Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Введенные матрицысвязаны равенствами11dΨ0 = Ω0 Ψ0 , dΨ1 = (Ω1 Ψ0 + Ω0 Ψ1 ) .22Легко проверяется справедливость разложенийΩ0 = i(ω̄2 σ1 − ω̄1 σ2 + ω3 σ3 ),Ω1 = −i(ω1 σ1 + ω2 σ2 ),где ωi — формы, определяющие псевдосферическую метрику в чебышевских координатах, а 1формы ω̄1 , ω̄2 определяются равенствамиzzω̄1 = sin (du + dv), ω̄2 = cos (du − dv).22Геометрический смысл форм ω̄1 , ω̄2 это формы, обозначенные выше соответственно через ω31 иω32 , если (u, v) — асимптотические чебышевские координаты; т.е. эти формы определяют внешнююгеометрию псевдосферической поверхности.Каждому вектору x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ E3 поставим в соответствие (2 × 2)-матрицу X = −i(x1 σ1 +x2 σ2 + x3 σ3 ).
Это соответствие переносит на множество матрицdefM = − i(x1 σ1 + x2 σ2 + x3 σ3 ) x1 , x2 , x3 ∈ RУРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ45структуру линейного пространства над R. Скалярное произведение на M введем, положивX, Y = − 12 tr(XY ). Такое скалярное произведение на M согласовано со скалярным произведением в E3 , так что евклидовы пространства M и E3 изоморфны.
Кроме этого на M можно ввести«векторное произведение», согласованное с векторным произведением в E3 : X × Y = XY − EXY ,где E — единичная матрица.Обозначим через R матрицу, соответствующую радиус-вектору псевдосферической поверхностиΦ[z] (в асимптотических чебышеских координатах), а через N — матрицу, соответствующую еевектору нормали. А. И. Бобенко [44] доказал следующее утверждение.Теорема 3.4. Справедливы следующие выражения для матриц R(u, v) и N (u, v) через решение Ψ(u, v) уравнений (3.44):R = 2Ψ−10 Ψ1 ,N = −iΨ−10 σ3 Ψ0 .(3.45)Доказательство.
Сначала докажем обратимость матрицы Ψ(u, v). Не умаляя общности, можемсчитать, что Ψ(u0 , v0 ) = E в некоторой точке (u0 , v0 ). Определим матрицу Ψ−1 (u, v) уравнением1dΨ−1 = − Ψ−1 Ω,2Ψ−1 (u0 , v0 ) = E.Тогдаd(Ψ−1 Ψ) = dΨ−1 · Ψ + Ψ−1 dΨ = 0и потому Ψ−1 (u, v)Ψ(u, v) ≡ E. Вычисляем дифференциалы−1−1−1dR = 2d(Ψ−10 Ψ1 ) = −2Ψ0 dΨ0 · Ψ0 Ψ1 + 2Ψ0 dΨ1 =−1= Ψ−10 Ω1 Ψ0 = −iΨ0 (ω1 σ1 + ω2 σ2 ) Ψ0 ,−1−1−1dN = −id(Ψ−10 σ3 Ψ0 ) = iΨ0 dΨ0 · Ψ0 σ3 Ψ0 − iΨ0 σ3 dΨ0 =i= Ψ−1(Ω0 σ3 − σ3 Ω0 ) Ψ0 = iΨ−10 (ω̄1 σ1 + ω̄2 σ2 ) Ψ0 .2 0Легко видеть, что N, N = 1, N, dR = 0, dR, dR = ω12 + ω22 и dR, dN = ω1 ω̄1 + ω2 ω̄2 – что итребовалось.Отметим, что уравнения (3.44) здесь выполняют роль деривационных формул, а условие согласования (3.42) — формул Петерсона—Кодацци и Гаусса.Первая из формул (3.45) была выведена А. Симом в [59] и получила название формулы Сима.Заметим, что формула того же вида, но с другими матрицами U и V в определении Ψ, справедлива [44, 48, 59] не только для псевдосферических поверхностей, но так же для поверхностейпостоянной гауссовой кривизны любого знака, поверхностей постоянной средней кривизны и т.
д.Я. Кислинский [47] получил далеко идущее обобщение этой формулы для n-мерных многообразийпостоянной отрицательной секционной кривизны в E2n−1 .3.7. Классические псевдосферические поверхности. Речь пойдет о некоторых известных классах псевдосферических поверхностей. В первую очередь — это винтовые псевдосферические поверхности и в частности псевдосферические поверхности вращения, которые были исследованыЕ. Бельтрами [42] и Ф.
Миндингом в середине 19 в. Далее, поверхность Амслера — поверхность, или, точнее, класс поверхностей, соответствующих автомодельным решениям уравненияsin-Гордона, зависящим от произведения переменных. Наконец, поверхности, соответствующиедвухсолитонным решениям уравнения sin-Гордона.3.7.1. Винтовые псевдосферические поверхности. Исследуем псевдосферические поверхности,определяемые уравнениями видаr(h, ϕ) = (ρ(h) cos ϕ, ρ(h) sin ϕ, k1 ϕ + k2 h) .(3.46)46А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙБудем отсчитывать угол ϕ так, чтобы коэффициент k1 был положительным.
