Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Отметим, что солитонные решения являютсяспециальным предельным случаем конечнозонных, в терминах метода обратной задачи.Для вещественности и гладкости решения на риманову поверхность (другими словами, на полином P2g+1 (w)) и точки ветвления P, Q необходимо и достаточно наложить некоторые условия [9, 36]. Общий вид конечнозонного решения уравнения sin-Гордона в стандартной формезаписи (т.е.
zuv = sin z) приведен в работе Б. А. Дубровина и С. М. Натанзона [9].2.7.3. Двухзонные решения. Выпишем со всеми подробностями двухзонные решения [9], поскольку только в случае g = 2 удается записать z(u, v) без привлечения конкретных римановыхповерхностей. Это связано с тем, что любая 2 × 2-матрица Римана является матрицей периодовнекоторой римановой поверхности [7]. Введем дополнительные обозначения:' (1 a10;(0|2B),θ̂[a1 , a2 ] = θ02 a2' (1 a1∂20θ;(0|2B).θ̂ij [a1 , a2 ] =0∂xi ∂xj2 a2Наложим на матрицу B условие невырожденностиθ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0]1222 11θ̂11 [1, 0] θ̂12 [1, 0] θ̂22 [1, 0]D=θ̂11 [0, 1] θ̂12 [0, 1] θ̂22 [0, 1]θ̂11 [1, 1] θ̂12 [1, 1] θ̂22 [1, 1]θ̂[0, 0]θ̂[1, 0] = 0θ̂[0, 1]θ̂[1, 1]и одно из трех условий вещественности:1) B̄ = −B; в этом случае положим 3/41/4p=, q=00или 3/4p=,1/21/4q=;1/2УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ1 12) B̄ =− B и положим1 1p=1 13) B̄ =− B и положим1 2p=0,1/4 0,0271/2q=;1/4q=1/2.0(Здесь черта обозначает комплексное сопряжение.) Кроме этого, введем в рассмотрение числаθ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0]0 1222 11θ̂12 [1, 0] θ̂22 [1, 0] θ̂[1, 0] 0q11 = D−1 ,θ̂11 [0, 1] θ̂12 [0, 1] θ̂22 [0, 1]0 0θ̂12 [1, 1] θ̂22 [1, 1] θ̂[1, 1]θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0]0 1222 110θ̂22 [1, 0] θ̂[1, 0]θ̂ [1, 0]q12 = D−1 11,θ̂11 [0, 1] θ̂12 [0, 1] θ̂22 [0, 1]0 θ̂11 [1, 1]0θ̂22 [1, 1] θ̂[1, 1]θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0] θ̂ [0, 0]0 1222 110θ̂[1, 0]−1 θ̂11 [1, 0] θ̂12 [1, 0]q22 = D θ̂11 [0, 1] θ̂12 [0, 1] θ̂22 [0, 1]0 θ̂11 [1, 1] θ̂12 [1, 1]0θ̂[1, 1]и определим через эти числа векторы⎞⎛ 1i⎝2 − 4q q ⎠ ,a=q12 + q1211 2222q11⎞⎛ q11i⎝2 − 4q q ⎠ .b=q12 − q1211 2222q11В этих обозначениях справедлива следующая теорема [9].Теорема 2.5.
В случаях (1)–(3) функция'θ[0; p](ua + vb)z(u, v) = i lnθ[0; q](ua + vb)а в случае (3) еще и(2,(θ[0; q](ua − vb) 2z(u, v) = i lnθ(ua − vb)являются гладкими вещественными решениями уравнения sin-Гордона.'Частный случай двухзонного решения был найден И. В. Грибковым [5] при помощи преобразования Бэклунда.3.ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕПОВЕРХНОСТИСодержание этого раздела составляют общие сведения о псевдосферических поверхностях. Приводятся формулы Гаусса—Вейнгартена и Гаусса—Петерсона—Кодацци. Для поверхностей отрицательной кривизны формулируются уравнения Петерсона—Кодацци в римановых инвариантах.
Далее излагаются основные результаты и методы исследования псевдосферических поверхностей васимптотических и чебышевских координатах, в координатах линий кривизны и в изотермическихкоординатах. Рассмотрен частный случай псевдосферической поверхности, когда она является поверхностью Иоахимсталя. Излагается алгоритм преобразования Бэклунда для псевдосферических28А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙповерхностей. Обсуждается метод подвижного репера Картана в приложении к псевдосферическим поверхностям: доказывается формула Сима. Излагаются основные результаты, связанные склассическими псевдосферическими поверхностями.3.1. Основные уравнения теории поверхностей. Будем рассматривать поверхность S[r] в E3как область значений трижды непрерывно дифференцируемой вектор-функции r(u, v), аргументкоторой (u, v) принадлежит некоторой (связной) области U ⊆ R2 .
