Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Однако vX(l) = 0, т.е. вдоль вертикальных кривых длина вектораΦ постоянна (является интегралом вертикального распределения).Соотношения (2.2) на Vnr могут быть переписаны в эквивалентной форме:R(Z, Φ, X, Y ) = g(Y, Z)X(ρ) − g(X, Z)Y (ρ) + ρS(Z, X, Y ),(2.22)где R(Z, W, X, Y ) = g(R(X, Y )W, Z), S(Z, X, Y ) = g(S(X, Y ), Z). Полагая в (2.22) Z = Φ и учитывая косую симметрию тензора R по первым двум аргументам (в силу метричности ∇), мы находимg(Y, Φ)X(ρ) − g(X, Φ)Y (ρ) + ρS(Φ, X, Y ) = 0.(2.23)КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ59Эти уравнения, как легко видеть, в силу (1.17b), (1.20) для конциркулярного поля основного типаравносильны следующим трем соотношениям:hX(ρ) · φ(Y ) − hY (ρ) · φ(X) = 0,(2.24a)ρS(Φ, hX, vY ) = vY (ρ) · φ(X),(2.24b)S(Φ, vX, vY ) = 0.(2.24c)hX(ρ) = Kφ(X).(2.25)Из (2.24a) вытекает, что2.4.
Как известно, n-мерное псевдориманово пространство допускает максимальное число линейно независимых конциркулярных полей основного типа, равное n + 1, тогда и только тогда,когда является пространством постоянной кривизны. Отличные от пространств постоянной кривизны римановы пространства допускают не более n − 2 линейно независимых конциркулярныхполей основного типа [3]. Естественно возникает вопрос: имеет ли место подобная лакунарностьдля полуримановых пространств? Ответ на этот вопрос дают следующие утверждения.Теорема 2.3. Число линейно независимых конциркулярных полей основного типа на полуримановых пространствах, отличных от пространств, удовлетворяющих условиям (2.6), непревышает r − 1.Докажем сперва следующее утверждение.Лемма 2.1.
Пусть Φi и Ti(j) (= 0) — компоненты соответственно конциркулярного поля Φосновного типа и тензора T типа (p; q + 1) такого, что(k)Φi Ti(j) = 0(k)(2.26)в некоторой локальной системе координат на M . Тогда среди уравнений (2.26) и их дифференциальных продолжений содержится по крайней мере два линейно независимых.(k)Доказательство. Действительно, так как Ti(j) = 0, то из (2.26) следует, что хотя бы одна изкомпонент Φi выражается через остальные. Дифференцируя соотношения ковариантно в квазиoсвязности Q и учитывая (2.1), получаемoρTl(j) + Φi Ql Ti(j) = 0.(k)(k)Откуда следует, что ρ линейным образом выражается через Φi . И это доказывает нашу лемму.Перейдем теперь к доказательству теоремы 2.3.Доказательство.
Локальные выражения для соотношений (2.6) на равносильны следующей группе уравнений:11(2.27)Rtp hpj gki − hpt gji = 0;Rtijk +r−13Rtijk = 0,2(2.28a)Rtijk = 0;(2.28b)S ijk − sp vkp gji = 0,(2.29a)32S ijk = 0.(2.29b)Аналогично, условия интегрируемости уравнений (2.1b) могут быть представлены в форме:1Φt (Rtijk +1Rtp (hpj gki − hpt gji ) = 0;r−1(2.30)60И. Г. ШАНДРА331Φt (Rtijk − Rtp hpt gji ) + ρ(S ijk − sp vkp gji ) = 0,r2(2.31a)2Φt Rtijk − ρS ijk = 0.(2.31b)Предположим, что хотя бы одно из условий (2.27)–(2.29) не выполнено. Рассмотрим несколькослучаев.11Rtp (hpj gki − hpt gji ) = 0. В этом случае, как это следует из леммы 2.1, средиI. (Rtijk + r−1уравнений (2.30) и их дифференциальных продолжений содержатся по крайней мере два линейнонезависимых.22II. S ijk = 0.
Рассматривая локальную запись уравнений (2.23), имеющую вид Φt S tjk = 0, наосновании леммы 2.1 приходим к утверждению теоремы.22III. Rtijk = 0; S ijk = 0. B этом случае уравнения (2.31b) принимают вид2Φt Rtijk = 0.Применяя к этим уравнениям лемму 2.1, убеждаемся в справедливости нашей теоремы.33IV. Rtijk = 0; S ijk = 0. В этом случае из первого тождества Бианки нетрудно получить, что333Rtijk + Rjtik + Rijtk = 0.(2.32)Проальтернируем (2.31a) по i и j и учитывая (1.18b), получим33Φt (Rtijk − Rtjik ) = 0.Отсюда в силу (2.32) вытекает, что3Φt Rijtk = 0Далее также как и в предыдущих случаях, применяя лемму 2.1, приходим к утверждению теоремы.32V. И последний случай Rtijk = 0; S ijk = 0.
Этот случай невозможен, так как в силу теоремы 2.2такие пространства не допускают конциркулярных полей основного типа.3. CПЕЦИАЛЬНЫЕ3.1.ТИПЫ КОНЦИРКУЛЯРНЫХ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХНапомним следующие определения.Определение 3.1 (см. [2]). Векторное поле B на M называется инфинитезимальной симметрией распределения D, если [B, X] ∈ D для любого X ∈ D.Совокупность всех инфинитезимальных симметрий распределения D мы будем обозначать черезS(D). S(D) является R-алгеброй Ли относительно операции коммутирования [2].Если B ∈ D ∩ S(D), то B называется характеристической или тривиальной инфинитезимальной симметрией распределения D.Совокупность всех характеристических инфинитезимальных симметрий распределения D обозначают через Char(D).
