Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕСВЕДЕНИЯ1.1.Пусть M — гладкое n-мерное многообразие. Обозначим через f (M ) кольцо гладких функцийна M , через X(M ) — алгебру Ли гладких векторных полей на M , а через X, Y, Z, W — произвольные гладкие векторные поля на M .Определение 1.1. Пара операторов (h; ∇), где ∇ : X(M ) × X(M ) −→ X(M ) и h — аффинор наM , удовлетворяющие следующим условиям [13]:∇X (f Y + Z) = f ∇X Y + X(f ) · hY + ∇X Z,∇f X+Y Z = f ∇X Z + ∇Y Z,X, Y ∈ X(M ),f ∈ f (M ),(1.1a)(1.1b)называется линейной псевдосвязностью на M .Определение 1.2.
Пара операторов (h; Q), где Q : X(M ) × X(M ) → X(M ) и h — аффинор на M ,удовлетворяющих следующим условиям:QX (f Y + Z) = f QX Y + hX(f ) · Y + QX Z,Qf X+Y Z = f QX Z + QY Z,X, Y ∈ X(M ), f ∈ f (M ),(1.2a)(1.2b)называется линейной квазисвязностью на M .В случае h = id псевдосвязность (квазисвязность) является линейной связностью на M .Определение 1.3. ТензорыS(X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − h[X, Y ],(1.3)R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X X − ∇[X,Y ] Z,(1.4)Ric(X, Y ) = tr R(X, Y )(1.5)называются соответственно тензором кручения, тензором кривизны и тензором Риччи псевдосвязности (h; ∇).Определение 1.4 (см. [8, 9]).
Линейную псевдосвязность (h; ∇) будем называть почти идемпотентной, если h2 = h. В этом случае h мы будем называть горизонтальным проектором,а v = id −h — вертикальным. Почти идемпотентная псевдосвязность называется вполне идемпотентной, если(1.6)∇X Y = h∇X (hY ).КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ55Многообразие, на котором задана вполне идемпотентная псевдосвязность (h; ∇), rk h = r, мыбудем обозначать через Arn .Если на M существует вполне идемпотентная псевдосвязность, то на нем существует также иoквазисвязность Q, определяемая соотношениями [8]:oQX Y = ∇hX Y + v[hX, vY ].Тензор кручения и тензор кривизны вполне идемпотентной псевдосвязности удовлетворяют следующим условиям:vS(X, Y ) = 0,(1.7a)S(vX, vY ) = −h[vX, vY ],(1.7b)vR(X, Y )Z = R(X, Y )vZ = 0.(1.8)Пусть ωji — компоненты 1-формы (h; ∇) вполне идемпотентной псевдосвязности в репере {ei } наM . Тогда условия (1.3), (1.4), (1.7), (1.8) могут быть написаны в эквивалентной форме (называемойструктурными уравнениями вполне идемпотентной псевдосвязности):hit dω t = ω t ∧ ωti + Ωi ,hit dωjthit dhtj ==ωjtωji −∧ ωti +hit ωkt hkj(1.9)Ωij ,(1.10)+ Ωij ,(1.11)hit Ωt = Ωi ,hit Ωtj=Ωit htj=(1.12a)Ωij ,(1.12b) i ω j ∧ ω k — 2-форма кручения, Ωi = 1 Ri ω k ∧ ω l —где ω i — двойственный базис к {ei }, Ωi = 12 Sjkj2 jkl2-форма кривизны, индексы i, j, k, .
. . здесь и ниже (если это не оговорено особо) принимаютзначения от 1 до n.Внешнее дифференцирование условий (1.10)–(1.12) дает уравненияhit dΩt + ωti ∧ Ωt = Ωit ∧ ω this htj dΩst+ωsi∧Ωsj−ωjs∧Ωis= 0,(1.13)(1.14)называемые первым и вторым тождествами Бианки для вполне идемпотентной псевдосвязности.Определение 1.5 (см. [8]). Тензоры1R(X, Y )Z = R(hX, hY )Z,2R(X, Y )Z = R(vX, vY )Z,3R(X, Y )Z = R(hX, hY )Z,1S(X, Y ) = S(hX, hY )Z,2S(X, Y ) = S(vX, vY ),3S(X, Y ) = S(hX, hY ),(1.15a)(1.15b)(1.15c)(1.16a)(1.16b)(1.16c)будем называть соответственно первым, вторым, третьим тензорами кривизны и первым, вторым, третьим тензорами кручения псевдосвязности (h; ∇).56И. Г.