Переменные (u, v) при этомназываются (криволинейными) координатами на поверхности, семейства кривых u = const и v =const — координатными линиями, а совокупность координатных линий — координатной сетью.Первая и вторая квадратичные формы поверхности определяются какQ(u, v; du, dv) = dr2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2 ,B(u, v; du, dv) = −(dr, dn) = L(u, v)du2 + 2M (u, v)dudv + N (u, v)dv 2 ,причем первая из них положительно определена.Тройка векторов (ru , rv , n), взятая в точке M , в которой W (M ) = E(M )G(M ) − F 2 (M ) = 0, образует базис. Раскладывая по этому базису векторы ruu , ruu , rvv , nu , nv , получаем деривационныеформулы Гаусса—Вейнгартена⎞⎛⎛ ⎞Γ111Γ211L ⎛r ⎞ruuΓ212M ⎟ ⎝r ⎠ ,Γ112⎝rv ⎠ = ⎜⎠⎝vM F − LG LF − M En un0WW(3.1)⎛⎞⎛ ⎞1Γ212M ⎛r ⎞Γ12ruuΓ222N ⎟ ⎝r ⎠ ,Γ122⎝rv ⎠ = ⎜⎝⎠vNF − MG MF − NEn vn0WWгде Γkij — символы Кристоффеля:11Γ211 =(GEu + F Ev − 2F Fu ),(−EEv − F Fu + 2EGu ),2W2W11(GEv − F Gu ),(EGu − F Ev ),Γ212 =Γ112 =2W2W11(−GGu − F Fv + 2GEv ),(EGv + F Gu − 2F Fv ).Γ222 =Γ122 =2W2WУсловие согласования системы матричных уравнений (3.1) записывается в видеΓ111 =Uv − Vu = V U − U V,где U и V — матрицы из правой части соответственно первого и второго уравнения, а в скалярнойформе представляет собой систему уравнений Гаусса—Петерсона—Кодацци: ⎫⎧ 111⎬− Guu + Fuv − 1 Evv 1 Eu Fu − 1 Ev 0EG⎨vu22222 1 211− 2 EvK(u, v) = 2 Fv − 2 GuEFEF ⎭W ⎩1 1 Gu FFGG 2 Gv2LN − M 2— гауссова кривизна поверхности;EG − F 2E E u L 2W (Lv − Mu ) − (EN − 2F M + GL)(Ev − Fu ) + F Fu M = 0, G Gu N E E v L 2W (Mv − Nu ) − (EN − 2F M + GL)(Fv − Gu ) + F Fv M = 0 G Gv N (уравнение Гаусса), где K =(уравнения Петерсона—Кодацци).УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ29Рассмотрим кривую на поверхности.
Совокупность кривой и заданного на ней единичного вектора нормали поверхности n называется поверхностной полосой. Основной трехгранник поверхностной полосы задается ортонормированной тройкой векторов: касательным вектором l, векторомнормали поверхности n и вектором геодезической нормали m = [n, l]. Формулы Френе записываются в виде(3.2)l̇ = kg m + kn n, ṁ = −kg l + κg n, ṅ = −kn l − κg m.Здесь точка обозначает производную по естественному параметру кривой, штрих — по произвольному параметру. Коэффициенты этих разложенийkg =(r r n),|r |3kn =([r r ] r n),|r |4κg =(r nn )|r |2(3.3)называются соответственно геодезической кривизной, нормальной кривизной и геодезическимкручением поверхностной полосы. Отметим, что из данной точки поверхности в заданном направлении проходит равно одна линия (поверхностная полоса) с заданной геодезической кривизной.Обозначим через ϑ угол между нормалью поверхности и главной нормалью линии на поверхности.Ориентацию этого угла определим так, чтобы главная нормаль линии была равна n cos ϑ + m sin ϑ.Тогда(3.4)kg = k sin ϑ, kn = k cos ϑ, κg = κ + ϑ̇;кроме того, производная угла ϑ выражается через кривизны и их производные по формулеϑ̇ =k̇g kn − kg k̇n,kg2 + kn2(3.5)которая выводится из предыдущих.
См. также [2, 19, 21, 34, 38, 39, 49].Рассмотрим поверхность отрицательной гауссовой кривизны. Пусть K = −k 2 и E, F , G выбраны так, что уравнение Гаусса выполняется тождественно. Уравнения Петерсона—Кодацци удобноисследовать в так называемых римановых инвариантах. Впервые такая форма записи была предложена Б. Л. Рождественским [28] и Э. Г. Позняком[23]. Обозначим через l, m, n коэффициенты√второй квадратичной формы, разделенные на EF − G2 , и введем новые неизвестные функции поформуламm−km+k, s=−.r=−nnТогда уравнения Петерсона—Кодацци могут быть записаны в видеru + srv = A0 + A1 r + A2 s + A3 r2 + A4 rs + A5 r2 s,su + rsv = A0 + A1 s + A2 r + A3 s2 + A4 sr + A5 s2 r,гдеA0 = −Γ211 ,A1 = Γ111 − Γ212 ,A2 = −Γ212 ,A3 = Γ112 ,A4 = −Γ222 + Γ112 ,A5 = Γ122 .Исследование уравнений Петерсона—Кодацци в римановых инвариантах эффективно применялосьЭ.
Г. Позняком [23] и Е. В. Шикиным [37] в вопросах погружений двумерных метрик отрицательной кривизны в E3 .3.2. Асимптотические координаты и чебышевские сети.3.2.1. Асимптотические линии. На псевдосферической поверхности можно ввести асимптотические координаты; обозначим их (ũ, ṽ). В этих координатах коэффициенты первой и второй квадратичных форм связаны условиями L̃ = Ñ = 0, M̃ 2 = Ẽ G̃ − F̃ 2 и уравнениями Петерсона—Кодацци,которые в этом случае редуцируются к системеF̃ Ẽṽ − Ẽ G̃ũ = 0,G̃Ẽṽ − F̃ G̃ũ = 0,30А. Г.
ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙиз которой следует, что Ẽ = Ẽ(ũ) и G̃ = G̃(ṽ). Если ввести новые координаты по формуламũ u=Ẽ(ξ)dξ,0ũ v=G̃(η)dη,(3.6)0то первая квадратичная форма поверхности примет вид(3.7)где cos z(u, v) = F̃ / Ẽ G̃. Последнее определение корректно, поскольку F̃ 2 Ẽ G̃ в силу положительной определенности первой квадратичной формы. Координаты, в которых первая квадратичная форма имеет вид (3.7), называются чебышевскими. Чебышевская сеть характеризуется (иопределяется) тем свойством, что в любом сетевом четырехугольнике противоположные стороныравны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
