Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, F −1 непрерывно. Это завершает доказательство теоремы.В работе [161] Коисо Н. усилил теорему о срезе. Он показал, что срез Sg и соответствующееотображение F являются C ∞ -ILH-гладкими.Теорема 4.4 (О срезе. Д. Эбин, [93], Н. Коисо, [161]). Пусть M — ILH-многообразие гладких римановых метрик на M и D — ILH-группа Ли диффеоморфизмов многообразия M . Длякаждого g ∈ M существует ILH-подмногообразие Sg ⊂ M обладающее свойствами:1) если η ∈ Ig , то η ∗ (Sg ) = Sg ,2) если η ∈ D и η ∗ (Sg ) ∩ Sg = ∅, то η ∈ Ig ,3) Существует окрестность U класса смежности [e] ∈ D/Ig и локальное сечение χ :D/Ig −→ D определенное в окрестности U , такое, что отображениеF : U × Sg −→ M,F (u, h) = (χ(u))∗ h,есть ILH-диффеоморфизм на окрестность V элемента g ∈ M.Отметим, что в данной теореме о срезе для любого s 2n + 5 выполняется [161, 162]:U s+1 = U 2n+1 ∩ I(g) \ Ds+1 ,Sgs = Sg2n+5 ∩ Ms ,V s = V 2n+5 ∩ Ms ,и для любого k 0 отображенияχs+1 = χ2n+6 |U s+1F s+k : U s+1+k × Sgs+k −→ V s ,ps+k × q s+k : V s+k −→ U s+1 × SgsC k -дифференцируемы.Приведем несколько следствий теоремы о срезе [93].Теорема 4.5.
Для любой метрики g ∈ M и любой окрестности W единицы e ∈ D существует окрестность V элемента g такая, что если a ∈ V , то существует η ∈ W такой,чтоηIa η −1 ⊆ Ig .Во-первых заметим, что из свойства 2 теоремы о срезе следует, что для любого b ∈ Sg , Ib ⊆ Ig .В обозначениях теоремы 3 пусть U = U ∩ π(W ), где π : D → D/Ig . Положим V = F (D , S). Тогдаесли a = F (u , b), то b = (χ(u )−1 )∗ (a) ∈ S. Поэтому Ib ⊂ Ig .
Следовательно если η = χ(u ), тоa = η ∗ (b). Поэтому ηIa η −1 = Ib ⊆ Ig . Но π(η) = u ∈ U , поэтому η ∈ W .90Н. К. СМОЛЕНЦЕВСледствие 4.6. Множество M0 метрик с тривиальной группой изометрий открыто в пространстве M всех метрик.Теорема 4.7. Если dim M > 1, то множество M0 метрик с тривиальной группой изометрийесть плотное подмножество пространства M oсех метрик.Утверждение теоремы достаточно очевидно, поскольку любую метрику g можно малыми деформациями сделать "бугристой"так, что она потеряет все свойства симметричности. Идея доказательства в работе [93] заключается в следующем. Строится функция на многообразии, котораядостаточно хорошо отражает деформации метрики. Тогда ее точки экстремума будут неподвижными точками группы изометрий.
Если метрика будет иметь достаточное количество неподвижныхточек, ее группа изометрий будет тривиальной.Maxim-Rǎileanu L. в работе [175] распространила теорему о срезе на случай многообразияс границей. Рассмотрено также пространство метрик, которые совпадают на границе и группадиффеоморфизмов, действующих тождественно на границе.
В следующей работе [176] она распространила теорему о срезе на случай пространства M × C ∞ (M, N ), на котором действует группаD × Ig , где D — группа диффеоморфизмов многообразия M , Ig — группа изометрий риманова многообразия (N, g ) и C ∞ (M, N ) — пространство отображений M → N . В работе [209] O. Pekonenдоказал теорему о срезе для действия группы диффеоморфизмов на пространстве почти комплексных структур.
