Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, символ оператора D∗ D есть (−1)k σt (D)∗ ◦ σt (D), что является очевидно изоморфизмом длялюбого t = 0. Из равенства (u, DD∗ u) = (D∗ u, D∗ u) следует, чтоKer DD∗ = Ker D∗ ,Ker D∗ D = Ker D.Нетрудно заметить также, что∗(H s+k (F )).Ds (H s (E)) = Ds Ds+k∗ (H s+k (F )). Обратно, если v = D u, u ∈ H s (E), то из эллипЯсно, что Ds (H s (E)) ⊇ Ds Ds+ks∗ D (a) + b, гдетичности оператора D∗ D и из u ∈ H s (E), по теореме 1.4, следует, что u = Ds+kss+2k∗∗(E) и b ∈ Ker D D = Ker D. Поэтому v = Ds u = Ds Ds+k Ds+2k (a).a∈HТеорема 1.5 (M.
Берже, Д. Эбин [56]). Если D : Γ(E) → Γ(F ) — дифференциальный оператор порядка k c инъективным символом, тогда для s − k 0 имеет место разложение впрямую сумму замкнутых ортогональных относительно скалярного произведения (1.6) подпространств∗.(1.11)H s−k (F ) = Im Ds ⊕ Ker Ds−kЧтобы убедиться в справедливости разложения, достаточно показать только алгебраическоеразложение∗.H s−k (F ) = Im Ds ⊕ Ker Ds−k74Н.
К. СМОЛЕНЦЕВ∗То, что это разложение будет и топологическим, следует из того, что Ker Ds−k— замкнуто вs−k(F ), а Ds — непрерывен. Действительно, в этом случае отображениеH s : H s (E) ⊕ Ker D∗ → H s−k (F ),Ds−k s (u, h) = Ds u + hDявляется непрерывным сюръективным отображением банаховых пространств. Тогда из замкнуто∗ s (H s (E)) = Ds (H s (E)) замкнуто.следует, что Dсти H s (E) в H s (E) ⊕ Ker Ds−k∗Очевидно, что пространства пересекаются только по нулю, Ker Ds−k∩ Ds (H s (E)) = {0}. Дей∗∗∗ствительно, если Ds−k Ds (u) = 0, то (u, Ds−k Ds u) = (Ds u, Ds u) = 0, следовательно, Ds u = 0.Поскольку оператор D∗ D эллиптический, то по теореме 1.4 имеем ортогональное разложение∗Ds (H s (E)) ⊕ Ker Ds−2kH s−2k (E) = Ds−k∗с конечномерным ядром Ker Ds−2k .
Оператор Ds−k: H s−k (F ) → H s−2k (E) отображает простран∗ D (H s (E)), причем D ∗s∗sство H s−k (F ) на Ds−kss−k : Ds (H (E) → Ds−k Ds (H (E)) — изоморфизм.Поэтому∗∗)−1 (Ds−2k Ds−k)(H s−k (F )) =H s−k (F ) = (Ds−2k Ds−k∗∗∗= (Ds−2k Ds−k)−1 (Ds−2k (H s−2k (E))) = (Ds−2k Ds−k)−1 (Ds−2k (Ds−k(Ds (H s (E))))) =∗∗= Ds (H s (E)) + (Ds−2k Ds−k)−1 (0) = Ds (H s (E)) + Ker Ds−k.Ортогональность суммы следует из (Ds u, v) = (u, Ds∗ v).Следствие (см. [56]). Если D : Γ(E) → Γ(F ) — дифференциальный оператор порядка k cинъективным символом, тогда имеет место разложение в прямую сумму замкнутых ортогональных относительно скалярного произведения (1.6) подпространствΓ(F ) = Im D ⊕ Ker D∗ .(1.12)Замечание. Разложение (1.11) и аналогичное разложение (1.12) в гладком случае, обычно называются разложениями Берже—Эбина.
