Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 11
Текст из файла (страница 11)
общий случай приводится к рассматриваемому изменением масштаба. Кривая кручения κ = ±1 может быть включена в некоторуюпсевдосферическую поверхность как асимптотическая линия. Эта псевдосферическая поверхностьесть Φ[z], где z(u, v) определяется с большим произволом по известной кривизне кривой, равной, сдругой стороны, −zu , если κ = 1 и кривая рассматривается как линия (u), или zv — если κ = −1.Поскольку геометрическое преобразование Бэклунда переводит линии кривизны в линии кривизны, то оно переводит асимптотические в асимптотические. Поэтому ставит в соответствие даннойкривой единичного кручения некоторую другую кривую единичного кручения.Теперь приведем выражение для радиус-вектора (3.27) к координатам (u, v). По формулам перехода из п.
3.3.1 получаемz + Bp zz − Bp z12pru sin+ rv sin.(3.32)rp = r + 2p + 1 sin z22В дальнейшем нам понадобятся выражения для радиус-векторов Rp ребер поверхности Φ[Bp z]. Получим их. Особенности псевдосферической поверхности (ребра и острия) соответствуют значениямπn сетевого угла чебышевской сети, так что в (3.32) подставляем Bp z = πn:Rp = r +p (−1)m(ru + rv )p2 + 1 cos z2(3.33)42А. Г.
ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙ— для четных n = 2m иRp = r +— для нечетных n = 2m + 1.p (−1)m(ru − rv )p2 + 1 sin z2(3.34)3.6. Метод подвижного репера и формула Сима. Пусть x = (x1 , x2 , x3 ) обозначает радиусвектор точки в E3 и в каждой точке задан ортонормированный базис (подвижный репер) (e1 (x),e2 (x), e3 (x)), причем функции ei (x) — достаточно гладкие. В координатной записи e1 (x) =(e11 (x), e21 (x), e31 (x)) и т. п. Считая (x1 , x2 , x3 ) независимыми переменными, получим разложенияdx =3ωi (x)ei (x),dej (x) =i=13ωji (x)ei (x),(3.35)i=1где через ωi и ωji обозначены линейные комбинации дифференциалов dx1 , dx2 , dx3 (1-формы)ω1 (x) =3ek1 (x)dxkk=1и т.
п., которые не обязательно являются дифференциалами некоторых функций (полными дифференциалами). Множество всех 1-форм от переменных (x1 , x2 , x3 ) с коэффициентами, являющимися гладкими функциями, наделено естественной структурой модуля T∗ E3 над алгеброй гладкихфункций (в качестве базиса может быть выбрана,1например, тройка dx1 , dx2 , dx3 ). Стандартнымобразом строится внешняя алгебра этого модуля T∗ E3 с операцией внешнего произведения ∧.1Эта алгебра является объединением трех модулей: (3-мерного) модуля 1-форм 1 T∗ E3 , (3-мерного)1модуля 2-форм 2 T∗ E3 (с базисом dx1 ∧ dx2 , dx2 ∧ dx3 , dx3 ∧ dx1 ) и (1-мерного) модуля 3-форм13 ∗ 3T E (с базисным элементом dx1 ∧dx2 ∧dx3 ). Коммутационное свойство внешнего произведениявыглядит следующим образом:ω1 ∧ ω2 = (−1)deg ω1 ·deg ω2 ω2 ∧ ω1 ,где deg ω — порядок формы ω.
На внешней алгебре дифференциальных форм определен операторвнешнего дифференцирования d, переводящий 1-форму в 2-форму, 2-форму в 3-форму, а 3-формув нуль. На гладких функциях (0-формах) оператор внешнего дифференцирования действует какобычный дифференциал (и таким образом переводит 0-форму в 1-форму).
На произведение f ωгладкой функции f и формы ω и на внешнее произведение двух форм ω1 ∧ ω2 он действует поформулеd(f ω) = df ∧ ω + f dωи, соответственно,d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)deg ω1 ω1 ∧ dω2 .Упомянем важное свойство этого оператора: d ◦ d ≡ 0. Подробности можно найти в [32, 38].Будем теперь считать, что радиус-вектор x описывает некоторую гладкую поверхность (т.е.x = r(u, v)), e1 (r) и e2 (r) — ее направляющие векторы, а e3 (r) = n(u, v) — вектор нормали. Коор2динаты (u, v) принимают значения11 ∗ 3в некоторой (связной) области U ⊆ R . Все дифференциальныеформы из исходной алгебры T E будем теперь рассматривать как элементы подалгебры T∗ U,порожденной элементами du, dv и du ∧ dv. Тогда ω3 (u, v) = 0, 1-формы ω1 (u, v) и ω2 (u, v) линейнонезависимы, а остальные 1-формы ωji (u, v) через них линейно выражаются.
Разложения (3.35)теперь принимают вид⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛0 −ω3 −ω31e1de1⎠⎝⎠⎝⎝de2 = ω30−ω32e2 ⎠ ,(3.36)dr = ω1 e1 + ω2 e2 ,dnω31 ω320nгде учтено, что (ei , dej ) + (ej , dei ) = 0. Здесь и далее мы обозначаем через ω3 форму, которуюранее обозначали через ω21 . Первая и вторая квадратичные формы поверхности соответственноравныdr2 = ω12 + ω22 , −(dr, dn) = −ω1 ω31 − ω2 ω32 ;УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ43для этого достаточно обратится к выражениям (3.36). Теперь получим структурные уравненияповерхности.