Общие вопросы существования среза в случае градуированных пространств Фрешеи ручных (tame) отображений рассматривались в диссертации T.N. Subramanian [225] и в работе [226].В работе [227] изучался вопрос о существовании среза для действия группы диффеоморфизмовна пространстве Z замкнутых 2-форм на симплектическом многообразии (M, ω). Оказывается,существование среза зависит от размерности второй группы когомологий H 2 (M ).Теорема 4.8. Срез действия группы диффеоморфизмов D на пространстве Z замкнутых2-форм на симплектическом многообразии (M, ω) для элемента ω ∈ Z существует тогда итолько тогда, когда H 2 (M ) = R.Если H 2 (M ) = R, то срез Sω определяется открытым лучом {tω}t>0 .
Например, срез существуетв каждой симплектической форме на CP n , но не существует на T 2n .5.КОНФОРМНОЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МЕТРИКИ5.1. Поточечно конформные преобразования. Пусть P — мультипликативная группа положительных гладких функций на многообразии M . Рассмотрим действиеB : P × M −→ M.B(p, g) = pg.(5.1)Очевидно, оно является свободным и из теоремы 1.2 сразу следует его ILH-гладкость. Данномудействию соответствует следующее (поточечное) ортогональное разложение пространства Tg M =S2 :S2 = Fg ⊕ S2T ,(5.2)Tгде S2 = {h ∈ S2 ; tr h = 0} — пространство бесследовых симметричных 2-форм и Fg = {h ∈S2 ; h = f g, f ∈ C ∞ (M, R)}.
Соответственно, каждая 2-форма h однозначно представляется ввиде:11(5.3)h = (tr h)g + h − (tr h)g .nnБолее тонкое ортогональное разложение пространства Tg M = S2 :S2 = Rg ⊕ F0 g ⊕ S2T ,(5.4)где F0 = {f ∈ F : M f dμg = 0} — пространство функций с нулевым средним значением.Обратимся к многообразиям P s и Ms функций и метрик соболевского класса гладкости H s ,s > n/2. Легко видеть, что P s является гильбертовой группой Ли.
Поэтому для исследованиядействия B : P s × Ms → Ms можно использовать общие факты о действиях гильбертовых группПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК91Ли. Пусть G — гильбертовa группa Ли и H — гладкое гильбертово многообразие с гладким правымдействием A : H × G → H. Действие A называется собственным, если отображение : H × G → H × H,A a) = (x, A(x, a))A(x,является собственным, т.е. прообраз компакта является компактом.Теорема 5.1 (см.
[36]). Пусть G — гильбертовa группa Ли и H — гладкое гильбертово многообразие с гладким правым действием A : H × G → H.Для x ∈ H пусть Gx — орбита точки x. Предположим, что действие A является свободными собственным. Тогда орбиты Gx являются гладкими замкнутыми подмногообразиями в H,диффеоморфными G.Пространство орбит H/G имеет единственную структуру гладкого гильбертова многообразия, такую, что проекция π : H → H/G является C ∞ -субмерсией.Для [x] ∈ H/G касательное пространство T[x] H/G Cx , где Cx ⊂ Tx H есть ортогональноедополнение к касательному пространству Tx Gx к орбите точки x.Расслоение π : H → H/G является гладким главным G-расслоением.В нашем случае легко показать [111], что отображениеC : P s × Ms −→ Ms × Ms ,C(p, g) = (pg, g)является собственным.
Поэтому фактор-пространствоMs /P s(5.5)является многообразием.Теорема 5.2 (см. [111]). Орбита P s g метрики g ∈ Ms относительно P s есть гладкоезамкнутое подмногообразие в Ms с касательным пространством F s g = {h ∈ S2 ; h =f g, f ∈ H s (M, R)}. Фактор-пространство Ms /P s является гладким многообразием и проекция π : Ms → Ms /P s является субмерсией.Пространство M/P называется конформным суперпространством.
Функционалы на этомпространстве являются конформными инвариантами. Для построения конформных инвариантовобычно используетсяВейля [5]. Например, в работе [159] изучался следующий функци тензорn/2онал ν(g) = (2/n) M |W | dμg , где W — тензор Вейля. Подробнее об этом функционале см.