Из разложений теорем 1.4 и 1.5 следует, что если операторD∗ инъективен и имеет инъективный символ, то оператор D сюръективен.В случае, когда дифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) имеет сюръективный символ, тоимеет место следующий результат.Теорема 1.6 (см. [74]). Если дифференциальный оператор D имеет сюръективный и не инъективный символ, то его ядро Ker D бесконечномерно.Пример 3. Пусть αg (X) = 12 LX g — рассмотренный ранее дифференциальный оператор и δg —его сопряженный, (δg a)i = −∇j aij .
Как мы уже отмечали, оператор αg имеет инъективный символ1σt (αg )(X) = (t ⊗ X + X ⊗ t),2а оператор δg — сюръективный и неинъективный символ σt (δg )(a) = −tj aij . Поэтому по теореме 1.5имеет место разложение Берже—ЭбинаS2 = S20 ⊕ αg (Γ(T M )),(1.13)где S20 = Ker δg = {a ∈ S2 ; δg a = 0} — пространство бездивергентных симметричных 2-форм.Соответственно каждая 2-форма a ∈ S2 однозначно представляется в видеa = a0 + LX g,(1.14)где δg = 0. Компонентыи LX g ортогональны и определены единственным образом.
Векторноеполе X определено с точностью до киллингова векторного поля (т.е. такого, что LX g = 0). Вслучае конечного класса гладкости получаем разложение гильбертова пространства S2s = H s (S2 M )симметричных 2-форм класса H s , s > n2 + 1:a0a0S2s = S2s,0 ⊕ αg (Γs+1 (T M )),(1.15)ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК75По теореме 1.5 ядро S20 оператора δg является бесконечномерным.
Оператор δg αg является эллиптическим. В работах [109, 172] показано, чтоδg (LX g) = ΔX + (dδg (X)) − 2 Ric(g) · X,где знак обозначает операцию поднятия или опускания индекса, ΔX = ((dδ + δd)X ) естьоператор Лапласа—ДеРама на векторных полях. Оператор Δ имеет выражениеΔX = −g ik ∇j ∇k X i + Ricik X k .2.ILH-МНОГООБРАЗИЯПусть D — группа гладких диффеоморфизмов замкнутого риманова многообразия (M, g). Этагруппа естественным образом действует на пространстве тензорных полей и, в частности, напространстве римановых метрик.
Поэтому рассмотрим подробнее некоторые вопросы, связанные сопределением D как группы Ли—Фреше.Поскольку векторные поля порождают однопараметрические группы диффеоморфизмов, то естественно считать алгеброй Ли группы D алгебру Γ(T M ) гладких векторных полей на M со скобкойЛи векторных полей в качестве операции.
Пусть ηt (X) — однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная векторным полем X на M . Тогда групповое экспоненциальное отображениеопределено формулой(2.1)η : Γ(T M ) −→ D, X → η1 (X).К сожалению, данное экспоненциальное отображение не является локальным гомеоморфизмом[20, 198]. Имеются сколь угодно близкие к единичному диффеоморфизмы, не лежащие ни в какойоднопараметрической подгруппе, в то время как другие лежат во многих однопараметрическихподгруппах.
В работах [20, 136, 181, 198] это показано в случае простейшего многообразия, когдаM — это единичная окружность S 1 . Таким образом,отображение η : Γ(T M ) → D не является ни локально взаимно однозначным на свой образ,ни локально сюрьективным.Несмотря на указанные проблемы, в работе Лесли [170] показано, что группа D является бесконечномерной группой Ли—Фреше. Как многообразие, группа D моделируется на пространствеΓ(T M ) гладких векторных полей на M .
