Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это доказывает, что линия (β)УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ371. Обозначим угол между нормалью к сфере и нормалью к|A (α0 )|поверхности через ω. По формуле (3.4) имеем для кручения линии (β) равенство κ = −ϑ̇ с однойстороны (поскольку κg = 0) и с другой — κ = −ϑ̇ − ω̇ (поскольку угол между нормалью к сфере и(R)главной нормалью линии (β) равен ϑ + ω, а κg = 0). Поэтому ω̇ = 0. Итак, угол ω — постояннаявеличина. Аналогично (3.19), имеем1= kn(R) = k cos(ϑ + ω) = kn cos ω − kg sin ω.RЭто равенство может выполняться при постоянном ω, только если ω = π/2 или 3π/2 — в зависимости от знака A (α0 ).
Поэтому сфера пересекает поверхность под прямым углом.Продифференцируем вектор x по α:1 -zzz .2e1 − A B sin e2 + A sin n .xα = 2 A + A cos222AПрямым вычислением с использованием формулылежит на сфере радиуса R =A − B z= 22B + 1 − A 2и уравнений (2.18) пункта 2.3 устанавливаем, чтоzz22B + (B + 1) cos = A + A cos22и, далее,z 2 2z22A + A cos+ B + 1 A sin2 = a2 b2 .22abСледовательно, |xα | = 2 . Вычисляя далее производную по α от единичного вектораA1 - zzz .xα2=A + A cose1 − A B sin e2 + A sin n ,|xα |ab222cos(3.20)(3.21)(3.22)находим, что она равна нулю, т.е.
вектор (3.22) — являющийся касательным вектором к линиицентров сфер, содержащих линии (β) — постоянный. Поэтому эта линия является прямой, а поверхность Φ[z] — поверхностью Иоахимсталя.Теперь получим выражение для радиус-вектора поверхности Φ[z]. Примем постоянный единичный вектор (3.22) за орт {0, 0, 1} декартовой системы координат Oξηζ в E3 . Рассмотрим точку M ,1с центром вопределяемую радиус-вектором r(α, β). Она лежит на сфере радиуса R(α) = |A (α)|точке C, определяемой радиус-вектором x(α). Обозначим через M проекцию точки M на ось Oζ.Находим для координаты h(α, β) = OM 1 zA B zz2sin2 .hα =A + A coscos , hβ = −ab22ab2Далее, посколькуzzzzcoscos= −A sin2 ,= −B sin2 ,2 α22 β2то 11zz22 z2h=A cos + A cosdα =A cos + A dα .ab22ab2Далее,1 xαz2A=,+AcosCM = (r − x)|xα |abA2поэтому, используя формулу (3.21), получаем21 − a21b2 A + A 2 cos z2B2 + 12 z.=sinρ2 = R2 − |CM |2 =222a b2A38А.
Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙКроме этого получаем величину x = OC = OM − CM A12− + A dα .x=abAВыражение для dφ получаем из уравненияzzcos2 dα2 + sin2 dβ 2 = dh2 + dρ2 + ρ2 dφ2 ,22подставляя в него дифференциалы dh и dρz1 - zz .2A + A coscos dα − A B sin2 dβ ,dh =ab222/0Bzzzz122B + (B + 1) cossin dβ + A B + 1 sin cos dαdρ =ab2222B2 + 1и пользуясь формулами (3.20), (3.21).Вид радиус-вектора псевдосферической поверхности Иоахимсталя содержится в подробном исследовании Р.
Штойервальда [60]. Им исследованы псевдосферические поверхности Иоахимсталя,которые автором названы поверхностями Эннепера, поскольку именно А. Эннеперу [51] и Г. Добринеру [50] принадлежит идея получения этой формулы. А также исследованы псевдосферическиеповерхности, получаемые из них геометрическим преобразованием Бэклунда.В частном случае, когда a = bA = −a th(aα), B = − 1 − a2 tg( 1 − a2 β)получается (частное) бризерное решение√a cos( 1 − a2 β)z(α, β) = 4 arctg √1 − a2 ch(aα)и формула для радиус-вектора исследована Дж. Клейном [56].3.4.3.4.1.Изотермические координаты.Модель Пуанкаре плоскости Λ2 .
