Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таким образом, на любой псевдосферической поверхности могут быть введены чебышевские координаты, получающиеся масштабным преобразованием (3.6). Функция z(u, v) не можетбыть выбрана произвольно: она должна удовлетворять уравнению Гаусса, которое в этом случаепринимает вид уравнения sin-Гордона:zuv = sin z.Q(u, v; du, dv) = du2 + 2 cos z(u, v)dudv + dv 2 ,3.2.2.
Чебышевские сети. Отметим, что если первая квадратичная форма поверхности в некоторых координатах имеет вид (3.7), то коэффициенты ее второй квадратичной формы должныудовлетворять уравнениям Петерсона—Кодацци и условию K = −1:⎧⎪⎨2(Lv − Mu ) sin z + (M cos z − 2N )zu = 0,(3.8)2(Nu − Mv ) sin z + (M cos z − 2L)zv = 0,⎪⎩22LN − M = − sin z.Если мы строим решение этой системы при условии L = N = 0 (т.е. если координатная сеть —асимптотическая), то получаем M = sin z. Но в общем случае решение системы (3.8) определяетсяс большим произволом. Ниже мы покажем, что любые две пересекающиеся линии на поверхностимогут быть включены в локальную чебышевскую сеть (u, v) (в односвязной окрестности точкипересечения) с некоторым z(u, v), зависящим от геодезических кривизн этих линий и от угла,под которым они пересекаются.
Более того, на любой фиксированной псевдосферической поверхности для любого фиксированного решения z(u, v) уравнения sin-Гордона существует локальнаячебышевская сеть (u, v), для которой функция z(u, v) — сетевой угол.Чтобы получить радиус-вектор поверхности в асимптотических чебышевских координатах сзаданным сетевым углом z(u, v), необходимо проинтегрировать систему деривационных формулruu = zu nu , ruv = n sin z, rvv = zv nv ,nu = ru ctg z − rv cosec z, nv = −ru cosec z + rv ctg z.(3.9)Из анализа взаиморасположения векторов ru , rv , n в пространстве следуют формулы:[ru rv ] = n sin z,[ru n] = ru ctg z − rv cosec z,[rv n] = ru cosec z − rv ctg z.(3.10)Обратимся к вычислению геодезической кривизны, нормальной кривизны и геодезического кручения асимптотических линий v = v0 и u = u0 .Рассмотрим линию v = v0 .
Ее радиус-вектор R(u) = r(u, v0 ). Очевидно, Ru = ru , Ruu = ruu ,Ruuu = ruuu . Имеем:[Ru Ruu ] = −zu n,(Ru Ruu n) = −zu ,(Ru Ruu Ruuu ) = −zu (nruuu ) = −zu (nruu ) + zu (nu ruu ) = zu2поэтому, согласно (3.3), нормальная кривизна асимптотической линии равна нулю, а ее геодезическая кривизна и кручение (которые в этом случае по модулю совпадают с обычными кривизной икручением) определяются следующим образом:kg = −zu ,κ = 1.(3.11)УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ31Поскольку |ru | = 1, то длина отрезка асимптотической линии v = v0 равна изменению u на нем:s = u.Аналогичным образом получаем для асимптотической другого семейства u = u0 :kg = zv ,κ = −1.(3.12)Покажем, следуя [24], каким образом любые две пересекающиеся гладкие линии на псевдосферической поверхности могут быть включены в локальную чебышевскую сеть (u, v) с некоторым z(u, v).Для этого рассмотрим такую односвязную окрестность их точки пересечения, в которой онибольше не пересекаются.
Естественные параметры линий, отсчитываемые от точки пересечения(1)(2)обозначим u и v. Геодезические кривизны линий обозначим kg (u) и kg (v), а угол, который ониобразуют, как z(0, 0). Предположим, что на поверхности введены чебышевские (но не обязательноасимптотические) координаты (u, v) с углом z(u, v), подлежащим определению из условия, чтопервая линия задается уравнением v = 0, а вторая — уравнением u = 0.
