Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Получены [16] следующие асимптотическиеразложения для асимптотической линии регулярной поверхности Амслера в окрестности точкиu = 0:−1/2 0, v0 sin z0 , 1 u + v0 sin z0 , 0, 0 u2 + O(u3 ),r(u, v0 ) = r(0, v0 ) + v02 sin2 z0 + 1где z0 = z(0), и для асимптотической линии общей поверхности Амслера при u → +∞.
Там жеполучены асимптотические разложения для ребра возврата поверхности Амслера в окрестностипроизвольной точки u0 = 0:"#1 2 −3−2−3 1−1r(u, t∗ /u) = 1 + t∗ u0 , 0, 0 (u − u0 ) + −t∗ u0 , qt∗ u0 + qt∗ u0 , 0 (u − u0 )2 + O((u − u0 )3 )22и при u → +∞:#"1 2 2r(u, t∗ /u) = {0, 0, 1}u + qt∗ sin u, qt∗ cos u, − q t∗ − t∗ u−1 + O(u−2 ).2Разложения для асимптотической линии могут быть применены для построения поверхности Амслера в окрестности асимптотической линии. Одно из таких возможных построений — в окрестности прямолинейной образующей — проведено в цитируемой работе.Покажем, что радиус-вектор поверхности Амслера удовлетворяет некоторому гиперболическомууравнению.Лемма 3.1. Радиус-вектор поверхности Амслера r(u, v) удовлетворяет уравнениюtz (t)ruv − uru + vrv − (r − C) sin z(t) = 0,где C — некоторый постоянный вектор.(3.56)УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ49Доказательство.
Вычисляем:(zu n)v = zuv n + zu nv = zuv n +vzv nv .uИспользуя второе и третье уравнение в системе (3.9), имеемvvv1v11rvv + rv − rv = ru + rv − r .zuv n + zv nv = ruv + rvv = ruv +uuuuuuu vОбъединяем полученные выражения:v1(zu n)v = ru + rv − r ,uu vи интегрируем это уравнение по v:v1zu n = ru + rv − r + C(u),uuгде C(u) — произвольная функция от u.
Учитывая симметрию исходной системы относительнозамены u → v, получаем:tz (t)n = uru + vrv − r + C.Теперь осталось только воспользоваться вторым уравнением (3.9).Выбором положения начала координат можно добиться того, чтобы было C = 0. Полученноеуравнение исследуется методом разделения переменных следующим образом. Будем искать решение в виде ряда∞xk (t)uk ,r(u, v) =k=0предполагая, что он допускает двойное почленное дифференцирование. Тогда для xk (t) получимуравнениеk−1k−1k−1xk − 2z (t) xk +xk + z (t)xk = 0.z (t) xk +2t2t2tЭто уравнение исследовано [16] асимптотическими методами.Поскольку для уравнения (3.56) задача Коши на линии uv = t∗ однозначно разрешима, топоверхность Амслера может быть асимптотически построена [16] в окрестности ребра возврата.3.7.3.
Двухсолитонные поверхности. Рассмотрим классификацию [15] псевдосферических поверхностей, соответствующих двухсолитонным решениям уравнения sin-Гордона%$p + q epu+v/p − equ+v/q.(3.57)z(u, v; p, q) = 4 arctgp − q 1 + epu+v/p equ+v/qГеодезическая кривизна и кручение ребер возврата псевдосферических поверхности выражаютсячерез решение z(u, v) по формулам (3.13). В частном случае решения (3.57) на псевдосферическойповерхности имеется три ребра возврата: z = 0 и z = ±π. Удается представить геодезическуюкривизну (kg ) и кручение (κ) ребер как функции переменной x = pu + v/p и проанализироватьзнаки этих выражений.• Для ребра z = 0:2(p + q) 1pq − 1, κ=;kg =1 + pq ch xpq + 1• для ребер z = ±π:pq(p2 + 1)qsh x ∓sh x ∓sh x ±2qq2 − 1qpp(q 2 − 1);kg = ∓ 2,κ=q +1q2 + 1q(p2 − 1)q(p2 − 1)sh x ∓shx∓chxp(q 2 + 1)p(q 2 + 1)область определения переменной x находится из следующей таблицы:50А.
Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙгдеA>0A<0z=πsh x ∈ (B; +∞)sh x ∈ (−∞; B)z = −π sh x ∈ (−∞; −B) sh x ∈ (−B; +∞)2pqp+q, B=− 2.p−qp − q2В результате все поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям, подразделяются на8 классов. Предварительно отметим, что ребра z = ±π конгруэнтны и поверхность при u, v →±∞ асимптотически «стремится» к прямой, которую мы примем за ось Oζ декартовой системыкоординат Oξηζ.1. (|p|−1)(|q|−1) > 0, pq > 0. Ребро z = π содержит точку, в которой меняется знак кручения, идугу с точкой возврата (в которой кривизна и кручение бесконечны), расположенной междудвумя точками смены знака геодезической кривизны.