Изотермическая метрикаQ(x, y; dx, dy) = λ(x, y)(dx2 + dy 2 )имеет гауссову кривизну K ≡ −1, если (ln λ)xx + (ln λ)yy = 2λ. Решение этого уравнения выглядитнаиболее просто, когда зависит только от одной переменной. В этом случае λ = 1/y 2 и мы получаем1(3.23)Q(x, y; dx, dy) = 2 (dx2 + dy 2 ).yВерхняя полуплоскость H = {(x, y) | y > 0} с такой метрикой — это известная модель Пуанкареплоскости Лобачевского Λ2 .
Эта модель замечательна тем, что она конформная, т.е. внутренниеуглы метрики (3.23) (= углы в Λ2 ) равны евклидовым углам на плоскости1 . Прямые плоскости Λ2в интерпретации полуплоскости Пуанкаре — это полуокружности {(x, y) | (x − a)2 + y 2 = r2 , y > 0}и полупрямые {(x, y) | x = a, y > 0}. Прямая y = 0 и бесконечно удаленные точки полуплоскости образуют абсолют плоскости Лобачевского Λ2 . Группа движений Λ2 состоит из всех дробнолинейных (в комплексной записи) конформных автоморфизмов H, т.е.
из всех преобразованийвидаaw + b,(3.24)w →cw + dгде w = x + iy, а действительные числа a, b, c, d подчинены условию ad − bc = 1. Отметим, чтоотображениеaw + ba b∈ SL2 (R) → w →c dcw + d1Этим свойством обладает любая изотермическая метрика.УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ39является гомоморфизмом с ядром {±E} и потому группа PSL2 (R) = SL2 (R)/{±E} есть матричноепредставление группы движений Λ2 в интерпретации H.3.4.2.
Переход от чебышевских координат к изотермическим. Дадим формулы перехода от чебышевских (не обязательно асимптотических) координат (u, v) к координатам (x, y) полуплоскостиПуанкаре. Будем писать x(u, v) и y(u, v). Поскольку, с одной стороны,1 dr2 = 2 (x2u + yu2 )du2 + 2(xu xv + yu yv )dudv + (x2v + yv2 )dv 2 ,yа с другой —dr2 = du2 + 2 cos z(u, v)dudv + dv 2 ,то векторы (xu , yu ) и (xv , yv ) по модулю равны y(u, v), а угол между ними равен z(u, v). В общемвиде эти условия выражены в системе уравнений:z−ζz+ζz−ζz+ζ, cos, (x, y)v = y sin, cos,(3.25)(x, y)u = y sin2222где угол ζ(u, v) — пока произвольный — должен быть найден из условия согласования (x, y)uv =(x, y)vu .
Получаем систему уравнений для функции ζ(u, v)ζ −zζ +z, ζv = zv + 2 sin,22в которой узнаем преобразование Бэклунда с p = 1. Найдя ζ(u, v), находим x(u, v) и y(u, v)интегрируя уравнения (3.25):⎫⎧ uvu v⎬⎨1ζ −zζ +zdu + cosdv +cos(cos z − cos ζ)dv du ,y(u, v) = y(0, 0) exp⎭⎩222ζu = −zu + 2 sinux(u, v) = x(0, 0) −0y sinζ −zdu −20v0y sin0ζ +zdv +20u v0y sin ζdv du.00По этим формулам сначала вычисляется y(u, v), а затем x(u, v). Отметим, что в силу неоднозначности введения чебышевских координат координаты полуплоскости Пуанкаре также вводятсянеоднозначно. Переход от одних координат Пуанкаре к другим осуществляется по формуле (3.24).Получим выражение для геодезической кривизны линии L на псевдосферической поверхности,заданной в координатах верхней полуплоскости Пуанкаре (x, y) уравнением y = f (x). Вычисляемсимволы Кристоффеля:Γ111 = 0,Γ112 = −1,2y1Γ122 = − ,yΓ211 =1,2yΓ212 = 0,Γ222 = −1.2yРадиус-вектор линии L определяется через радиус-вектор поверхности равенством R(x) =r(x, f (x)).
Используя деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена, выводим выражение для геодезической кривизны линии L:kg =f 31df /ds++,(1 + f 2 )3/2 2 1 + f 2 1 + f 2(3.26)1 + f 2dx.fЭта формула может быть использована для выяснения вида области на плоскости Лобачевского(в интерпретации полуплоскости Пуанкаре), соответствующей фрагменту псевдосферической поверхности, заключенному между ребрами Li .
