Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Действительно, дифференцируя (2.25) в направлении vY и учитывая и (3.13),имеем 2 K · φ(X) = 0.vY ln ρ Следовательно, 2 K = 0.(3.25)vX ln ρ А это в свою очередь приводит нас к (3.23), (3.24). Обратно, прологарифмировав (3.23), а затем продифференцировав полученное сперва в направлении vY , а потом в направлении hX, наосновании (2.25) и (3.24) получимhXvY (ln |ρ|) = h[hX, vY ](ln |ρ|),что, как легко видеть, равносильно (3.13).КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ63Лемма 3.2.
Пусть Φ и Φ̄ — два линейно независимых конциркулярных поля основного типана Vnr , тогдаK = K̄,vX ln |ρ| = vX ln |ρ̄| .(3.26a)(3.26b)Доказательство. Полагая в соотношениях (2.21), (2.22) X = F̄ и учитывая (2.22), (2.25), получаем(K − K̄) φ(X)φ̄(Y ) − φ(Y )φ̄(X) ,(3.27a)vX(ln |ρ|) − vX(ln |ρ̄|) g(Φ, Φ̄) = 0.(3.27b)Из (3.27a) в силу линейной независимости Φ и Φ̄ следует (3.26a). А из (3.27b) вытекает, что либоимеет место (3.26b), либо g(Φ, Φ̄) = 0. Но последнее невозможно, так как в противном случае,продифференцировав эти соотношения, на основании (2.1) мы получили бы, чтоρφ̄(X) + ρ̄φ(X) = 0,а это противоречит линейной независимости Φ и Φ̄.Непосредственно из (3.26a) и (3.26b) вытекает следующее утверждение.Следствие 3.1.
Если полуриманово пространство Vnr допускает специальное конциркулярное (соответственно SV -конциркулярное, L-конциркулярное, горизонтально сходящиеся, сходящиеся) векторное поле, то любое конциркулярное векторное поле на Vnr является специальным (соответственно SV -конциркулярным, L-конциркулярным, горизонтально сходящимся,сходящимся).Теорема 3.1. Если Vnr допускает два линейно независимых конциркулярных поля Φ и Φ̄основного типа, тогда они оба являются L-конциркулярными.Доказательство.
Действительно, дифференцируя (3.26b) в направлении hY и учитывая (3.3),имеем 2 K̄ K · φ(Y ) = vX ln 2 · φ̄(Y ).vX ln ρρ̄Отсюда в силу линейной независимости Φ и Φ̄ получаем 2 K = 0,(3.28a)vX ln ρ K̄ vX ln 2 = 0.(3.28b)ρ̄Следовательно, на основании леммы 3.1 поля Φ и Φ̄ являются L-конциркулярными.Теорема 3.2. Если Vnr допускает два линейно независимых P -конциркулярных поля Φ и Φ̄основного типа, тогда они оба являются специальными.Доказательство. Из условий интегрируемости уравнений (2.25) следует(∇ρ)(v[hX, hY ]) = hX(K) · φ(Y ) − hY (K) · φ(X).(3.29)Полагая в этих соотношениях Y = Φ, на основании (3.4) имеемg(Φ, Φ) · hX(K) − Φ(K) · φ(X) = 0.(3.30)Так как Φ не изотропно, то из (3.5) следуетhX(K) = σφ(X),где σ =(3.31)Φ(K). Аналогичным образом получаемg(Φ, Φ)hX(K) = σ̄ φ̄(X).(3.32)64И.
Г. ШАНДРАВ силу линейной независимости Φ и Φ̄ условия (3.31), (3.32) дают нам σ = σ̄ = 0. Следовательно,hX(K) = 0. А это говорит о том, что Φ и Φ̄ — специальные конциркулярные поля.Теорема 3.3. Пусть Vnr допускает m(> 1) линейно независимых P -конциркулярных полейm1основного типа Φ, . .
. , Φ, тогда1) для всех α, β = 1, . . . , m имеемα ββαhX(ρ · ρ − Kg(Φ, Φ)) = 0;2) для всех α, β = 1, . . . , m имеемX(sign(K)βα(3.33)α βf · f − g(Φ, Φ)) = 0;(3.34)3) Vnr допускает группу изометрических преобразований, порядок которой не ниже, чемm(m − 1)/2 и группу конформных преобразований, порядок которой не ниже, чемm(m + 1)/2.Доказательство. Пусть выполнены условия утверждения, тогда на основании теорем 3.1 и 3.21mполя Φ, . . . , Φ являются специальными и L-конциркулярными. Следовательно,(3.35a)hX(K) = 0,ααhX(ρ) =Kf∀α.(3.35b)1) В справедливости (3.33) легко убедится путем прямых вычислений с учетом(2.1), (3.10).αβαβα β2) Подставляя в (3.33) выражения для ρ и ρ и учитывая, что функции sign(K) f · f − g(Φ, Φ)в силу (2.1b), (3.24) являются интегралами вертикального распределения, мы приходим к (3.34).3) Рассмотрим два возможных случая.I.