Координатные карты на D строятся следующим естественным способом. Пусть U — открытое множество в Γ(T M ), состоящее из векторных полей на M ,достаточно малых относительно C 1 -нормы. Карта на D в окрестности единицы e ∈ D задаётсяотображением(2.2)ξ : U → D, ξ(X)(x) = expx X(x),где X ∈ U , x ∈ M и expx : Tx M → M — риманово экспоненциальное отображение. В окрестностилюбого другого элемента η ∈ D координатная карта задаётся аналогично,ξ : U → D,ξ(X)(x) = expη(x) X(η(x)).где X ∈ U , x ∈ M и expη(x) : Tη(x) M → M .Использование данных карт для определения дифференцируемой структуры на D сталкивается с некоторыми трудностями.
Дело в том, что в качестве моделирующего пространства берётсяпространство Фреше Γ(T M ) всех гладких векторных полей на M . Как известно, [2, 3, 136], существует много способов выбора метода дифференцирования в пространстве Фреше. Даже есливыбрать какой-либо способ дифференцирования, как это сделано в работе [170], проблемы остаются, т.к. для пространств Фреше основные теоремы дифференциального исчисления, такие, кактеорема об обратной функции, теорема об неявной функции, теорема Фробениуса не верны прилюбом способе дифференцирования.Омори Х. [198,199] предложил определить группу D как ILH (Inverse Limit Hilbert)-группу Ли.Группа D рассматривается вместе с системой гильбертовыхмногообразий Ds , каждое из которых sявляется топологической группой, причём D = D с топологией обратного предела (напомним,sчто топология обратного предела есть слабейшая из топологий, в которых отображения вложенияfs : D → Ds непрерывны).
Для гильбертовых многообразий основные теоремы дифференциального76Н. К. СМОЛЕНЦЕВисчисления верны. Результаты устанавливаются для Ds и затем переносятся на группу Ли—ФрешеD. Приведём основные положения подхода Омори.Определение 2.1. Топологическое векторное пространство E называется ILH-пространством,если E есть обратный предел гильбертовых пространств {E s }, занумерованных натуральнымичислами s d 0, причем E s+1 линейно и плотно вложено в E s . sE .Будем обозначать E = lim E s =←−sdОпределение 2.2. Топологическое пространство X называется C k -ILH-многообразием, моделируемым на E, если(a) X есть обратный предел C k -гладких гильбертовых многообразий {Xs }, моделируемых на{Es }, причем если l s, то Xl ⊂ Xs ;(b) для любой точки x ∈ X существуют открытые окрестности Us (x) точки x в Xs и гомеоморфизмы ψs окрестностей Us (x) на открытые подмножества Vs (x) ⊂ Es , которые задаютC k -координаты на каждом Xs в окрестности точки x, такие, что Ul (x) ⊂ Us (x) при l s иψs+1 (y) = ψs (y) для любой точки y ∈ Us+1 (x).Пространство X называется сильным C k -ILH-многообразием, если дополнительно к свойствам(a) и (b) выполняется свойство(c) обратный предел lim Us (x) есть открытая окрестность точки x в X.←−Пусть X — C k -ILH-многообразие k 1.
Касательное расслоение T X к X определяется какобратный предел касательных расслоений T X s .Определение 2.3. Пусть X, Y — C k -ILH-многообразия. Отображение ϕ : X −→ Y называется C k -ILH-дифференцируемым, если ϕ есть обратный предел C k -дифференцируемых отображений гильбертовых многообразий Xl и Ys , т.е.
если для любого s существует число l(s) и C k дифференцируемое отображение ϕs : Xl(s) −→ Ys , такое, что ϕs (x) = ϕs+1 (x), ∀x ∈ Xl(s+1) иϕ = lim← ϕs .C ∞ -гладкие ILH-многообразия будем называть просто ILH-многообразиями.Определение 2.4. Если X есть C k -ILH-многообразие для любого k 0, то X будем называтьILH-многообразием. Если отображение ϕ : X −→ Y C k -ILH-дифференцируемо для любого k 0,то ϕ будем называть ILH-дифференцируемым, или ILH-гладким.Обычными примерами ILH-многообразий являются пространства сечений гладких конечномерных расслоений π : E → M над M .Теорема 2.1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