Вычисляем первую ивторую квадратичные формы:Q(ϕ, h; dϕ, dh) = (ρ2 + k1 )dϕ2 + 2k1 k2 dϕdh + (ρ + k2 )dh2 ,2B(ϕ, h; dϕ, dh) = k2 ρ2 dϕ2 − 2k1 ρ dϕdh − k2 ρρ dh2 .2Вычисляем гауссову кривизну и полагаем ее равной −1:−k22 ρ3 ρ − k1 ρ 4= −1.(ρ2 + k1 )ρ 2 + k2 ρ2Мы получили уравнение второго порядка, не содержащее в явной форме независимой переменной;поэтому можем его один раз проинтегрировать, воспользовавшись известным приемом:k22 ρ2 (1 − C12 ) + ρ22.(3.47)ρ (h) =(C12 − 1)k12 + (C12 − k12 )ρ2 − ρ4Обратим внимание на то, что дискриминант биквадратного выражения в знаменателе должен бытьположительным — в противном случае вся дробь в правой части отрицательна при всех (кроменуля) значениях ρ.Исследуем ребро винтовой поверхности.
Оно является винтовой линией (в силу симметриисамой поверхности), поэтому его кривизна и кручение определяются формулами:k1ρ0; κ= 2,(3.48)k= 22ρ0 + k1ρ0 + k12где ρ0 — значение ρ, при котором знаменатель в выражении (3.47) обращается в нуль, а числитель — нет (поэтому ρ0 не может быть нулем). Т.е ρ0 — отличный от нуля корень алгебраическогоуравнения(3.49)ρ4 − (C12 − k12 )ρ2 − (C12 − 1)k12 = 0,дискриминант которого обязательно строго больше нуля (см. замечание после формулы (3.47)).±222Это уравнение имеет один корень ρ+0 при C1 1 и два корня ρ0 при 1 > C1 > k1 :2 1±222222(3.50)C1 − k1 ± (C1 + k1 ) − 4k1 .ρ0 =2Обозначим через k± и κ± кривизну и кручение соответствующего ребра, определенные для даннойвинтовой поверхности по формуле (3.48).Различаем шесть случаев: (k1 = 0, C12 = 1) — псевдосфера, (k1 = 0, C12 < 1) — «фонарики»,(k1 = 0, C12 > 1) — «катушки», (k1 = 0, C12 = 1), (k1 = 0, C12 < 1), (k1 = 0, C12 > 1).
Первыетри поверхности были известны еще Е. Бельтрами [42]. Для четвертой поверхности А. Г. Попов[27] предложил метод точного интегрирования системы деривационных уравнений. Первые четыреповерхности построены тем же методом С. А. Зададаевым [11].В работе [11] для некоторых решений уравнения sin-Гордона типа бегущих волн проинтегрирована система деривационных уравнений Гаусса—Вейнгартена и получено явное выражение длярадиус-вектора поверхности:r(u, v) = (R(u, v) cos φ(u, v), R(u, v) sin φ(u, v), H(u, v)) .Функции R(u, v), φ(u, v), H(u, v) определяются формулами√zC2 + 12 2sin ; φ =(u − v);R= a b √22C2 + 1b +a√12u+v+ √cos z(x)dxH=a b √abC2 + 1b +a(3.51)УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ47где (i) σ = 1, C2 = 1 или (ii) a = b (при этом σ = 1 и поэтому необходимо C2 > −1).
В случае (i)уравнение (3.51) определяет псевдосферу при a = b и поверхность Дини при a = b. В случае (ii) —«фонарики» при −1 < C2 < 1 и «катушки» при C2 > 1.Докажем, что винтовые поверхности — это в точности те поверхности, которые соответствуютрешениям типа бегущих волн. Заметим, что кривизна (k) и кручение (κ) ребра поверхности,определенной уравнением (3.46), постоянны и принимают все возможные значения (кроме k = 0).Действительно, пусть заданы числа k = 0 и κ.
Тогда получаем из (3.48), (3.49):ρ(h0 ) =k,2k + κ2k1 =κ,2k + κ2C12 =κ 2 (k 2 + κ 2 ) + k 2,(k 2 + κ 2 )2(3.52)т.е. ребра поверхности, соответствующей определенным в (3.52) значениям k1 и C12 , имеют напередзаданные кривизну и кручение. С другой стороны, сетевой угол z этой поверхности находится какединственное решение задачи Коши для уравнения sin-Гордона с начальными данными, определяемыми из формул (3.13):2kκ+1на прямой v = (−1)n+1u.(3.53)zu = (−1)n+1κ−1κ−1Случай κ = ±1 из рассмотрения исключается, т.к. при этом дискриминант биквадратного уравнения (3.49) равен нулю (см. замечание после формулы (3.47)).Взаимно-однозначное соответствие между винтовыми поверхностями и решениями типа бегущих волн уравнения sin-Гордона можно наглядно представить такой схемой:(винтовая поверхность) ←→ (кривизна и кручение ребра) ←→←→ (значение zu на прямой из (3.53)) ←→ (решение z задачи Коши,(3.54)которое в силу теоремы единственности зависит от линейной комбинации переменных).3.7.2.