Char(D) образуют идеал алгебры S(D) [2].Замечание 3.1. Векторное поле B на Arn является симметрией горизонтального распределенияH, т.е. удовлетворяет условиюv[B, hY ] = 0(3.1)тогда и только тогда, когда(3.2)vLB h = 0,где LB — производная Ли в направлении векторного поля B. Действительно, в справедливостиэтого утверждения легко убедиться, рассмотрев выражение для производной Ли проектора h:(LB h)(Y ) = v[B, hY ] − h[B, vY ].(3.3)КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ61Аналогично, для вертикального распределения V из (3.3) следует, что векторное поле B ∈ S(V)является симметрией, т.е.
удовлетворяет условиюh[B, vY ] = 0,(3.4)hLB h = 0.(3.5)тогда и только тогда, когдаОпределение 3.2. Мы будем говорить, что векторное поле B задает инфинитезимальное конформное преобразование на пространстве Vnr , еслиLB g = μ · g.(3.6)При этом случай μ = 0 соответствует нетривиальному инфинитезимальному конформному преобразованию, а случай μ = 0 — тривиальному инфинитезимальному конформному преобразованию(инфинитезимальной изометрии).Инфинитезимальное конформное преобразование B мы будем называть:(i) инфинитезимальным конформным движением пространства Vnr , еслиLB h = 0;(3.7)(ii) инфинитезимальным конформным SH-движением пространства Vnr , еслиvLB h = 0;(3.8)(iii) инфинитезимальным конформным SV -движением пространства Vnr , еслиhLB h = 0.(3.9)Определение 3.3. Конциркулярное векторное поле Φ на пространстве Vnr мы будем называть:(i) специальным, еслиhX(ρ) = Kf (X),(3.10a)hX(K) = 0;(3.10b)hX(ρ) = 0;(3.11)X(ρ) = 0;(3.12)vXhY (ln |ρ|) = v[vX, hY ](ln |ρ|);(3.13)hLΦ h = 0;(3.14)vLΦ h = 0;(3.15)LΦ h = 0;(3.16)(∇ρ)(v[hX, Φ]) = 0.(3.17)(ii) горизонтально сходящимся, если(iii) сходящимся, если(iv) L-конциркулярным, если(v) SV -конциркулярным, если(vi) SH-конциркулярным, если(vii) S-конциркулярным, если(viii) P -конциркулярным, еслиЗамечание 3.2.
Сходящиеся и специальное конциркулярные поля обобщают одноименные типыполей, изучавшиеся на псевдоримановых пространствах соответственно П. А. Широковым [11] иХ. Л. Фризом [15]. Остальные типы конциркулярных полей не имеют аналогов в регулярномслучае.62И. Г. ШАНДРАЗамечание 3.3. Соотношения (3.3) с учетом (1.3) и (1.6), могут быть преобразованы к виду:(LhX h)(Y ) = v[hX, hY ] + ∇vY hX + S(hX, vY ).(3.18)Из условий (3.9) на основании мы приходим к выводу, что конциркулярное векторное поле Φявляется SV -конциркулярным тогда и только тогда, когдаS(Φ, vY ) = 0.(3.19)Для SV -конциркулярного поля Φ основного типа эти условия в силу (2.24b) эквивалентны тому,чтоvX(ρ) = 0.(3.20)Замечание 3.4. Производная Ли метрики g в силу (1.3) и (1.6) задается следующим выражением:(3.21)(LhX g)(Y, Z) = g(∇hX Y, Z) + g(∇hX Z, Y ) + S(Z, hX, Y ) + S(Y, hX, Z).Из этих условий на основании (2.1a), (3.19) мы приходим к выводу, что для мы SV конциркулярного поля Φ справедливы соотношения(LhX g)(Y, Z) = 2ρ · g(Y, Z),говорящие о том, что SV -конциркулярные поля основного типа определяют на Vnr нетривиальныеконформные SV -движения, а исключительного типа — изометрические SV -движения.
Нетрудноубедиться в справедливости обратного утверждения: если конциркулярное поле определяет конформное преобразование на Vnr , то оно является SV -конциркулярным.Замечание 3.5. Соотношения (3.1), (3.20) в частности, показывают, что SH-конциркулярное иSV -конциркулярное поля являются P -конциркулярными. Из (3.11) на основании (2.25) вытекает,что(∇ρ)(v[hX, hY ]) = 0.(3.22)Это говорит о том, что сходящееся поле также является P -конциркулярным.3.2. Известно [15], что наличие двух и более линейно независимых конциркулярных полейна псевдоримановом пространстве приводит к тому, что любое конциркулярное поле на являетсяспециальным.
Покажем, что подобный факт имеет место и в сингулярном случае при некоторыхдополнительных ограничениях. Для этого докажем сперва несколько вспомогательных утверждений.Лемма 3.1. Конциркулярное векторное поле Φ основного типа, отличное от горизонтальносходящегося, является L-конциркулярным, тогда и только тогда, когдаρ2 = Kf,гдеvX(f ) = 0.а K — скалярная функция, участвующая в уравнениях (2.25).(3.23)(3.24)Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
