Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть существует точка s0(а значит, и некоторая ее окрестность), в которой кривизна k(s0 ) > 0. Тогда существуетпрямоугольник Π и ровно две (вообще говоря не конгруэнтные друг другу) псевдосферическиеповерхности, заданные на нем, для которых L является фрагментом ребра возврата. Дляодной поверхности это ребро соответствует четному n, а для другой — нечетному.1Сформулированные ниже условия гладкости не исключают возможности существования точек на L, в которыхкривизна или кручение бесконечны, а также точек, в которых кривизна равна нулю.
Множитель ε(s), принимающийзначения ±1, добавлен с той целью, чтобы обеспечить функции ε(s)k(s) достаточную гладкость, которой, вообщеговоря, нет у функции k(s) в силу традиционного требования k(s) 0.34А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙДоказательство. Из формул (3.13) получаем следующие выраженияω (u) = (−1)n1 − κ(s),1 + κ(s)zu (u, ω(u)) = −2kg (s),1 + κ(s)ds1=±,du1 + κ(s)где в правых частях подразумевается подстановка s = s(u).
Рассмотрим отдельно случай четного и нечетного n. Пусть, для начала, n четное. Поскольку k = |kg |, то kg (s), а следовательно,и zu (u, ω(u)), известно с точностью до знака. Смена знака у начальных условий zu (u, ω(u)) иz(u, ω(u)) = πn приводит (в силу единственности) к смене знака решения задачи Коши z(u, v),которая, в свою очередь означает смену направления вектора нормали и направлений отсчета координат u и v на асимптотических линиях. Поверхность при этом остается той же самой. Поэтому(вообще говоря, переменный) знак в формуле kg = ±k выбираем так, чтобы обеспечить функцииε(s)k(s)zu (u, ω(u)) нужную гладкость (C 3 ); а поскольку по условию∈ C 3 , то этот знак следует1 + κ(s)взять равным, например, ε(s).
Знак в выражении для производной ds/du берется, например, так,чтобы производная была положительна. Тогда координата u принимает на L значения ∈ [u1 , u2 ] (гдеu1 , u2 возможно ∓∞). Так как кручение не принимает значений ±1, то ω (u) имеет постоянныйзнак, пусть, для определенности, > 0. Положим v1 = ω(u1 ), v2 = ω(u2 ) и рассмотрим прямоугольник Π = [u1 , u2 ] × [v1 , v2 ]. Согласно доказанной теореме о существовании и единственностирешения задачи Коши для уравнения sin-Гордона, в этом прямоугольнике существует единственное решение z(u, v) ∈ C4 (Π) задачи Коши. Необходимая гладкость решения (C 4 ) обеспечиваетсягладкостью начальных данных. Для завершения доказательства осталось построить поверхность.С этой целью рассмотрим точку на L с координатой s0 = s(u0 ), в которой кривизна и кручение конечны и кривизна отлична от нуля.
Возьмем вектор e1 равным вектору касательной к L вэтой точке, ориентированному в направлении возрастания координаты u. Вектор e3 положим равным ε(s0 )b(s0 ), где b(s0 ) — вектор бинормали кривой L в точке s0 ; вектор e2 выберем так, чтобыортогональная тройка (e1 , e2 , e3 ) была правой. Осталось воспользоваться теоремой 3.1. Случайнечетного n рассматривается аналогично.3.3.Координаты линий кривизны.3.3.1.
Основной триэдр поверхности. Рассмотрим все необходимые выражения в координатахлиний кривизны (α, β). Допуская некоторую неточность, сохраним для радиус-вектора обозначение r, но будем писать теперь r(α, β). Кроме того, пусть n(α, β) — вектор нормали поверхности.Переход к координатам линий кривизны осуществляется по формуламu=α+β,2v=α−β.2Основные квадратичные формы поверхности в этих координатахzzzzQ(α, β; dα, dβ) = cos2 dα2 + sin2 dβ 2 , B(α, β; dα, dβ) = dα2 + dβ 2 sin cos .2222(3.14)Уравнение sin-Гордона принимает видzαα − zββ = sin z.(3.15)В координатах линий кривизны деривационные формулы удобнее записывать для ортогональнойтройки единичных векторовrβrα, e2 =, n,e1 =|rα ||rβ |называемой основным триэдром поверхности, или триэдром Дарбу.
Имеем:zrα = cos e1 ,2zrβ = sin e22УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИи деривационные формулы запишутся в виде⎛ ⎞⎞⎛ ⎞⎛1ze1e102 zβ − sin 2⎝e2 ⎠ = ⎝− 1 zβ⎠ ⎝e2 ⎠ ,002n αn00sin z2⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞100e1e12 zαz ⎠ ⎝e ⎠⎝e2 ⎠ = ⎝− 1 zα0cos2 .22zn βn0− cos 2035(3.16)Отметим, что условием согласования матричных уравнений (3.16) является уравнение sinГордона (3.15).Получим выражения для кривизн и кручения линий кривизны. Направляющим вектором линии (α), определяемой уравнением β = β0 , является e1 , вектором геодезической нормали — e2 .Сравнивая формулы (3.16) с формулами Френе для поверхностной полосы (3.2), выводим, что геодезическое кручение линии кривизны равно нулю (что согласуется с известным общим свойствомлиний кривизны произвольной поверхности), а кривизны определяются формуламиkg =12 zβcos z2zkn = − tg .2,(3.17)Аналогично, для линии (β), определяемой уравнением α = α0 , находимkg = −12 zαsin z2,zkn = ctg .2Подробности можно найти в [43].3.3.2.