Геодезическая кривизналинии на поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности, и значит для первойкривой определяется выражением (3.11), а для второй — (3.12):kg(1) (u) = −zu ,kg(2) (v) = zv .Определим z(u, v) как решение задачи Гурса:⎧zuv = sin z,⎪⎪⎪⎪,v (2)⎨z(0, v) = z(0, 0) + kg (η)dη,0⎪⎪,u⎪⎪⎩z(u, 0) = z(0, 0) − kg(1) (ξ)dξ.0Для завершения доказательства необходимо построить чебышевскую сеть с сетевым углом, удовлетворяющим сформулированной выше задаче Гурса. С этой целью заметим, что из данной точки поверхности в заданном направлении проходит единственная линия с заданной геодезическойкривизной. Геодезические кривизны линий u = u0 и v = v0 известны, они соответственно равныzv (u0 , v) и −zu (u, v0 ), а направления в точках (u0 , 0) и (0, v0 ) задаются по известным углам z(u0 , 0)и z(0, v0 ).В свете сказанного представляет большой интерес, во-первых, выяснение необходимых и достаточных условий на область плоскости Лобачевского, обеспечивающих существование в этойобласти регулярной чебышевской сети.
Во-вторых, условий на две гладкие пересекающиеся линии на плоскости Лобачевского (псевдосферической поверхности), при которых они могут бытьвключены в чебышевскую сеть. Этим вопросам посвящены работы Э. Г. Позняка [24] и Ч. Висслера [61].Рассмотрим сетевой четырехугольник ABCD чебышевской (не обязательно асимптотической)сети (u, v). Будем предполагать, что контур ABCD ограничивает односвязную область с площадьюS. Через ∠A и т.
д. обозначаем внутренние углы четырехугольника ABCD. Тогда из известнойформулы Гаусса—Бонне следует формула Хацидакиса [2]S = ∠A + ∠B + ∠C + ∠D − 2π = z(A) − z(B) + z(C) − z(D).На основании этой формулы также может быть выведена [2] теорема 1.1 Гильберта о невозможности регулярного изометрического погружения полной плоскости Лобачевского Λ2 в E3 . Дальнейшие результаты, обобщающие теорему Гильберта, рассмотрены в обзоре Н. В. Ефимова [10].3.2.3. Поверхность с заданным сетевым углом.
Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сети может быть «склеена» из своих асимптотическихлиний. Пусть на плоскости (u, v) задан прямоугольник Π = [u1 , u2 ]×[v1 , v2 ] (возможно бесконечнаяили полубесконечная полоса или даже вся плоскость — бесконечно удаленные точки не включаются), в котором определено решение z(u, v) уравнения sin-Гордона и z ∈ C 4 (Π). Пусть, кроме32А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙэтого, задана некоторая точка (u0 , v0 ) в прямоугольнике (внутри или на границе) и правая ортогональная тройка векторов (e1 , e2 , e3 ).
Нам будет удобна следующая формулировка теоремы 1.2Э. Г. Позняка.Теорема 3.1. При сформулированных выше условиях в прямоугольнике Π существует единственная вектор-функция r : Π → E3 , r ∈ C 3 (Π), определяющая псевдосферическую поверхность, для которой (u, v) — асимптотические чебышевские координаты с сетевым угломz(u, v) иru (u0 , v0 ) = e1 ,rv (u0 , v0 ) = cos z(u0 , v0 )e1 + sin z(u0 , v0 )e2 ,n(u0 v0 ) = e3 .Особенности поверхности соответствуют линиям уровня z(u, v) = πn.Доказательство.
Основной триэдр асимптотической линии v = v0 строится как единственноерешение системы уравнений Френе⎛ (v ) ⎞⎞ ⎛ (v ) ⎞⎛⎛ ⎞⎛ (v ) ⎞l 0l 0l 00 −zu 0e1⎝m(v0 ) ⎠ = ⎝zu01⎠ ⎝m(v0 ) ⎠ , ⎝m(v0 ) ⎠= ⎝e2 ⎠ .e30 −1 0n(v0 ) un(v0 )n(v0 ) u=u0Ее радиус-вектор находится интегрированием:ul(v0 ) (ξ)dξ.r(u, v0 ) =u0Зафиксируем эту линию. Через каждую ее точку проходит асимптотическая другого семейства,основной триэдр которой определяется из системы⎛⎞ ⎛ (u) ⎞⎛ (u) ⎞ll0zv 0⎝m(u) ⎠ = ⎝−zv 0 −1⎠ ⎝m(u) ⎠010n(u) vn(u)с начальными условиями⎞⎛⎞ ⎛ (v )⎛ (u) ⎞0 (u)ll)sinz(u,v)0cosz(u,v00⎝m(u) ⎠= ⎝− sin z(u, v0 ) cos z(u, v0 ) 0⎠ ⎝m(v0 ) (u)⎠ .(u)001nn(v0 ) (u)v=v0Матричный коэффициент в правой части задает поворот на угол z(u, v0 ) в плоскости векторовl(v0 ) (u), m(v0 ) (u). При этом повороте вектор l(v0 ) (u) совмещается с вектором l(u) (v0 ), а m(v0 ) (u) —с m(u) (v0 ).