Все конциркулярные векторные поля на Vnr являются горизонтально сходящимися. Следоваαтельно, hX(ρ) = 0 для всех α. Принимая это во внимание, из (3.26b) получаемαα(3.36)ρ = Cν,αгде C = const, vX(ν) = 0. На основании этих соотношений легко убедиться в том, что векторαββ αC Φ − C Φ является ковариантно постоянным. Поэтому базис пространства Con(Vnr ) мы можем12mвыбрать таким образом, что Φ будет горизонтально сходящимися, а Φ, . .
. , Φ — ковариантно постоянными. Тогда каждый из векторовαβ1β1 α1βαX = (ρ)−1 (g(Φ, Φ) · Φ − g(Φ, Φ) · Φ),α, β = 1, . . . , m, α = β,(3.37)определяет инфинитезимальное изометрическое преобразование Vnr , а каждый из векторовα1αX = (ρ)−1 Φ,α = 1, . .
. , m,(3.38)определяет инфинитезимальное конформное преобразование Vnr .II. Все конциркулярные векторные поля на Vnr отличны от горизонтально сходящихся. Из (3.10),(3.23) вытекает, чтоααX( |f |) = |K| · g(Φ, X) = 0.(3.39)Принимая это во внимания, нетрудно установить, что каждый из векторовβαββααX = |f | · Φ − |f | · Φ, α, β = 1, . .
. , m; α = β,(3.40)КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ65определяет инфинитезимальное изометрическое преобразование Vnr , а каждый из векторовα1 αX=Φ,|K|α = 1, . . . , m.(3.41)определяет инфинитезимальное конформное преобразование Vnr .4. КАНОНИЧЕСКАЯФОРМА МЕТРИКИ И ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПРОЕКТОРА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ,ДОПУСКАЮЩИХSH -КОНЦИРКУЛЯРНЫЕВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ4.1.Пусть Φi и Φi — соответственно контравариантные и ковариантные компоненты SHконциркулярного поле основного типа в некоторой системе координат (xi ) на Vnr .
Мы будем предполагать, что система координат выбрана таким образом, что(4.1a)x1 = g(Φ, Φ),12x =u ,...,nnx =u ,(4.1b)где u2 , . . . , un являются функционально независимыми решениями уравнения Φi ∂ i u = 0. Тогда,вследствие (1.17), (2.21) в этой системе координат компоненты SH-конциркулярного поля, метрического тензора и горизонтального проектора приведутся к виду:δi1,2ρΦi = 2ρ · δ1i ;(4.2a)Φi =(4.2b)(4x1 · ρ2 )−1 0;gij =0gαβ1 0, α, β = 2, . . .
, n.hij =0 hβα(4.3)(4.4)Данная система координат, как нетрудно видеть, определена с точностью до преобразований видаx̂1 = f (x1 ),x̂α = f α (xβ ),α, β = 2, . . . , n.(4.5)Координатная форма уравнений (2.1b) может быть записана в следующем эквивалентном виде:∂i Φj − Γtij Φt = ρ · gij ,где, как это следует из (1.14),2Γkij = g kt ∂i gjt + hlj ∂l git − hlt ∂l gij + gtl ∂i hlj − gtj ∂i hlt + gli (∂k hlt − ∂j hkt ) .(4.6)(4.7)Подставляя в (4.6) выражение для Φi из (4.2a), находим−δi1 · ∂i ρ Γ1ij= ρ · gij .−ρ22ρРассматривая эти уравнения при i = 1, j = 1 и i = α > 1, j = 1, убеждаемся, что при онивыполняются тождественно в силу (4.2)–(4.4), а при i = 1, j = β > 1 и i = α > 1, j = β мыполучаем соответственноhαβ ∂α ρ = 0,(4.8a)gαγ ∂1 hγβ(4.8b)x ∂1 gαβ −1= ρ · gαβ .Проальтернировав (4.8b) по α и β, находимgαγ ∂1 hγβ − gβγ ∂1 hγα .(4.9)Свернув (4.9) с hαμ по α, в силу (1.17a) имеемgμγ ∂1 hγβ = 0.(4.10)66И.
Г. ШАНДРАВследствие этого уравнения (4.9) принимают вид:x1 ∂1 gαβ = ρ · gαβ .(4.11)Отсюда вытекает, чтоgαβ = x1 g̃αβ (x2 , . . . , xn ), α, β = 1, . . . , m.Так как Φ является SH-конциркулярным полем, то из (3.1) на основании (4.2b) следует,hαβ ∂1 hβγ = 0,(4.12)α, β, γ = 1, . . . , m.(4.13)β, γ = 1, .
. . , m.(4.14)Эти соотношения в совокупности с (4.10) дают∂1 hβγ = 0,(hαβ (xγ ); gαβ (xγ ))можно интерпретировать как компоненты некоторой HRТаким образом,r−1.структуры полуриманова пространства Vn−1Обратимся теперь к уравнениям (4.7). Возможны два случая.I. Φ является S-конциркулярным полем. Это в силу (3.20) равносильно тому, что в даннойсистеме координат(4.15)vij ∂j ρ = 0.На основании этих условий из (4.7) вытекает, что∂α ρ = 0,(4.16)α = 1, . . .