Поверхности Амслера. Рассмотрим уравнение sin-Гордона от автомодельной переменнойt = uv:(3.55)tz + z − sin z = 0.Амслер в 1950-х годах исследовал решение уравнения (3.55), регулярное в нуле и удовлетворяющееначальному условию z(0) = π/2. При этом, в силу симметрии полученной задачи, z(t) + z(−t) = π.Можно показать, что при t ∈ [−1,862 .
. . , 1,862 . . .] функция z(t) монотонно возрастает, причемz(−1,862 . . .) = 0, z(1,862 . . .) = π. Этот фрагмент поверхности Φ[z] для z, меняющегося от 0 доπ, построен Амслером в [40] методом последовательного «набора» из асимптотических линий v =const. Амслер получает для вектора нормали поверхности n на асимптотической линии v = constуравнениеn − zu [n n] + n = 0,где штрих обозначает производную по u, и решает его численно. Это уравнение следует из формулФрене для поверхностной полосы (3.2), связанной с асимптотической линией (kg = −zu , kn = 0,κg = 1; см.
(3.11)), и из формулы l = [mn]. Затем по формуле l = −[n n] находится направляющийвектор, а из него, интегрированием по u — радиус-вектор асимптотической (поскольку u являетсяестественной координатой на асимптотической v = const).Отметим работу А. И. Бобенко и А. В. Китаева [45], в которой поверхность Амслера исследованас помощью метода обратной задачи, и работу Т. Хоффмана [54], в которой исследован дискретныйаналог поверхности Амслера.Называем поверхностью Амслера любую поверхность Φ[z], где z удовлетворяет уравнению(3.55) при t ∈ (0, +∞).
Регулярной поверхностью Амслера называем поверхность, соответствующую решению z(t), непрерывному в нуле.Докажем (см. [43]), что поверхность Амслера содержит две пересекающиеся прямые линии иэто свойство полностью определяет ее в классе всех псевдосферических поверхностей.Пусть отображение r принадлежит классу C 3 в окрестности множества {(u, v) : uv = 0}. Тогдаиз первого и третьего уравнения системы (3.9) получим, чтоruu (u, 0) = 0,rvv (0, v) = 0,48А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙпоэтомуr(0, v) = vrv (0, 0), r(u, 0) = uru (0, 0),т.е.
регулярная поверхность Амслера содержит две пересекающиеся прямые. Далее, если поверхность (произвольная) содержит прямую, то эта прямая является асимптотической линией. Действительно, исследуем вторую квадратичную форму поверхности в произвольной точке этой прямой.Второй дифференциал d2 r, будучи квадратичной формой от дифференциалов координат (du, dv),обращается в нуль в направлении du : dv, определяемом прямой. Поэтому в этом направленииобращается в нуль и вторая квадратичная форма поверхности, поскольку B(u, v; du, dv) = (d2 r, n).Следовательно, это направление является асимптотическим.
Без ущерба для общности можем считать, что одна из пересекающихся прямых — это асимптотическая линия u = 0, а другая — v = 0.Поскольку, с одной стороны, геодезическая кривизна асимптотической линии равна по модулю ее(полной) кривизне и равна нулю для прямой, а с другой стороны, геодезическая кривизна длялинии u = 0 равна zv (0, v), а для линии v = 0 равна −zu (u, 0), то получаем z(0, v) = const иz(u, 0) = const при всех u, v. Следовательно, z(0, v) = z(u, 0) = z(0, 0). Но это — начальные данныезадачи Гурса для уравнения sin-Гордона. В силу единственности решения задачи Гурса, соответствующим решением уравнения sin-Гордона является z(uv), где z(t) — решение автомодельногоуравнения (3.55) с начальным условием z(0) = z(0, 0). Утверждение доказано.Рассмотрим уравнения Френе для основного триэдра асимптотической полосы (v0 ):⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞0−v0 z (uv0 ) 0ll⎝m⎠ = ⎝v0 z (uv0 )01⎠ ⎝m⎠ ,0−10nn uи полосы, связанной с ребром возврата поверхности Амслера, соответствующим значению z(t∗ ) =π(2n + 1) и z (t∗ ) = q:⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞0t∗ qu−10ll⎝m⎠ = ⎝−t∗ qu−101 − t∗ u−2 ⎠ ⎝m⎠ .nn u0−1 + t∗ u−20Здесь l — вектор касательной к базовой линии полосы, n — вектор нормали к поверхности и m —вектор геодезической нормали поверхностной полосы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