ШАНДРАОпределение 1.6. Пусть g и h — тензорные поля типа (0; 2) и (1; 1) соответственно на M . Пару(g, h) будем называть HR-структурой ранга r на M , если она удовлетворяет следующим условиям[8, 9]:h2 = h,(1.17a)g(hX, Y ) = g(X, Y ) = g(Y, X),(1.17b)rk h = rk g = r n.(1.17c)Многообразия, на которых задана HR-структура ранга r мы будем называть полуримановымипространствами и обозначать через Vnr .Для всякой HR-структуры (g; h) на M существует единственная вполне идемпотентная псевдосвязность (h; ∇), удовлетворяющая условиям [8]:∇X g = 0,(1.18a)g(S(X, hY ), Z) = g(S(X, hZ), Y ).(1.18b)Это псевдосвязность называется псевдосвязностью Леви-Чивиты и задается соотношениями [8]:2g(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + (hY )g(X, Z) − (hZ)g(X, Y )++ g([hY, X], Z) + g([hZ, X], Y ) − g(X, [hZ, hY ]).
(1.19)Для тензора кручения псевдосвязности Леви-Чивиты наряду с условиями (1.7) имеют местотакже условия [8]:2.2.1.S(hX, hY ) = 0,(1.20)2g(S(hX, vY ), Z) = −(vY )g(Y, Z) + g([vY, hX], Z) + g(X, [vY, hZ]).(1.21)КОНЦИРКУЛЯРНЫЕПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ВПОЛНЕ ИДЕМПОТЕНТНОЙ ПСЕВДОСВЯЗНОСТЬЮПусть (h; ∇) — вполне идемпотентная псевдосвязность на M .Определение 2.1. Векторное поле Φ на M называется конциркулярным, если удовлетворяетусловиямvΦ = 0,(2.1a)∇X Φ = ρ · hX(2.1b)при некотором скалярном поле ρ. Мы будем говорить, что конциркулярное поле относится к основному типу, если ρ = 0, и к исключительному типу в противном случае.Очевидно, что в случае h = id, мы приходим к классическому определению конциркулярноговекторного поля.Замечание 2.1.
Из определения следует, что ∇vX Φ = 0, т.е. что конциркулярное поле параллельно вдоль вертикальных кривых.Условия интегрируемости уравнений (2.1b) в силу (1.4) имеют вид:R(X, Y )Φ = X(ρ) · hY − Y (ρ) · hX + ρ · S(X, Y ).(2.2)Ric(Φ, X) = r · X(ρ) − hX(ρ) + ρ · s(X),(2.3)Отсюда следует, чтогде s(Y ) = tr SY , SY (X) = S(X, Y ).
Полагая в этих соотношениях X := hX, получаемRic(Φ, X) = (r − 1)hX(ρ) − ρ · s(hX).Таким образом, из (2.3), (2.4) вытекает, что 11 Ric(Φ, hX) + ρ · s(hX) −Ric(Φ, vX) + ρ · s(vX) .X(ρ) =(r − 1)r(2.4)(2.5)КОНЦИРКУЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОЛУРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ57Совокупность уравнений (2.1b), (2.5) носит замкнутый характер и, рассмотренная в локальныхкоординатах, представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений в форме Коши относительно неизвестных функций Φi и ρ.
Условия интегрируемости этих уравнений и ихдифференциальные продолжения, как нетрудно видеть, являются линейными однородными алгебраическими уравнениями. Линейное пространство решений уравнений (2.1), (2.5) будем обозначать через Con(Arn ). Из выше сказанного следует, что dim Con(Arn ) r + 1. Выясним, для какихпространств размерность Con(Arn ) принимает максимальное значение.Теорема 2.1.