, m,т.е. ρ = ρ(x1 ).II. Φ не является S-конциркулярным полем. Тогда наряду с ρ = x1 система (4.8a) допускаетk1еще k, k n − r, функционально независимых решений m, . . . , m. Так как коэффициенты припроизводных в уравнениях (4.8a) не зависят от x1 , эти решения могут быть выбраны так, чтобыони не зависели от x1 . Поэтому в данной системе координат, которая выбрана с точностью додопустимых преобразований (4.5), мы можем считать, что1xn−k+1 = m,...,kxn = m.(4.17)На основании чего из (1.17b), (4.8a) и (4.12) мы получаемρ = ρ(x1 , xn−k+1 , .
. . , xn ),⎞⎛1 00hij = ⎝0 hIJ hIμ ⎠ ,0 00⎞(4x1 · ρ2 )−100⎠,0x1 g̃IJx1 g̃IA hAgij = ⎝μ1A1B0x g̃AJ hν x g̃AB hν⎛(4.18)(4.19)(4.20)где индексы I, J, A, B изменяются от 2 до n − k; μ, ν — от n − k + 1 до n; а g̃IJ , hIν , hIJ —произвольные функции от x2 , . . . , xn такие, чтоrk gIJ = rk hIJ = r − 1,(4.21)gIJ = gJI = gIA hAJ,(4.22)IIhAJ hA = hJ ,(4.23a)JhJA hAμ = hμ .(4.23b)Обратно, непосредственными вычислениями нетрудно убедится в том, что, если в некоторой системе координат на Vnr компоненты метрического тензора gij и горизонтального проектора hij задаютсясоотношениями (4.3), (4.4), (4.12), (4.14), (4.16) (или соответственно (4.18)–(4.23)), то вектор, определенный в данной системе координат по формуле (4.2b) (где ρ = 0), является S-конциркулярным(соответственно, SH-конциркулярным, отличным от S-конциркулярного) полем.КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ67Итак, доказана следующая теорема.Теорема 4.1.
Полуриманово пространство Vnr допускает SH-конциркулярное поле основного типа тогда и только тогда, когда на нем может быть выбрана система координат, в которой компоненты метрического тензора gij и горизонтального проектора hij удовлетворяютсоотношениям (4.3), (4.4), (4.12), (4.14), (4.16) (в случае, когда Φ является S-конциркулярным)или соотношениям (4.18)–(4.23) (в случае, когда Φ является SH-конциркулярным, отличнымот S-конциркулярного).Замечание 4.1. Каноническая форма метрика полуриманова пространства Vnr , допускающегоS-конциркулярное поле основного типа, может быть еще более детализирована. Действительно,всистеме координат, указанной в теореме 4.1, компонента g11 метрического тензора в силу (4.3),(4.16) есть функция лишь только одной переменной x1 .
Поэтому после допустимого преобразования 1x̃ =|g11 |dx1 , x̃α = xα , α = 2, . . . n,компоненты метрического тензора приведутся к видуa0, α, β, γ = 2, . . . n,gij =0 σ(x̃1 )g̃αβ (x̃γ )(4.24)где s(x̃1 ) = const — некоторая функция переменной x̃1 , a = ±1. Нетрудно показать, что условия (4.21) в совокупности с (4.4), (4.14) являются достаточными для существования на Vnr Sконциркулярного поля основного типа. Отметим, что к виду (4.21) приводится метрика любогопсевдориманова пространства, допускающего конциркулярное поле основного типа [4, 12].Пример 4.1. Приведем теперь пример полуриманова пространства Vnr , допускающего ровно kлинейно независимых конциркулярных полей.
Пусть основная метрическая форма и горизонтальный проектор этого пространства в некоторой системе координат имеет соответственно видds2 = (dx1 )2 + (x1 )2 (dx2 )2 + · · · + (dxk )2 ++ exp(2xr+1 ) (dxk+1 )2 + · · · + (dxr )2 , 2 k r − 1 (4.25)hij =δj̃ĩ00,0(4.26)ĩ, j̃ = 1, . . .
, r.Вычислив в этой системе координат по формуле (4.7) с учетом (4.25), (4.26) компоненты псевдосвязности Леви-Чивита, получаем, что ненулевыми будут лишь блокиδĵî, Γ1îĵ = −x1 gîJˆ, Γαβr+1 = δβα , î, ĵ = 2, . . . , r,x1Рассмотрим в данной системе координат ковекторыΓîĵ1=1Φi = x1 δji ,2Φi = x1 δ1i + δ12 ,α, β = k + 1, . .
. r.k...,Φi = x1 δ1i + δ12 .(4.27)(4.28)Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что эти ковекторы горизонтальны удовлетворяют соотношениям (3.19), (4.6), следовательно, являются SV -конциркулярными полями основноготипа. Очевидно, что они линейно независимы. Покажем, что данное пространство не допускаетдругих конциркулярных полей, линейно независимых с данными. Предположим противное. Пустьk+1Φi — компоненты1k1kконциркулярного поля основного типа линейно независимого с Φ, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