Радиус-векторvr(u, v) = r(u, v0 ) + l(u) (η)dηv0определяет искомую псевдосферическую поверхность. Для доказательства наличия у поверхностиособенностей при z = πn достаточно вычислить главные кривизны. Находим k1 = ctg z/2 и k2 =− tg z/2. При z → πn одна из них стремится к нулю, а другая — к бесконечности (так, что ихпроизведение остается равным K = −1).3.2.4. Ребра псевдосферической поверхности. Рассмотрим линию z(u, v) = πn.
Ее радиус-векторR(u) = r(u, ω(u)), где ω(u) : z(u, ω(u)) = πn. Поскольку r ∈ C 3 и n ∈ C 2 всюду, где z ∈ C 4 , то издвух последних уравнений в системе (3.9) получаем= 0.ru − (−1)n rv v=ω(u)ПоэтомуRu = 1 + (−1)n ω ru .Вычислим вторую производную, не подставляя в нее пока z = πn:Ruu = [zu ctg z − zv ω cosec z]ru + [−zu cosec z + zv ω ctg z + ω ]rv + 2ω sin zn.22УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ33Вычисляем с учетом формулы zv ω = −zu векторное произведение, подставляя sin z = 0 и cos z =(−1)n :22 1 + (−1)n ω n = − 1 + (−1)n ω zu n.[Ru , Ruu ] = −zu + (−1)n zv ω В Ruuu нам понадобится только коэффициент при n, не содержащий sin z. Такие слагаемые возникают при дифференцировании ru по v и rv по u.
НаходимRuuu = −zu 1 + (−1)n ω 1 − (−1)n ω n + . . . .Вычисляем:2(Ru Ruu n) = − 1 + (−1)n ω zu ,3 (Ru Ruu Ruuu ) = zu2 1 + (−1)n ω 1 − (−1)n ω .Итак, нормальная кривизна кривой равна нулю, а ее геодезическая кривизна и кручение определяются следующими формулами:kg = −zu,1 + (−1)n ω κ=1 − (−1)n ω .1 + (−1)n ω (3.13)Длина кривой s = u + (−1)n ω(u).
Поэтому линия z = πn тогда и только тогда вырождается вточку, когда 1 + (−1)n ω (u) ≡ 0, т.е. когда ω (u) = (−1)n+1 .Для локального исследования поверхности в окрестности ребра, соответствующего значениюz = πn, удобно перейти к координатам линий кривизны (см. п. 3.3). Линии кривизны одногосемейства (какого именно — зависит от четности n) касаются данного ребра, а линии другогосемейства — пересекают его под прямым углом.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши позволяет утверждать однозначную определенность псевдосферических поверхностей по их ребрам. Имеется в виду следующее.
Согласно сказанному выше, каждое решение уравнения sin-Гордона достигает значенийz = πn, которые по теореме Э. Г. Позняка соответствуют ребрам псевдосферической поверхности Φ[z]. Рассмотрим совокупность ребер некоторой псевдосферической поверхности. Кривизна икручение ребра как пространственной кривой однозначно определяются по уравнению прообразаребра на плоскости (u, v) и по производной zu , заданной на ребре как функция от u (см. формулы(3.13)). Это соответствие взаимно однозначно, т.е. по заданному ребру можно определить уравнение v = ω(u) и zu (u, ω(u)). А это — начальные данные для задачи Коши. Таким образом, находимрешение уравнения sin-Гордона в некотором прямоугольнике, а вместе с ним восстанавливаем исоответствующий фрагмент псевдосферической поверхности. Придадим сказанному точный смыслв следующем утверждении.
Под псевдосферической поверхностью, заданной на прямоугольникеΠ = [u1 , u2 ] × [v1 , v2 ], подразумевается Φ[z|Π ].Теорема 3.2. Рассмотрим кривую в E3 , определенную радиус-вектором R(s), где s — естественный параметр. Рассмотрим связную часть L этой кривой (конечную или бесконечную),на которой кручение κ = ±1 и функции11,1 + κ(s)1 − κ(s),1 + κ(s)ε(s)k(s),1 + κ(s)где k — кривизна кривой а ε(s) = ±1, принадлежат классу C 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