Пространства Arn , удовлетворяющие условиямΠ(X, Y ) = M (Z, X, Y ) = 0,(2.6)и только они имеют размерность пространства конциркулярных векторных полей, равнуюr + 1, где1111Π(X, Y ) = S(X, Y ) −s(hX) − s(vX) hY +s(hY ) − s(vY ) hX,(2.7)(r − 1)r(r − 1)rM (Z, X, Y ) = R(X, Y )Z −1(Ric(hZ, hX)hY − Ric(hZ, hY )hX)+(r − 1)1+ (Ric(hZ, vX)hY − Ric(hZ, vY )hX). (2.8)rДоказательство. Пусть dim Con(Arn ) = r + 1, тогда система (2.1b), (2.5) вполне интегрируема.Условия интегрируемости уравнений (2.1b) на основании (2.2) и (2.5) имеют видρΠ(X, Y ) + M (Φ, X, Y ) = 0.(2.9)Принимая во внимание, что уравнения (2.9) выполняются тождественно относительно Φ и ρ,приходим к (2.6).Непосредственной проверкой нетрудно установить обратное, что выполнение условий (2.6) влечет за собой вполне интегрируемость уравнений.2.2.
Если теорема 2.1 устанавливает тензорный признак пространств, допускающих максимальное число линейно независимых конциркулярных полей основного типа, то теорема, которую мыдокажем ниже, выделяет классы пространств, не допускающих таких полей.Теорема 2.2. Пространства Arn , удовлетворяющие одному из шести нижеперечисленныхусловий, не допускают конциркулярных полей основного типа:Π(hX, hY ) = 0,(2.10a)M (Φ, hX, hY ) = 0;(2.10b)Π(hX, vY ) = 0,(2.11a)M (Φ, hX, vY ) = 0;(2.11b)Π(vX, vY ) = 0,(2.12a)M (Φ, vX, vY ) = 0;(2.12b)Π(hX, hY ) = 0,(2.13a)M (Φ, hX, hY ) = 0,(2.13b)(QW M )(Z, hX, hY ) = μ(W )M (Z, hX, hY );(2.13c)o58И. Г.
ШАНДРАΠ(hX, vY ) = 0,(2.14a)M (Φ, hX, vY ) = 0,(2.14b)(QW M )(Z, hX, vY ) = μ(W )M (Z, hX, vY );(2.14c)Π(vX, vY ) = 0,(2.15a)M (Φ, vX, vY ) = 0,(2.15b)(QW M )(Z, vX, vY ) = μ(W )M (Z, vX, vY ).(2.15c)ooДоказательство. Уравнения (2.9) могут быть переписаны в равносильной форме в виде следующих трех соотношений:ρΠ(hX, hY ) + M (Φ, hX, hY ) = 0,(2.16)ρΠ(hX, vY ) + M (Φ, hX, vY ) = 0,(2.17)ρΠ(vX, vY ) + M (Φ, vX, vY ) = 0.(2.18)I.
Пусть в пространстве Arn имеют место условия (2.10). Тогда из (2.16) следует, что ρ = 0. Аэто означает, что Arn не допускают конциркулярных полей основного типа. Аналогично доказывается на основании (2.17) (соответственно (2.18)) справедливость утверждение теоремы в случаевыполнения условий (2.11) или (2.12).II. Пусть имеют место условия (2.13), тогда (2.16) принимают вид(2.19)M (Φ, hX, hY ) = 0.oДифференцируя эти соотношения ковариантно в квазисвязности Q, находимo(QW M )(Φ, hX, hY ) + ρM (W, hX, hY ) = 0.(2.20)Из (2.20) вследствие (2.13c) и (2.19) получаем ρM (W, hX, hY ) = 0. Отсюда на основании (2.13b)получаем, что ρ = 0.
Подобным образом доказывается утверждение теоремы в случае выполненияусловий (2.14) или (2.15).2.3. Пусть Φ — конциркулярное векторное поле на полуримановом пространстве Vnr , φ(X) —сопряженное ему относительно g ковекторное поле (φ(X) = g(X, Φ)), ∇ — псевдосвязность ЛевиЧивиты, соответствующая HR-структуре (g; h).Замечание 2.2. Конциркулярное векторное поле основного типа Φ на полуримановом пространстве не изотропно. Действительно, пусть l = g(Φ, Φ), тогда из соотношений (2.1) вытекает, чтоX(l) = ρφ(X).(2.21)Следовательно, если l = const, то ρ = 0. А это противоречит тому, что Φ — конциркулярноевекторное поле основного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
