Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому корректно определено отображение2f : CP n → P (g) ≡ RP n +2n ,замыкающее диаграммуG⏐⏐π0 −−−−→Ad(h0 )g⏐⏐pf2CP n −−−−→ RP n +2nЕсли обозначить через X jk = Re T jk и Y jk = Im T jk однородные координаты в P (g), то отображение f будет иметь следующее координатное представление:T jk f ◦ π0 (z) = iz j z̄ k .Ясно, что f — вещественно-аналитическое вложение. При этом f (CPRn ) = p ◦ AdG (h0 ).Чтобы выяснить, как связаны вложения f и σ, обозначим через V пространство эрмитовыхматриц порядка n + 1.
Как отмечалось ранее, вложение σ можно рассматривать как отображениеσ : CPRn → P (V ), определяемое системойZ jk σ ◦ π(z) = z j z̄ k .1Эта метрика отличается от стандартной метрики Киллинга на постоянный отрицательный множитель.10В. В. КОННОВРассмотрим отображение j : V → g = u(n + 1), определяемое соотношением j(Z) = iZ. Ясно,что j — изоморфизм R-линейных пространств, который индуцирует проективную эквивалентностьĵ пространств P (V ) и P (g). При этом ĵ ◦ σ = f и, следовательно,ĵ ◦ σ CPRn = f CPRn .Легко видеть, что относительно эллиптических метрик одинаковой секционной кривизны на P (V )и P (g) отображение ĵ является изометрией. Следовательно, как и для вложения σ, первая фундаментальная форма вложения f является метрикой Фубини—Штуди. Более того, так какневырожденное отображение ĵ является проективным, то вторые фундаментальные формы вложений f и σ проективно эквивалентны. Следовательно, комплексная структура на f (CPRn ) можетбыть интерпретирована точно так же, как и комплексная структура на σ(CPRn ).nТаким образом, с точки зрения присоединенного представления группы Ли U (n + 1) CP поверхность можно альтернативно определить в проективном пространстве P u(n+1) как орбиту,порожденную косоэрмитовыми матрицами ранга 1.
Такое определение CP n -поверхности позволяетдать интерпретацию ее геометрических инвариантов в терминах алгебр Ли.5.ИНТЕРПРЕТАЦИЯИНВАРИАНТОВCP n -ПОВЕРХНОСТИВ ТЕРМИНАХ АЛГЕБРЛИПусть g = m⊕h0 ⊕h1 — каноническое разложение алгебры Ли g = u(n+1), где h0 и h1 — алгебрыЛи групп U (1) и U (n), рассматриваемые как подалгебры в u(n + 1) при стандартном вложении, аm — ортогональное дополнение подалгебры h0 ⊕ h1 относительно метрики Киллинга ·, · на g.Теорема 4.
Пусть U = f (CPRn ) — CP n -поверхность, рассматриваемая как орбита p ◦представлением группы Ли G = U (n + 1). ОбоAdG (h0 ) ⊂ P (g), порожденная присоединеннымзначим через Z = f ◦ π0 (g) = p Adg (h0 ) текущую точку CP n -поверхности, а через Z0 —точкуf ◦ π0 (e) = p(h0 ). И пусть ξ0 — фиксированный элемент алгебры ли h0 , для которого|ξ0 | = ξ0 , ξ0 = r. Тогда справедливы следующие утверждения:1) Adg m = TZ U — касательное пространство CP n -поверхности в точке Z. В частности,m = TZ0 U.2) p Adg (m ⊕ h0 ) = P TZ U — проективное касательное пространство CP n -поверхности вточке Z.
