Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . , Φ. Такk+1как Φ, . . . , Φ являются SV -конциркулярными, то Φ на основании следствия 3.1 также являетсяSV -конциркулярным. Следовательно, в силу (3.19) имеют место соотношения3k+1S tij Φt = 0.68И. Г. ШАНДРАОтсюда в силу (4.27) вытекает, что3k+1k+1k+1S αβr+1 Φα = Γαβr+1 Φα = Φβ = 0,k+11α, β = k + 1, . .
. , r.kСледовательно, Φ является линейной комбинацией Φ, . . . , Φ, что противоречит нашему предположению. Значит, данное пространство допускает ровно k r − 1 линейно независимых конциркулярных полей основного типа. Этот факт показывает, что оценка, полученная в теореме 2.3для dim Con(Arn ), является точной. Данный пример особенно интересен тем,что, доказывает существование полуримановых пространств, допускающих r − 1 линейно независимых конциркулярныхполей основного типа, случае n = r, (т.е.
для псевдоримановых многообразий) таких пространствне существует [3].СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Аминова А. В. Группы преобразований римановых пространств// Итоги науки и техн. Пробл. геом. —М.: ВИНИТИ, 1990. — 22. — C. 97–165.2. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. Симметрии и законы сохранения математическойфизики. — М: Факториал, 1997.3. Микеш Й. Геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств// Итоги науки итехн. Современная математика и ее приложения.
Тематические обзоры. Геометрия–2. — М.: ВИНИТИ,1994. — 11.4. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. — М: Наука, 1979.5. Солодовников А. С. Пространства с общими геодезическим// Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. —1961. — 11. — С. 43–102.6.
Шандра И. Г. Горизонтально эквидистантные расслоенные пространства// Изв. вузов. Сер. мат. —1988. — 12. — С. 86–89.7. Шандра И. Г. Пространства V (K) и йордановы алгебры// В кн.: «Памяти Лобачевского посвящается»/Тр. геом. семин. — Казань: КГУ, 1992. — 1. — С. 99–104.8. Шандра И. Г. Обобщенные связности на многообразиях с вырожденной метрикой// Изв.
вузов. Сер.мат. — 1992. — 6. — С. 103–110.9. Шандра И. Г. О геометрии касательного расслоения над многообразием с псевдосвязностью и антикватернионных f -структурах// Изв. вузов. Сер. мат. — 1998. — 6. — С. 75–86.10. Шапиро Я. Л. Геодезические поля направлений и проективные системы путей// Мат. сб. — 1955. — 36(78). — С. 125–148.11. Широков П. А.
О сходящихся направлениях в римановых пространствах// Изв. Физ.-мат. о-ва (3). —Казань, 1934/35. — 7. — С. 77–88.12. Fialkow A. Conformals geodesics// Trans. Amer. Math. Soc. — 1939. — 45. — С. 443–473.13. Otsuki T. On general connections// Math. J. Okayama Univ. — 1960. — 9, № 2. — С. 99–164.14. Takeno H. Concircular scalar field in spherically symmetric space-times, I// Tensor.
— 1967. — 20, № 2, —С. 167–176.15. Vries H. L. Über Riemannische Räume, die infinitesimal konforme Transformationen gestaten// Math. Z. —1954. — 60, № 3. — С. 38–347.16. Yano K. Concircular geometry// Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1940. — 16. — С. 195–200.Современная математика и ее приложения.
