМОЛЕНЦЕВОператор γg∗ имеет инъективный символ, σt (γg∗ )(u) = (−gt2 + t ⊗ t)u при n 2.
Поэтому дляпространства S2 получаем разложение Берже-Эбина:S2 = Ker γg ⊕ Im γg∗ ,(7.10)h=h + (gΔg (f ) + Hessg f − f Ric(g)),h) + δg δg h − g(h, Ric(g)) = 0. Разложим компоненту h по классическому разложениюгде Δg (tr 0Берже-Эбина, h = h + LX g, тогда:(7.11)h=h0 + LX g + gΔg (f ) + Hessg f − f Ric(g),гдеδg (h0 ) = 0, Δg tr h0 − h Ric(g) = 0.Поскольку оператор γg∗ имеет инъективный символ, то оператор γg γg∗ является эллиптическим.Следовательно, его ядро конечномерно и Ker γg γg∗ = Ker γg∗ . Поэтому имеет место следующееортогональное разложение пространства функций:C ∞ (M, R) = Im γg ⊕ Ker γg∗ .(7.12)Определение 7.1. Метрику g назовем сингулярной, если отображение dg s = γg не сюръективно.Из разложения (7.12) следует, что для сингулярной метрики Ker γg∗ = 0, т.е.
существует нетривиальное решение уравненияHessg f = f Ric(g) − Δg (f )g.(7.13)Легко видеть, что если (M, g) — риччи плоское, Ric(g) = 0, то константы являются решениямиуравнения (7.13), тогда Ker γg∗ = 0 и поэтому отображение dg s = γg не сюръективно. В работе[109] показано, что отображение dg s = γg не сюръективно также в случае, когда M являетсястандартной сферой. Рассмотрим этот вопрос подробнее.Пусть f — решение уравнения (7.13).
Если возьмем след в (7.13), то учитывая, что tr Hessg f =∇i (di f ) = −Δg f , получаем,(n − 1)Δg (f ) = s(g)f.(7.14)Поэтому, если скалярная кривизна постоянна, решение f является собственной функцией оператора Лапласа с собственным значением s(g)/(n − 1). В частности, если s(g) = 0, то Δg (f ) = 0,f = const. Тогда в случае Ric(g) = 0 из (7.13) следует, что f = 0. В этом случае оператор dg s = γgсюръективен.В работах [73, 109] показано, что если Ric(g) = 0 и если существует нетривиальное (не равноенулю тождественно) решение f уравнения (7.13), то s(g) является положительной константой.Таким образом мы получаем следующий результат, показывающий, что отображение скалярнойкривизны s : Ms → H s−2 (M, R) локально почти всегда сюръективно.Теорема 7.7 (см. [73, 109]).
Пусть g ∈ Ms , s > n/2 + 1 и предположим, что1) s(g) не является положительной константой и2) если s(g) = 0, то Ric(g) — не равен тождественно нулю.Тогда s : Ms → H s−2 (M, R) отображает окрестность элемента g на окрестность s(g).Следствие 7.8. Пусть (M, g) — замкнутое многообразие, допускающее нетривиальное решение уравнения (7.13). Тогда (M, g) либо риччи-плоское и Ker γg∗ = R, либо s(g) есть положительная константа и s(g)/(n − 1) есть собственное значение оператора Лапласа.В случае стандартной сферы M = S n радиуса r0 с метрикой g0 имеем:Ric(g0 ) =n−1g0 ,r02Тогда f ∈ Ker γg∗ , если и только если [109]Hess f = Ric(g0 ) −s(g0 ) =n(n − 1).r02f1s(g0 )g0 f = − 2 g0 .n−1r0ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК103Но собственные функции лапласиана с первым ненулевым собственным значением n/r02 такжеудовлетворяют уравнению Hess f = −(f /r02 )g0 .
Следовательно оператор dg s = γg не сюръективен иKer γg∗ = {f ∈ H s (M, R); Δf = (n/r02 )f }. Обратно, по теореме Обаты [197], риманово многообразие(M, g), допускающее нетривиальное решение уравнения Hess f = −c2 f g, изометрично стандартнойсфере радиуса 1/c.Если s(g) = const > 0 и γg не сюръективно, то существует [109] нетривиальное решение fуравнения(7.15)Hess f = Ric(g) − (n − 1)−1 s(g)g f .Это уравнение аналогично уравнению Обаты и естественно предположить, что из существованиянетривиального решения последнего уравнения следует, что многообразие есть стандартная сфера.На основе этого А. Фишер и Дж. Марсден высказали гипотезу [109]:Гипотеза 1. Если уравнение Hess f = (Ric(g) − s(g)g/(n − 1))f допускает нетривиальное решение, то (M, g) либо риччи-плоское, либо является стандартной сферой.Поскольку недоказанной осталась вторая альтернатива, то данная гипотеза может быть сформулирована так:Гипотеза 2.
Если g — сингулярная метрика положительной скалярной кривизны, то многообразие (M, g) есть стандартная сфера.Контрпримеры к гипотезе Фишера—Марсдена приведены в работах [158,165]. Во всех контрпримерах многообразие (M, g) содержало вполне геодезическую (n − 1)-сферу.
То, что это есть общееявление, установлено пока только для трехмерных многообразий [221].Теорема 7.9. Если g — сингулярная метрика на трехмерном замкнутом многообразии Mположительной скалярной кривизны s(g), то (M, g) содержит вполне геодезическую 2-сферу.Для гладкой функции ρ(x) на многообразии M и для s > n/2 + 1 рассмотрим пространстваметрик предписанной скалярной кривизны ρ(x):Msρ = {g ∈ Ms ; s(g) = ρ},Mρ = {g ∈ M; s(g) = ρ}.Из теоремы 7.7 можно получить условия на ρ, при которых Msρ является подмногообразием в Ms .Теорема 7.10 (см.