С этой целью продифференцируем внешним образом первое уравнение в (3.36). Слевабудет нуль, а справа воспользуемся вторыми уравнениями из системы (3.36). Приравнивая нулюкоэффициенты при базисных векторах, получимdω1 = ω3 ∧ ω2 ,dω2 = ω1 ∧ ω3 ,ω31 ∧ ω1 + ω32 ∧ ω2 = 0.Проводя аналогичную процедуру со вторыми уравнениями, получаемdω3 = ω32 ∧ ω31 ,dω31 = ω3 ∧ ω32 ,dω32 = ω31 ∧ ω3 .(3.37)Система (3.37) — это система уравнений Петерсона—Кодацци и Гаусса для дифференциальныхформ.Построим координатные линии u и v в направлениях, определяемых в каждой точке поверхности векторами e1 и e2 соответственно.
Обозначим стандартным образом коэффициенты основныхквадратичных форм поверхности в этих координатах. Тогда из уравнений (3.36) нетрудно вывестиследующие выражения для 1-форм ω31 и ω32 :LMMNω2 , ω32 = − √ω1 −ω2 ;ω31 = − ω1 − √EGEGEGи подставив их в первое уравнение системы (3.37), получить такой результат:dω3 = −Kω1 ∧ ω2 ,где K — гауссова кривизна поверхности. Это уравнение — переформулировка уравнения Гаусса наязыке дифференциальных форм.Для псевдосферических поверхностей получаем следующую систему уравнений, определяющуюпсевдосферическую метрику поверхности:dω1 = ω3 ∧ ω2 ,dω2 = ω1 ∧ ω3 ,dω3 = ω1 ∧ ω2 .(3.38)Если на поверхности выбраны чебышевские координаты (в стандартных обозначениях) и векторыe1 , e2 из (3.36) ориентированы в направлениях ru + rv , ru − rv соответственно, тоzz1ω1 = cos (du + dv), ω2 = sin (du − dv), ω3 = (zu du − zv dv)222и эта система эквивалентна уравнению sin-Гордонаzuv = sin z,что проверяется подстановкой. Отметим, что (u, v) — не обязательно асимптотические координаты.Если они являются асимптотическими чебышевскими координатами, то векторы e1 , e2 ориентированы в главных направлениях.При гладком переходе к другому реперу(e1 (u, v), e2 (u, v), n(u, v)) → (ẽ1 (ũ, ṽ), ẽ2 (ũ, ṽ), ñ(ũ, ṽ))и одновременной гладкой (диффеоморфной) замене координатh : (u, v) → (ũ, ṽ)новые формы ω̃1 , ω̃2 , ω̃3 связаны со старыми следующим образом:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ω̃10cos θ sin θ 0ω1h∗ ⎝ω̃2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + ⎝− sin θ cos θ 0⎠ ⎝ω2 ⎠ .ω̃3ω3dθ001(3.39)Поскольку при таком переходе вектор ñ(ũ, ṽ) = n ◦ h−1 (ũ, ṽ) (не меняется), а векторыẽ1 (ũ, ṽ), ẽ2 (ũ, ṽ) совмещаются с e1 (u, v), e2 (u, v) поворотом на угол θ(u, v).
Формула (3.39) выводится непосредственно из соотношений (3.36). Формула (3.39) описывает преобразование наиболее общего вида, переводящее один набор форм ωi , определяющих псевдосферическую метрику,в другой набор форм ω̃i , также определяющих псевдосферическую метрику. Отметим, что еслиωi и ω̃i — какие-то два набора форм, определяющих псевдосферическую метрику, то они связаныпреобразованием (3.39).44А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙПусть (σ1 , σ2 , σ3 ) — матрицы Паули0 1σ1 =,1 0σ2 =0 −i,i 01 0σ3 =.0 −1ОбозначивΩ = −σ1 ω1 − σ2 ω2 + iσ3 ω3 ,(3.40)где i — мнимая единица, мы запишем систему уравнений (3.38) как одно уравнение1(3.41)dΩ = Ω ∧ Ω.2В координатной записи Ω = 2(U du + V dv), где (u, v) — чебышевские координаты, коэффициент 2выбран для удобства.
Тогда уравнение (3.41) эквивалентно уравнениюUv − Vu = V U − U V,(3.42)которое может быть интерпретировано как условие совместности системы матричных уравнений:Ψu = U Ψ,(3.43)Ψv = V Ψ.В чебышевских координатах имеем следующие выражения:$$iz %izu1 −2−e− iz4v42, V =U=iz− iz− 12 e 2− iz4u− 12 e 2iz− 12 e 2izv4%.Введем параметр λ в матрицы U и V . Делаем это так.
Пишем в системе (3.43) iλu вместо u и1v вместо v:iλ$$iz %iz %izuizviiλ − 22−ee−4242λΨ, Ψv =Ψ.(3.44)Ψu =iziz−izuizvi22− iλe−e242λ4При такой замене уравнение sin-Гордона переходит в себя, поэтому условие согласования дляновой системы по-прежнему эквивалентно уравнению sin-Гордона. Далее речь пойдет о связипсевдосферической поверхности с матрицей Ψ. Пользуясь введенной выше матрицей Ω = 2(U du +V dv) для новых матриц U, V и отказываясь от равенства (3.40) в качестве определения матрицыΩ, запишем систему (3.44) в виде1dΨ = ΩΨ.2Обозначим Ψ|λ=1 = Ψ0 , Ψλ |λ=1 = Ψ1 и, аналогично, Ω|λ=1 = Ω0 , Ωλ |λ=1 = Ω1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