Для этого необходимо вычислить геодезическуюкривизну каждого из ребер Li по формуле (3.13) и затем из формулы (3.26) получить уравненияребер y = fi (x) — это будут границы искомой области.где штрих обозначает производную по x, а s — естественный параметр кривой L, ds =40А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙnpnσMe1Mpζ2e2РИС. 2Если рассматривать (3.26) как уравнение относительно f , то удобно сделать замену f = tg w(s);тогда (3.26) примет вид π π1w + sin3 w + cos w = kg (s), w ∈ − ,,22 2где штрих теперь обозначает производную по s.3.5.
Геометрическое преобразование Бэклунда. Хорошо известен алгоритм, изложенный в[43], основанный на преобразовании Бэклунда для уравнения sin-Гордона и позволяющий поизвестному радиус-вектору r(u, v) псевдосферической поверхности Φ[z] получить радиус-векторrp (u, v) псевдосферической поверхности Φ[Bp z]. Он называется геометрическим преобразованиемБэклунда, или преобразованием Бэклунда для псевдосферических поверхностей. Изложение этогоалгоритма будем вести в координатах линий кривизны (α, β). Зафиксируем параметр σ, имеющийсмысл угла между вектором нормали к исходной поверхности, взятым в точке с произвольными координатами (α, β), и вектором нормали к искомой поверхности, взятым в точке с теми жекоординатами.
Отметим, что σ берется не зависящим от координат, и потому этот угол будетодинаковым для всех точек.Рассмотрим точку M исходной поверхности и касательную плоскость в этой точке, образованнуювекторами e1 , e2 . Положим радиус-вектор новой поверхности равнымζζsin σ,(3.27)rp = r + e1 cos + e2 sin22а нормаль к новой поверхности — равнойζζsin σ,np = n cos σ + e1 sin − e2 cos22(3.28)где ζ(α, β) — некоторая функция.
Обратим внимание, что при этомrp = r + [n, np ].Функцию ζ(α, β) определяем из условий ортогональности векторов∂rp∂rpивектору np . При∂α∂βвычислении производных используем формулы (3.16). Находим:ζα + zβ∂rpz ζα + zβζζζz= e1 cos −sin sin σ + e2cos sin σ − n cos sin sin σ,∂α2222222ζβ + zα∂rpζζζzz ζβ + zα= −e1sin sin σ + e2 sin +cos sin σ + n sin cos sin σ.∂β2222222(3.29)УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ41Далее, из условий ортогональности получаем систему уравнений, связывающую неизвестнуюζ(α, β) с сетевым углом z(α, β) исходной поверхности:2zζzζcos sin − cos σ sin cos,ζα + zβ =sin σ2222(3.30)zζzζ2sin cos − cos σ cos sin.ζβ + zα = −sin σ2222Дифференцируя первое уравнение по β, а второе по α и вычитая из первого второе, можно убедиться в том, что условием совместности этой системы является уравнение sin-Гордона для z(α, β).С другой стороны, поскольку zαβ = zβα , то из этой системы следует, что ζ(α, β) удовлетворяетуравнению sin-Гордона.
На самом деле система (3.30) является ни чем иным, как преобразованием Бэклунда с параметром p = tg σ/2, записанным в координатах (α, β) (что легко проверяется),поэтому мы имеем полное основание обозначить ζ = Bp z. Теперь докажем, что функция ζ(α, β)является сетевым углом чебышевской сети поверхности, определяемой радиус-вектором rp . Тем самым будет доказано, что эта поверхность — псевдосферическая (поскольку ζ(α, β) удовлетворяетуравнению sin-Гордона). Действительно, подставляя в выражения для производных (3.29) суммыζα + zβ , ζβ + zα из уравнений (3.30), получим.∂rp zζzz= e+ cos + e− sin cos σ − n sin sin σ cos ,∂α2222(3.31).∂rp zζzz= e+ sin − e− cos cos σ + n cos sin σ sin ,∂β2222где для сокращения формул введены обозначенияζζζζ+ e2 sin , e− = e1 sin − e2 cos .2222Из формул (3.31) следует выражение для первой квадратичной формы построенной поверхности:e+ = e1 cosζζQ(α, β) = cos2 dα2 + sin2 dβ 2 ,22которое совпадает с приведенным в (3.14).
Можно также показать, что линии (α) и (β) на построенной поверхности будут линиями кривизны. Поэтому построенная поверхность является искомойпсевдосферической поверхностью Φ[Bp z].Геометрическое преобразование Бэклунда имеет приложение [53, 58] к теории кривых постоянного кручения. Достаточно рассмотреть кручение κ = ±1, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