в§ 8. Другим примером являетсяконформный функционал Чженя—Саймонса [80] на трехмерном многообразии Φ(θ) = 12 M T P1 (θ) mod Z, где θ — форма связности Леви-Чивита метрики g иT P1 (θ) = tr(2θ3 /3 + θdθ)/4π 2 . В работе О. Пеконена [207] показано, что критические точки этогофункционала являются конформно плоскими 3-многообразиями.Пространство Ms /P s может быть отождествлено с пространством тензорных плотностейю; g ∈ Ms }.W s = {g ⊗ μ−2/ngТеорема 5.3 (см. [111]).(5.6)(a) Имеют место диффеоморфизмы многообразий:Ms → Ms /P s × V s ← W s × V s ,g → (P s g, μg ) ← (g ⊗ μ−2/n, μg ).g(b) Tg Ms = Tg (Pgs ) ⊕ Tg Msμg и любая орбита P s g пересекает подмногообразие Msμ(g ) вединственной точке.Напомним, что Msμ есть многообразие метрик с одним и тем же римановым элементом объема,равным μ.
Следующее локальное разложение пространства M в прямое произведение полученоН. Коисо.Теорема 5.4 (см. [163]). Пусть C ⊂ M — множество всех метрик, имеющих постояннуюs(g)не является собственным числом оператора Ласкалярную кривизну s(g) и таких, что n−1пласа Δg . Пространство C является ILH-подмногообразием M и отображениеχ : P × C → M,есть локальный ILH-диффеоморфизм на M.χ(f, g) = f g92Н. К.
СМОЛЕНЦЕВСледствие 5.5 (см. [163]). Пусть g = f g где f ∈ P, g ∈ C. Если gt есть деформация, определенная для достаточно малых t, то существует 1-параметрическое семейство положительных функций ft , существует 1-параметрическое семейство диффеоморфизмов ηt и деформацияg t в пространстве C такие, что f0 = f , δg g 0 = 0 иgt = ft ηt∗ g t .(5.7)Действительно, по теореме 4.5 имеем gt = ft gt , где gt — деформация в C. По теореме о срезеgt = ηt∗ g t , где g t — деформация, лежащая в срезе Sg , она, как известно, обладает свойством δg g 0 =0.5.2. Действие группы конформизмов.
Полупрямое произведение C = D × P групп D и P соперацией (η1 , p1 ) · (η2 , p2 ) = (η1 ◦ η2 , p2 · (p1 ◦ η2 )) называется группой конформных преобразованиймногообразия M или группой конформизмов. Действие группы C на пространстве метрик Mопределяется следующим образом: : C × M → M, ((η, p), g) → p · η ∗ g.(5.8)AДля метрики g ∈ M пусть Cg ⊂ C — группа изотропии,Cg = {(η, p) ∈ C; p · η ∗ g = g}.(5.9)η∗ gГруппа Cg изоморфна группе конформных преобразований {η ∈ D;= pg для некоторогос алгебройp ∈ P} ⊂ D. Если dim M 3, то Cg является [9] группой Ли размерности (n+1)(n+2)2Ли(5.10)Kg = {(X, f ) ∈ Γ(T M ) × F; LX g + f g = 0}.2Отметим, что алгебра Kg изоморфна алгебре Ли {X ∈ Γ(T M ); LX g = n div(X)g} конформнойгруппы, т.е.
пространству конформно киллинговых векторных полей.Пусть Cg = {p · η ∗ g; (η, p) ∈ C} – орбита действия C, т.е. множество метрик, конформно эквивалентных g. В случае конечного класса гладкости s > n/2 + 1 мы рассматриваем группуC s = Ds+1 × P s . Если g ∈ Ms+r , то орбитное отображениеg : C s → Ms ,g (η, p) = pη ∗ gAAдифференцируемо класса C r .Так же, как и в работе [93] доказывается, что если pn ηn∗ g → γ в пространстве Ms , то упоследовательности {(ηn , pn )} существует сходящаяся подпоследовательность в C s . Аналогичнодоказывается теорема о срезе.Теорема 5.6 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
