Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Гроиссера [116]. Информация по данной тематике имеется в книге А. Бессе [5] и обзореД. Блэра [63].Несмотря на значительный объем, не все работы удалось отразить в достаточной степени. Вчастности, совсем не рассмотрены группы диффеоморфизмов и пространства метрик в случаенекомпактного многообразия. Отметим только, что этому интересному направлению посвященыработы [95–99, 124, 124, 178, 179]. Поскольку используемые методы существенно отличаются отслучая компактного многообразия, данная тема для открытых многообразий заслуживает отдельного обзора.1.
РАЗЛОЖЕНИЕ БЕРЖЕ—ЭБИНАПусть (M, g) — гладкое (класса C ∞ ) замкнутое ориентируемое риманово многообразие размерности n с метрическим тензором g. Пусть E и F — гладкие векторные расслоения конечного ранганад M , снабженные гладкими скалярными произведениями (·, ·)E и (·, ·)F на слоях. СимволамиΓ(E) и Γ(F ) будем обозначать пространства всех гладких сечений расслоений E и F .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК71Рассмотрим дифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) порядка k. Для любого x ∈ M иt ∈ Tx∗ M символ σt (D) дифференциального оператора есть линейное отображение σt (D) : Ex →Fx слоев расслоений E и F , определенное следующим образом. Пусть f — дифференцируемаяфункция на M в окрестности точки x и такая, что f (x) = 0, df (x) = t, тогда для ξ ∈ Ex полагаем1σt (D)(ξ) = D(f k ξ)(x).k!Говорят, что дифференциальный оператор D имеет инъективный символ, если отображениеσt (D) : Ex → Fx инъективно для любого t = 0.Дифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) называется эллиптическим, если σt (D) : Ex →Fx является изоморфизмом для любого t = 0.Дифференциальный оператор D∗ : Γ(F ) → Γ(E) называется (формально) сопряженным к D,если для любого u ∈ Γ(E) и для любого v ∈ Γ(F ) имеет место равенство(Du, v)dμ = (u, D∗ v)dμg ,(1.1)MMdxnгде μg = (det gij∧ ··· ∧— риманов элемент объема метрики g на M .Как известно [19, § 4, гл.
4], для дифференциального оператора D порядка k всегда существуетединственный сопряженный оператор D∗ , который также имеет порядок k и)1/2 dx1σt (D∗ ) = (−1)k σt (D)∗ ,где σt (D)∗ — сопряженное отображение σt (D)∗ : Fx → Ex относительно скалярных произведенийв слоях Ex и Fx расслоений E и F .Приведем два примера. Пусть ∇ — ковариантная производная римановой связности метрики g.В локальных координатах x1 , . . . , xn на M пусть ∇i — ковариантная производная вдоль векторного поля ∂/∂xi . Пусть T M — касательное расслоение, T ∗ M — кокасательное расслоение и S2 M —расслоение симметричных 2-форм.
Скалярное произведение в слоях этих расслоений определяется римановой структурой g на M . Рассмотрим соответствующие пространства сечений: Γ(T M ) —пространство всех гладких векторных полей на M , S2 = Γ(S2 M ) — пространство всех гладкихсимметричных 2-форм на M . Эти пространства имеют естественные скалярные произведения,X, Y ∈ Γ(T M ),(1.2)(X, Y )g = g(X, Y )dμg ,(a, b)g =Mg(a, b)dμg =Mg ik g jl aij bkl dμg ,a, b ∈ S2 .(1.3)MПример 1.
Ковариантная дивергенция δg a симметричной 2-формы a на M есть дифференциальный оператор 1-го порядка,δg : S2 −→ Γ(T M ),(δg a)i = −∇j aij .Символ σt (δg ) : S2,x M → Tx M легко находится, σt (δg )(a) = −tj(1.4)aij .Пример 2. Дифференциальный оператор1αg (X) = LX g,(1.5)2где LX g — производная Ли метрического тензора g вдоль векторного поля X на M , LX g = ∇i Xj +∇j Xi . Символ σt (αg ) : Tx M → S2,x M имеет вид1σt (αg )(X) = (t ⊗ X + X ⊗ t),2где X — 1-форма, соответствующая вектору X относительно скалярного произведения g. Очевидно, что оператор αg имеет иньективный символ. Из теоремы Стокса сразу следует, что операторыαg и δg сопряжены [5]: для любых X ∈ Γ(T M ) и a ∈ S2 ,αg : Γ(T M ) −→ S2 ,(αg (X), a)g = (X, δg a)g .72Н.
К. СМОЛЕНЦЕВИнформацию о других дифференциальных операторах, используемых в геометрических исследованиях, можно найти в статье М. Берже и Д. Эбина [56], в книгах А. Бессе [4, доклад XVI]и [5, гл. 1.I] и в книге Р. Пале [19, гл. IV, § 6].В дальнейшем в качестве векторных расслоений E над M мы будем рассматривать расслоенияTqp M тензоров типа (p, q). Тогда пространство сечений Γ(E) = Γ(Tqp ) — это пространство всехгладких тензорных полей типа (p, q) на M . Метрика g на M определяет скалярное произведениена расслоениях Tqp M обычным образом. Тогда в пространстве Γ(E) тензорных полей типа (p, q)определено скалярное произведение. Если T и U — тензорные поля типа (p, q), то(1.6)(T, U )g = g(x) (T (x), U (x)) dμg (x),Mгдеj ...jl ...lg(x) (T (x), U (x)) = g i1 k1 .