Ребро z = 0 представляет собой кривуюс постоянным кручением κ = 0 и ограниченной геодезической кривизной постоянного знака.2. (|p| − 1)(|q| − 1) 0, pq < 0. Ребро z = π представляет собой кривую с ограниченнойгеодезической кривизной постоянного знака и ограниченным кручением постоянного знака.Ребро z = 0 представляет собой кривую с постоянным кручением κ = 0 и ограниченнойгеодезической кривизной постоянного знака.2а. Значения параметров произвольны. Ребро z = 0 не является плоской кривой (κ = 0).2a1 . |p| = 1, |q| = 1. Ребро z = π асимптотически при s → ±∞ стремится к оси Oζ.2a2 . |p| = 1 или |q| = 1.
Ребро z = π асимптотически при s → +∞ стремится к окружности, лежащей в плоскости, параллельной координатной плоскости Oξη. При s → −∞оно стремится к оси Oζ.3. (|p|−1)(|q|−1) 0, pq > 0. Ребро z = π содержит дугу с точкой возврата (в которой кривизнаи кручение бесконечны), расположенной между двумя точками смены знака геодезическойкривизны.3а. pq = 1. Ребро z = 0 представляет собой кривую с постоянным κ = 0 и ограниченнойгеодезической кривизной постоянного знака.3a1 . |p| = 1, |q| = 1. Ребро z = π асимптотически при s → ±∞ стремится к оси Oζ.3a2 .
|p| = 1 или |q| = 1. Ребро z = π асимптотически при s → +∞ стремится к окружности, лежащей в плоскости, параллельной координатной плоскости Oξη. При s → −∞оно стремится к оси Oζ.3б. pq = 1. Ребро z = 0 представляет собой плоскую кривую с самопересечением, напоминающую декартов лист. Поверхность в этом случае является поверхностью Иоахимсталя(поверхность, образованная ортогональными траекториями однопараметрического семейства сфер, центры которых лежат на одной прямой — оси Oζ).4.
(|p| − 1)(|q| − 1) < 0, pq < 0. Ребро z = π содержит точку, в которой меняется знак кручения.Геодезическая кривизна ребра z = π ограничена и не меняет знак.4а. pq = −1. Ребро z = 0 представляет собой кривую с постоянным κ = 0 и ограниченнойkg > 0.4б. pq = −1. Ребро z = 0 вырождается в точку (острие). Поверхность в этом случае такжеявляется поверхностью Иоахимсталя.A=СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: Гос. науч.-техн. изд-во Украины,1939.2.
Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». —М.: Наука, 1973.3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.4. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948.5. Грибков И. В. Некоторые решения уравнения синус-Гордона, получаемые с помощью преобразованияБэклунда// Успехи мат. наук.
— 1978. — 33, № 2. — С. 191–192.6. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1. — М.: Мир, 1982.УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ517. Дубровин Б. А. Тета-функции и нелинейные уравнения// Успехи мат. наук. — 1981.
— 36, № 2. — С. 11–80.8. Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. — Ижевск, 2001.9. Дубровин Б. А., Натанзон С. М. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon// Функц.анал. прилож. — 1982. — 16, № 1. — С. 27–43.10. Ефимов Н. В. Поверхности с медленно изменяющейся отрицательной кривизной// Успехи мат. наук. —1966. — 21, № 5. — С.
3–58.11. Зададаев С. А. Решения типа бегущих волн уравнения sin-Гордона и псевдосферические поверхности//Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1994. — 2.12. Козел В. А., Котляров В. П. Конечнозонные решения уравнения sine-Gordon/ Препринт ФТИНТ АНУССР № 9-77. — Харьков, 1977.13. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983.14. Маевский Е.
В. Асимптотическое поведение решений одного квазилинейного уравнения второго порядка// Ж. вычисл. мат. мат. физ. — 1998. — 38, № 10. — С. 1654–1660.15. Маевский Е. В. Двухсолитонные решения уравнения sin-Гордона и связанные с ними псевдосферические поверхности// Вестн. МГУ.
Сер. физ., астрон. — 2002. — № 3.16. Маевский Е. В. О псевдосферической поверхности Амслера/ Деп. в ВИНИТИ 09.10.2002, № 1695В2002.17. Маевский Е. В. Асимптотика решений некоторых квазилинейных уравнений второго порядка/ Деп. вВИНИТИ 09.10.2002, № 1696-В2002.18. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях. — Новокузнецк, 1998.19. Норден А. П. Теория поверхностей.
— М.: Гостехиздат, 1956.20. Пелиновский Е. Н. Некоторые точные методы в теории нелинейных волн// Радиофизика — 1976. — 19,№ 5-6.21. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974.22. Позняк Э. Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений уравнения zxy = sin z// Диффер.уравн.
— 1979. — 15, № 7. — С. 1332–1336.23. Позняк Э. Г. О регулярной реализации в целом двумерных метрик отрицательной кривизны// Укр.геом. сб. — 1966. — 3. — С. 78–92.24. Позняк Э. Г. Геометрические исследования, связанные с уравнением sin-Гордона// Пробл. геом. — М.:ВИНИТИ, 1977. — 8. — С. 225–241.25. Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия уравнения sin-Гордона// Пробл. геом. — М.: ВИНИТИ, 1991. —23. — С. 99–130.26.
Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. — М.: МГУ, 1990.27. Попов А. Г. Полная геометрическая интерпретация односолитонного решения произвольной амплитудыуравнения sin-Гордона// Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. — 1990. — 5. — С. 3–8.28. Рождественский Б. Л. Система квазилинейных уравнений теории поверхностей// Докл. АН СССР. —1962. — 143. — С. 50–52.29. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны// Совр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