[109]). Пусть ρ — гладкая функция на M и s > n/2 + 1. Если либо:(a) dim M = 2, либо(b) dim M 3 и ρ не является константой 0,то Msρ (соответственно, Mρ ) является C ∞ -подмногообразием в Ms (соответственно, в M).Если dim M 3, ρ = 0, g ∈ Ms0 (соответственно, g ∈ M0 ) и Ric(g) = 0 (или, если dim M = 3,g — неплоская), тогда Ms0 (соответственно, M0 ) является C ∞ -подмногообразием в окрестности элемента g.А. Лихнерович показал [173], что для спинорного многообразия с ненулевым A-родомпространство Mρ пустое в случае ρ 0, ρ = 0.
Вопрос о том, какие функции могут служить скалярнойкривизной метрики исследован в работах Каждана и Уорнера [148–151].Теорема 7.11. Компактные многообразия M и n 3 делятся на три класса:(a) любая C ∞ -функция на M является скалярной кривизной некоторой C ∞ -метрики;(b) функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики тогда и только тогда,когда она тождественно равна нулю или отрицательна в некоторой точке (при этомлюбая метрика нулевой скалярной кривизны является риччи-плоской);(c) функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики тогда и только тогда,когда она отрицательна в некоторой точке.Рассмотрим многообразие Ms0 = {g ∈ Ms ; s(g) = 0} метрик нулевой скалярной кривизны.
Этотслучай особый, поскольку отображение скалярной кривизны не будет субмерсией в тех точках gиз Ms0 , в которых Ric(g) = 0. Тогда Ms0 может не быть многообразием в этих точках.104Н. К. СМОЛЕНЦЕВДля λ ∈ R, s > n/2 + 1, пусть Eλs = {g ∈ Ms ; Ric(g) = λg} есть пространство эйнштейновыхметрик кривизны Риччи, равной λ. Тогда множество E0s = {g ∈ Ms ; Ric(g) = 0} риччи-плоскихметрик есть часть сингулярного множества для отображения s(g).
Тогда из теоремы 7.10 следует,что Ms0 \ E0s есть гладкое подмногообразие в Ms .Пусть FMs — множество плоских H s -римановых метрик и Hs−1 — множество плоских римановых связностей. Группа диффеоморфизмов Ds+1 естественным образом действует на пространствеHs−1 .Теорема 7.12 (см. [109]). Пусть Γ ∈ Hs−1 , s > n/2 + 1. Тогда существует диффеоморфизмη ∈ Ds+1 такой, η ∗ Γ ∈ H, т.е. η ∗ Γ есть гладкая риманова связность. Аналогично, если gF ∈FMs , то существует диффеоморфизм η ∈ Ds+1 такой, η ∗ gF ∈ FM, пространству плоскихC ∞ -римановых метрик.Теорема 7.13 (см. [109]). Если M допускает плоскую H s -риманову метрику gF ∈ FMs , s >n/2 + 1, тогда каждая метрика g ∈ Ms нулевой кривизны Риччи является плоской.Тогда если FMs = ∅, то E0s = FMs , так что Ms0 − E0s = Ms0 − FMs есть гладкое подмногообразие в Ms .
Пространство FMs имеет интересную структуру. Для Γ ∈ Hs−1 пустьIΓs+1 = {η ∈ Ds+1 ; η ∗ Γ = Γ} — группа аффинных преобразований связности Γ.Пусть FMsΓ = {g ∈ FMs ; Γ(g) = Γ} — множество плоских римановых метрик, у которыхсвязность Леви-Чивита есть Γ. Как известно, если g ∈ Ms и η ∈ Ds+1 , то для связности Γ(g)имеем свойство: Γ(η ∗ g) = η ∗ Γ(g). Тогда если η ∈ IΓs+1 и g ∈ FMsΓ , то Γ(η ∗ g) = η ∗ Γ(g) = η ∗ Γ = Γ.Поэтому η ∗ ∈ FMsΓ . Получаем, что группа IΓs+1 действует на FMsΓ , A : IΓs+1 × FMsΓ → FMsΓ иэто действие непрерывно.s+1Для g ∈ Ms пусть Igs+1 = {η ∈ Ds+1 ; η ∗ g = g} — группа изометрий метрики g и пусть I0g—s+1s+1s+1связная компонента единицы. Поскольку M компактно, то I0g = I0Γ(g) .
Тогда I0Γ являетсяобщей нормальной группой изотропии для всех g ∈ FMsΓ . Действие A не эффективно, но если мыs+1 : D × FMs → FMs группы, то получим эффективное действие Aвозьмем группу D = IΓs+1 /I0ΓΓΓD./ Igs+1 , тогда η ∗ g ∈ FMsΓ , но η ∗ g = g. Получаем, чтоЗаметим, что если g ∈ FMsΓ , η ∈ IΓs+1 и η ∈η ∗ g и g — различные изометричные метрики в FMsΓ . Тогда FMsΓ пересекает орбиту Og только водном классе из IΓs+1 /Igs+1 .Теорема 7.14. Пусть Γ ∈ Hs−1 , s > n/2 + 1. Тогда пространство Hs−1 плоских римановыхгомеоморфно однородному пространству Ds+1 /IΓs+1 .
Для определенного выше ассоциированное однородное расслоение естьдействия AH s−1 -связностейπ : FMs → Hs−1 ≈ Ds+1 /IΓs+1 ,где проекция есть π(g) = Γ(g) и слои π −1 (Γ) = FMsΓ являются конечномерными многообразиями. Таким образом, FMs есть пространство обнородного расслоения и, кроме того, FMsесть гладкое замкнутое подмногообразие Ms .Замечание (см. [109]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