. . g iq kq gj1 l1 . . . gjp lp Ti11...iqp (x)Uk11 ...kpq (x).Скалярное произведение (1.6) определяет в пространстве Γ(E) достаточно слабую топологиютипа L2 . Естественной топологией в пространстве Γ(E) гладких сечений является топология равномерной сходимости всех производных. Определим сначала C k -норму в пространстве Γ(E). Дляцелого неотрицательного числа k и тензорного поля T типа (p, q) положим|T |k =ksup ∇(i) T (x),i=0 x∈M(1.7)1/2где ∇(i) = ∇ ◦ · · · ◦ ∇ — i-я степень ковариантной производной и ∇(i) T (x) = (∇(i) T, ∇(i) T )g —норма тензора в точке x ∈ M .Обозначим через C k (E) пополнение пространства Γ(E) относительно топологии, определеннойнормой |T |k . Банахово пространство C k (E) состоит из тензорных полей класса C k . Во многихвопросах удобнее иметь гильбертовы пространства.
С этой целью определим на пространстве Γ(E)скалярные произведения, более сильные, чем (1.6). Пусть s — целое неотрицательное число и T иU — тензорные поля типа (p, q). Положимss (∇(i) T, ∇(i) U )g =g ∇(i) T, ∇(i) U dμg ,(1.8)(T, U )g,s =i=0i=0 Mгде (∇(i) T, ∇(i) U )g — скалярное произведение (1.6).Обозначим через H s (E) пополнение пространства Γ(E) относительно топологии, определеннойскалярным произведением (1.8). Пространство H s (E) называется пространством тензорных полейтипа (p, q) соболевского класса гладкости H s ; это гильбертово пространство. Обозначим через · s норму в этом пространстве.
В частности, при s = 0 пространство H 0 (E) есть пополнениепространства Γ(Tqp M ) относительно скалярного произведения (1.6). Подробное изложение этихконструкций содержится в гл. IX книги Р. Пале [19].При l s имеем, H l (E) ⊂ H s (E) и это вложение непрерывно.Очевидно, что C k (E) ⊂ H k (E). Противоположное включение устанавливает следующая теремавложения Соболева (ее доказательство можно найти в гл. X книги Р. Пале [19]).Теорема 1.1.
Если s n/2 + 1 + k, то H s (E) ⊂ C k (E) и отображение вложения H s (E) →C k (E) вполне непрерывно.Таким образом при s n/2 + 1 + k, каждое тензорное поле T соболевского класса H s можносчитать дифференцируемым класса C k . Дальнейшие ограничения на s связаны именно с необходимостью обеспечить соответствующий класс гладкости тензорным полям из пространства H s (E).В пространстве Γ(E) гладких тензорных полей типа (p, q) на M определим топологию семейством норм { · s , s 0}. Тогда Γ(E) является пространством Фреше. Можно показать, чтоопределенная таким образом топология на пространстве Γ(E) не зависит от выбора метрики gна M .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК73Теорема 1.2 (см. [203]). Пусть E и F векторные расслоения над M и f : E → F — C ∞ отображение, сохраняющее слои. Если s n/2 + 1, то отображение φ : H s (E) → H s (F ),определенное как φ(α) = f ◦ α, является отображением класса C ∞ .Напомним, что векторные расслоения E и F — это тензорные расслоения над M .
Поэтому гладкий диффеоморфизм η многообразия M определяет естественное (правое) действие η ∗ на расслоениях E и F . Пусть η ∗ : H s (E) → H s (F ) — соответствующее линейное отображение пространствсечений.Теорема 1.3 (Н. Коисо, [161]). Пусть E и F — векторные расслоения над M и r 0 — некоторое целое число. Пусть A ⊂ H r (E) есть открытое множество и φ : A → H r (F ) — C ∞ отображение, коммутирующее с каждым η ∗ . Для s r положим As = A ∩ H s (E). Тогдаφ(As ) ⊂ H s (E) и отображение φ|As : As → H s (F ) является C ∞ -отображением.Вернемся опять к дифференциальным операторам.
Хорошо известно, (см., например, [19]), чтодифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) порядка k продолжается единственным образом донепрерывного линейного отображенияDs : H s (E) → H s−k (F ).Имеет место следующий классический результат (см. [19, гл. XI]).Теорема 1.4. Если дифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) эллиптический порядка k,тогда справедливы утверждения:1) если Ds u ∈ H l (E) при l > s − k, то u ∈ H l+k (E);2) ядро Ker Ds оператора Ds является конечномерным замкнутым подпространством пространства Γ(E) гладких сечений;3) имеет место следующее разложение в прямую сумму замкнутых ортогональных относительно скалярного произведения (1.6) подпространств:∗;H s−k (F ) = Im Ds ⊕ Ker Ds−kв гладком случаеΓ(F ) = Im D ⊕ Ker D∗ .(1.9)(1.10)Ортогональное разложение типа (1.9) имеет место [56] и для дифференциальных операторов синъективным символом. Если дифференциальный оператор D : Γ(E) → Γ(F ) имеет инъективныйсимвол, то легко видеть, что оператор D∗ D : Γ(E) → Γ(E) является эллиптическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