Псевдосферическая поверхность в окрестности ребра. Покажем каким образом можноисследовать псевдосферическую поверхность в окрестности ребра z = πn. Рассмотрим для определенности случай нечетного n = 2m + 1. Пусть на плоскости (α, β) эта линия уровня определяется(локально) уравнением β = (α). Радиус-вектор ребра R(α) = r(α, (α)), поэтому в рассматриваемом случае R (α) = (−1)m (α)e2 (α, (α)). Следовательно, вектор e2 касателен к ребру, а e1перпендикулярен ему.
Этот вывод справедлив, конечно же, при условии, что (α) не равно тождественно нулю, т.е. что ребро не вырождается в точку. Отметим, что естественный параметр ребраs = (α). Рассмотрим на ребре точку (α0 , β0 ). Через эту точку проходит линия (β0 ) перпендикулярно ребру.
Для локального исследования этой линии в окрестности точки (α0 , β0 ) обратимся ксистеме деривационных уравнений (3.16). Радиус-вектор линии (β0 ) находим по формуле Тейлора(−1)m+1 0zα (α − α0 )2 e01 +4(−1)m+1 0 0+2zαα e1 + zα0 zβ0 e02 + 2(−1)m+1 zα0 n0 (α − α0 )3 + O((α − α0 )4 ),12где функции с верхним индексом 0 берутся в точке O(α0 , β0 ). Примем векторы n0 , e01 за ортыдекартовой системы координат Oξη с началом в точке O. В этой системе координат линия (β0 )определяется параметрическими уравнениямиr(α, β0 ) =(−1)m+1 01zα (α − α0 )2 .ξ ∼ zα0 (α − α0 )3 , η ∼64Таким образом, в случае zα0 = 0 в нормальном сечении ребра лежит полукубическая парабола.0 = 0 и т. д.) рассматриваются аналогично.Другие случаи (zα0 = 0, но zαα3.3.3.
Псевдосферические поверхности Иоахимсталя. Опишем класс псевдосферических поверхностей, у которых одно семейство линий кривизны — плоские кривые. Эти псевдосферическиеповерхности являются поверхностями Иоахимсталя и в точности соответствуют решениям z(α, β)уравнения sin-Гордона, получающимся методом разделения переменных (см. п. 2.3). Вообще поверхностью Иоахимсталя называется поверхность, у которой одно семейство линий кривизны (α)36А. Г.
ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙлежит в плоскостях одного пучка. При этом каждая линия (β) второго семейства линий кривизны поверхности лежит на сфере, пересекающей поверхность под прямым углом, центр которойнаходится на оси Oζ пучка плоскостей. Доказывается [39], что поверхность Иоахимсталя характеризуется как поверхность, образованная ортогональными траекториями (являющимися линиями(α)) однопараметрического семейства сфер с центрами на одной прямой. В декартовой системе координат Oξηζ все поверхности Иоахимсталя могут быть описаны с точностью до квадратур [39].В случае, когда переменные в уравнении sin-Гордона разделяются,z(α, β) = 4 arctg eA(α) + B(β) .Геодезическая кривизна линии (α) равнаB (β0 )sh(A + B)(3.18)и пропорциональна ее нормальной кривизне1, поэтому угол ϑ между нормалью линии (α) и нормалью к поверхности остается наsh(A + B)линии (α) постоянным (см.
формулу (3.5)). Поскольку геодезическое кручение линии кривизныравно нулю, то отсюда в силу последней формулы в (3.4), следует, что кручение линии (α) каккривой в пространстве также равно нулю, т.е. что линия (α) — плоская. Доказательство того, чтоплоскости линий (α) образуют пучок, т.е. пересекаются по одной прямой, более громоздко, и мыего здесь не будем приводить.
Докажем, следуя Г. Дарбу [49], следующую теорему.Теорема 3.3. Псевдосферическая поверхность тогда и только тогда является поверхностью Иоахимсталя, когда z(α, β) определяется формулой (3.18). В этом случае ее радиусвектор в системе координат Oξηζr(α, β) = {ρ(α, β) cos φ(β), ρ(α, β) sin φ(β), h(α, β)} .Положение центров сфер определяются вектором x(α) = {0, 0, x(α)}, а их радиусы — формулой1. ЗдесьR(α) = |A (α)|zz11 22h=A cos + A dα ,B + 1 sin ,ρ=ab2ab2dβA12− + A dα .φ = ab,x=abAB2 + 1В случае A (α0 ) = 0 соответствующая сфера вырождается в плоскость, определяемую уравнением12ζ=A dα.abДоказательство.
Пусть поверхность Φ[z] является поверхностью Иоахимсталя. Тогда каждая линия (β) лежит на некоторой сфере радиуса R = R(α0 ), пересекающей поверхность под прямымzαуглом. Докажем, что в этом случае геодезическая кривизна линии (β), равная kg = −, по2 sin z2стоянна. Обозначим угол между главной нормалью линии (β) и нормалью к поверхности через ϑ.Нормаль к сфере, нормаль к поверхности и главная нормаль линии (β) лежат в одной плоскости,поэтому угол между нормалью к сфере и главной нормалью линии (β) равен ϑ + π/2.
Поскольку(R)нормальная кривизна любой кривой на сфере kn = 1/R и любая кривая на сфере является еелинией кривизны, то по формулам (3.4)π1= kn(R) = k cos ϑ += −k sin ϑ = −kg .(3.19)R2Итак, мы получили, что геодезическая кривизна линии (β) постоянна. Отсюда сразу следует выражение (3.18) для z(α, β).Пусть теперь z(α, β) определяется выражением (3.18). Тогда геодезическая кривизна линии (β)1defe1 (α, β) зависитпостоянна и равна kg = −A (α0 ). С другой стороны, вектор x = r(α, β) − A (α)только от α, что легко устанавливается дифференцированием по β.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