В частности, p(m ⊕ h0 ) = P TZ0 U.3) Adg h1 = NZ U — нормальное пространство CP n -поверхности в точке Z. В частности,h1 = NZ0 U. 4) ds2 (ξ, η) = [ξ, ξ0 ], [η, ξ0 ] — первая фундаментальная форма вложения f (совпадающая сметрикой Фубини—Штуди на CP n постоянной голоморфной секционной кривизны 2/r2 ).Здесь ξ, η ∈ m.⊥5) ϕ(ξ, η)Z = Adg η, [ξ, ξ0 ] — вторая фундаментальная форма вложения в точке Z. В⊥частности, ϕ(ξ, η)Z0 = η, [ξ, ξ0 ] . Здесь ξ, η ∈ m, а символ ⊥ означает проекцию на h1 .Доказательство. Присоединенное представление сохраняет метрику Киллинга, поэтому все точки2Adg ξ0 лежат на гиперсфере S n +2n (r) ⊂ g. Так как отображение проективизации p, ограниченноена сферу, является двулистным накрытием и локальной изометрией, то при локальном рассмотрении мы можем отождествить точку Z = p(Adg h0 ) = p(Adg ξ0 ) ∈ P (g) с порождающим ее векторомAdg ξ0 , гдеi 0.ξ0 = ±r0 0Пусть Ω = g −1 dg, где g ∈ G = U (n + 1).
Тогда Ω — левоинвариантная g-значная 1-форма на G.Если ξ ∈ g — левоинвариантное векторное поле на G, то Ω(ξ)g = ξe . Пусть Ω = ω + Ω0 + Ω1 — инвариантное представление формы Ω, соответствующее каноническому разложению g = m ⊕ h0 ⊕ h1 .О ВЛОЖЕНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА11Дифференцируя тождество Z(g) = gξ0 g −1 , найдем:dZ(g) = dgξ0 g −1 + gξ0 dg −1 = dgξ0 g −1 + gξ0 (−g −1 dgg −1 ) == gg −1 dgg −1 gξ0 g −1 − gξ0 g −1 gg −1 dgg −1 = (gΩg −1 )(gξ0 g −1 ) − (gξ0 g −1 )(gΩg −1 ) == Adg Ω · Adg ξ0 − Adg ξ0 · Adg Ω = [Adg Ω, Adg ξ0 ] = Adg [Ω, ξ0 ] == Adg [ω + Ω0 + Ω1 , ξ0 ] = Adg [ω, ξ0 ].Здесь использовано соотношение dg −1 = −g −1 dgg −1 , вытекающее из тождества gg −1 = e.
Далее,так как dZ(g)(ξ) = g[ξ, ξ0 ]g −1 , тоd dZ(g)(ξ) = dg[ξ, ξ0 ]g −1 + g[ξ, ξ0 ]dg −1 = dg[ξ, ξ0 ]g −1 + g[ξ, ξ0 ](−g −1 dgg −1 ) == gg −1 dg[ξ, ξ0 ]g −1 − g[ξ, ξ0 ]g −1 dgg −1 = gΩ[ξ, ξ0 ]g −1 − g[ξ, ξ0 ]Ωg −1 == g Ω[ξ, ξ0 ] g −1 = Adg Ω, [ξ, ξ0 ] = Adg ω + Ω0 + Ω1 , [ξ, ξ0 ] = Adg ω, [ξ, ξ0 ] .Итак,(14)dZ(g) = Adg [ω, ξ0 ], d dZ(g)(ξ) = Adg ω, [ξ, ξ0 ] , ∀ξ ∈ m.Дальнейшее доказательство следует из (13), (14) и тождества [m, ξ0 ] = m, которое легко проверяется непосредственными вычислениями. Заметим, что симметричность формы ϕ(ξ, η)Z =⊥Adg η, [ξ, ξ0 ] является следствием тождества Якоби: η, [ξ, ξ0 ] + ξ, [ξ0 , η] + ξ0 , [η, ξ] = 0.Действительно, если ξ, η ∈ m, то ξ0 , [η, ξ] = 0, так как [η, ξ] ∈ h, ξ0 ∈ h0 , а [h, h0 ] = 0. Следовательно,⊥⊥⊥ϕ(ξ, η)Z = Adg η, [ξ, ξ0 ] = − Adg ξ, [ξ0 , η] = Adg ξ, [η, ξ0 ] = ϕ(η, ξ)Z .Теорема доказана.6.