Том 31 (2005). С. 69–147УДК 514.76ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИКc 2005 г.Н. К. СМОЛЕНЦЕВАННОТАЦИЯ. В данной работе рассматриваются пространства M римановых метрик на замкнутом многообразии M . В случае, если на многообразии M имеется симплектическая или контактная структуры,то рассматриваются пространства AM ассоциированных метрик. Изучаются геометрические и топологические вопросы этих пространств. Рассматриваются римановы функционалы на пространствахметрик.СОДЕРЖАНИЕПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Разложение Берже—Эбина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. ILH-многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Группа диффеоморфизмов D . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .2.2. Группа симплектических диффеоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . .3. Пространство римановых метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1. ILH-многообразие M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Разложение пространства M . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .3.3. Слабая риманова структура на M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Естественные слабые римановы структуры на пространстве метрик M3.4.1. Плоская структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2. Конформно плоская структура . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.3. Однородная структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.4. Общая каноническая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.5. Нериманова связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Сильная риманова структура на пространстве метрик M . . . . . . . .4. Теорема о срезе . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1. Орбиты действия группы диффеоморфизмов на M . . . . . . . . . . .4.2. Теорема о срезе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Конформно эквивалентные метрики . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .5.1. Поточечно конформные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Действие группы конформизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Случай двумерного многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Пространство римановых геометрий . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .7. Тензор Риччи и скалярная кривизна как функции метрики . . . . . . . . . . .8. Римановы функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Функционал полной скалярной кривизны A(g) = M s(g)dμ(g) . . . . .8.2. Функционал B(g) = M s(g)2 dμ(g) . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .8.3. Функционал D(g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4. Функционал DW (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5. Другие римановы функционалы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .9. Пространства ассоциированных римановых метрик . . . . . . . . . . . . . . .9.1. Пространства ассоциированных метрик и почти комплексных структур9.2. Параметризация пространств Aω и AM . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Комплексная структура пространства AM . . . .
. . . . . . . . . . . .9.4. Локальные выражения. Уравнение Бельтрами . . . . . . . . . . . . . .9.5. Кривизна пространства ассоциированных метрик . . . . . . . . . . . .c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2005ISSN 1512–1712 ..............................................................................................................................................................................................................................7070757778797980808282838383848585858790909293969910510610710710810911111111211411411570Н. К. СМОЛЕНЦЕВ9.6. Разложение пространства ассоциированных метрик . .
. . . . . . . . . . . . . . .9.7. Действие группы симплектических диффеоморфизмов на пространства ассоциированных метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.8. Пространство контактных ассоциированных метрик . . . . . . . . . . . . . . .
. .10. Римановы функционалы на пространстве ассоциированных метрик . . . . . . . . . . . .10.1. Функционалы на пространстве ассоциированных метрик симплектического многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Экстремальные кэлеровы метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3. Функционалы на многообразиях ассоциированных метрик контактного многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Пространства однородных римановых метрик . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .11.1. Общие определения и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Принцип симметричной критичности Р. Пале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Римановы функционалы на пространстве однородных метрик . . . . . . . . . . .11.4. Однородные ассоциированные метрики . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116118121123123125126128128131132135139ПРЕДИСЛОВИЕВ данной работе рассматриваются дифференциально-геометрические свойства пространства всехгладких римановых метрик на компактном многообразии M без границы. Рассматриваются также пространства ассоциированных метрик, т.е. метрик, согласованных с дополнительно заданнойсимплектической или контактной структурой на многообразии M . Эти пространства являются бесконечномерными нелинейными многообразиями.
Изучение бесконечномерных пространств, возникающих в дифференциальной геометрии началось во второй половине прошлого века. Первымиработами в этом направлении можно считать работы Иллса [91, 92], в которых исследовались пространства C k -отображений одного конечномерного многообразия M в другое — N и пространствасечений гладкого расслоения E. Важными частными случаями таких пространств служат группы диффеоморфизмов гладких многообразий и пространства тензорных полей на многообразии.
Сгеометрической точки зрения наиболее интересными являются пространство M всех римановыхметрик на M и пространство A почти комплексных структур на M . Основополагающей работой, посвященной изучению пространства M римановых метрик на компактном многообразии Mявляется работа Д. Эбина [93].Литература по различным аспектам пространств метрик обширна. Отметим значительный вкладв развитие этой теории М. Берже [54, 56], Х. Омори [198, 199], А. Фишера, Дж. Марсдена иА. Tромбы [106–115, 230, 231], Д. Блэра [57–63], Муто [186–190], Н. Коисо [161–163], Д. Фридаи Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