НЕКОТОРЫЕСВОЙСТВАCP n -ПОВЕРХНОСТИПостроенное вложение σ позволяет моделировать геометрию комплексного проективного пространства на вещественно-аналитической поверхности.Теорема 5. Любое m-мерное (m n) полное вполне геодезическое антиинвариантное подмногообразие на CP n -поверхности есть многообразие Веронезе, диффеоморфное RP m , котороеможет быть получено как пересечение CP n -поверхности и (m2 + 3m)/2-мерного подпростран2ства в RP n +2n .Теорема 6. Любое m-мерное (размерность комплексная) полное вполне геодезическое инвариантное подмногообразие на CP n -поверхности есть CP m -поверхность, которая может быть2получена как пересечение CP n -поверхности и (m2 + 2m)-мерного подпространства в RP n +2n .Доказательство теорем 5 и 6 основывается на классификации антиинвариантных и инвариантных подмногообразий, приведенной в [5, теорема 1.1], и получается при помощи явных уравненийвложения σ.
Заметим, что здесь удобнее использовать конструкцию вложения, приведенную вразделе 1.Замечание. Рассматривая синтетическое определение проективного пространства (см. [6,гл. VI]), все аксиомы комплексного проективного пространства могут быть интерпретированы наCP n -поверхности.
Например, при m < n через любые m точек общего положения, принадлежащих CP n -поверхности, проходит единственная CP m−1 -поверхность, являющаяся полнымвполне геодезическим инвариантным подмногообразием. В частности, через любые две точки,принадлежащие CP n -поверхности, проходит единственная CP 1 -поверхность. Кроме того, несложнопроверить следующее проективное свойство CP n -поверхности. Пусть X и Y — пара различныхточек CP n -поверхности U, а P TX U и P TY U — касательные проективные плоскости к CP n поверхности в этих точках.
Тогда пересечением плоскостей P TX U и P TY U является прямая,12В. В. КОННОВполярная для прямой [XY ] относительно двумерной квадрики, являющейся единственной CP 1 поверхностью, проходящей через точки X и Y .СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.2.3.4.5.6.7.8.9.Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.
1. — М.: Мир, 1990.Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. — М.: Наука, 1981.Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 2. — М.: Наука, 1988.Яно К., Кон М.
CR-подмногообразия в кэлеровом и сасакиевом многообразиях. — М.: Наука, 1990.Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Т. 1. — М.: ИЛ, 1954.Lichnerowicz A. Geómet́rie des groupes de transformations. — Paris: Dunod. 1958.Nash J. F. The imbedding problem for Rimannian manifolds// Ann. Math.
— 1965. — 63. — С. 20–63.Onishchik A. L. Topology of transitive transformation groups. — Leipzig–Berlin–Heidelberg: JohannAmbrosius Barth, 1994.Современная математика и ее приложения. Том 31 (2005). С. 13–52УДК 514.7, 517.2, 517.9АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫК ИССЛЕДОВАНИЮ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОНАИ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙc 2005 г.А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙСОДЕРЖАНИЕ1. Геометрические основания к исследованию уравнения sin-Гордона2. Методы интегрирования уравнения sin-Гордона . . . . .
. . . . . .2.1. Задача Гурса для уравнения sin-Гордона. . . . . . . . . . . .2.2. Задача Коши для уравнения sin-Гордона . . . . . . . . . . .2.3. Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Метод малого параметра . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .2.5. Автомодельные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1. Автомодельные решения вида z(au + bv) . . . . . . . . .2.5.2. Автомодельные решения вида z(uv) . . . . . . . . . . . .2.6. Преобразование Бэклунда и солитонные решения . . . . . .2.6.1. Преобразование Бэклунда . . . . . . .
. . . . . . . . . .2.6.2. Солитонные решения уравнения sin-Гордона . . . . . . .2.7. Алгебро-геометрический подход . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.1. θ-функция Римана и римановы поверхности . . . . . . .2.7.2. Конечнозонные решения . . . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
