Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 21
Текст из файла (страница 21)
[203]). Пусть π : E → M — гладкое конечномерное расслоение над M . Тогда пространство H s (E) сечений класса H s , s > n/2 имеет структуру гильбертова многообразия класса C ∞ . Касательное пространство Tϕ H s (E) к H s (E) в точке ϕ ∈ H s (E) можноохарактеризовать следующим образом:Tϕ H s (E) = {ξ ∈ H s (M, T E);ξ(x) ∈ Vϕ(x) = Ker dϕ(x) π}.Топологическая группа называется ILH-группой Ли, если она является C ∞ -ILH-многообразиеми групповые операции C ∞ -ILH-гладкие. Точнее:Определение 2.5 (см. [199]). Топологическая группа G называется сильной ILH-группой Ли,моделируемой на цепи {E, E s , s d 0}, если существует система {Gs , s d 0} топологических групп Gs , которая для любого s d удовлетворяет следующим условиям:(G1) Группа Gs есть гладкое гильбертово многообразие, моделируемое на E s .(G2) Gs+1 есть плотная подгруппа в Gs и вложение Gs+1 ⊂ Gs является класса C ∞ .(G3) G = ∩Gs с топологией обратного предела и со структурой группы как обратного пределагрупповых структур на Gs .(G4) Групповое умножение G × G → G, (g, h) → gh, можно продолжить до отображения Gs+l ×Gs → Gs класса C l .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК77(G5) Отображение G → G, g → g −1 , можно продолжить до отображения Gs+l → Gs класса C l .(G6) Для каждого g ∈ Gs правый сдвиг Rg : Gs → Gs является класса C ∞ .(G7) Пусть G s — касательное пространство к Gs в единице e ∈ Gs и T Gs — касательное расслоение.
Отображение dR : G s+l × Gs → T Gs определённое формулой dR(u, g) = dRg u естькласса C l .(G8) Существует открытая окрестность U нуля в G d и C ∞ -диффеоморфизм U на открытую единицы e ∈ Gd , ξ(0) = e, такой, что ограничение ξ на U ∩ G s есть C ∞ окрестность U ∩ Gs издиффеоморфизм открытого подмножества U ∩ G s из G s на открытое подмножество UsG для любого s d.Замечание.
Условие (G8) означает, грубо говоря, что координатная окрестность единицы вкаждой группе Gs можно выбрать не зависящую от s. Тогда, полагая G = ∩G s с топологией ∩ G есть гомеоморфизм и он задаёт на Gобратного предела, мы видим, что ξ : U ∩ G → Uструктуру группы Ли-Фреше.Пара (U, ξ) в условии (G8) называется ILH-координатами на G в окрестности единицы.Определение 2.6.
Топологическая группа G называется ILH-группой Ли, если существует система {Gs , s d 0}, удовлетворяющая условиям (G1)–(G7).В работах [198,199] Х. Омори показал, что группа D гладких диффеоморфизмов многообразия Mявляется сильной ILH-группой Ли. Д. Эбин и Дж. Марсден в работе [94] показали, что следующиегруппы являются ILH-группами Ли:1) Группа Dμ гладких диффеоморфизмов, оставляющих инвариантным элемент объёма μ намногообразии M .2) Группа Dω гладких диффеоморфизмов, оставляющих инвариантной симплектическую структуру ω на M .Х. Омори показал [199], что группы Dμ и Dω являются сильными ILH-подгруппами Ли группыD. Рассмотрим более подробно некоторые из групп диффеоморфизмов.2.1. Группа диффеоморфизмов D. Группа D гладких диффеоморфизмов компактного многообразия M является [198, 199] сильной ILH-группой Ли, моделируемой на {Γ(T M ), Γs (T M ); s dim M + 5}.
Напомним, что Γ(T M ) — это пространство Фреше гладких векторных полей иΓs (T M ) — гильбертово пространство векторных полей соболевского класса гладкости H s , s ∈ Z,s dim M + 5.Множество C 1 D, состоящее из C 1 -диффеоморфизмов многообразия M открыто в пространствеC 1 (M, M ) всех отображений класса C 1 многообразия M в себя и является очевидно топологической группой. Для s n2 + 1 положим Ds = H s (M, M ) ∩ C 1 D, где H s (M, M ) – гильбертовомногообразие всех отображений M в себя соболевского класса H s .
Структура гладкого гильбертова многообразия на пространстве H s (M, M ) определяется обычным образом (см. напр. [1, 94]).Множество Ds ⊂ H s (M, M ) открыто и является топологической группой. Топологическая группаD вместе с системой {Ds ; s n + 5} удовлетворяет [199] свойствам (G1)-(G8) и поэтому являетсясильной ILH-группой Ли. Координатное отображение в окрестности единицы e ∈ Ds определяетсяформулой (2.2).ξ(X)(x) = expx X(x),ξ : U s → Ds ,где U s — окрестность нуля в пространстве Γs (T M ), X ∈ U , x ∈ M и expx : Tx M → M — римановоэкспоненциальное отображение.
Таким образом, касательное пространство Te Ds в единице e ∈ Dsсостоит из всех H s -векторных полей на M , Te Ds = Γs (T M ). Касательное пространство Tη Ds к Dsв точке η ∈ Ds есть множество всех отображений X : M → T M класса H s и таких, что π ◦ X естьдиффеоморфизм η,(2.3)Tη Ds = {X : M → T M ; X класса H s , π ◦ X = η}.sss∞Для любого η ∈ D правый сдвиг Rη : D → D будет отображением класса C и если η ∈ Ds+l ,то левый сдвиг Lη : Ds → Ds — класса C l . При этом для дифференциалов dRη и dLη имеем:dRη : X → X ◦ η,dLη : X → dη ◦ X,(2.4)78Н.
К. СМОЛЕНЦЕВгде dη — дифференциал диффеоморфизма η : M → M . Правый сдвиг — гладкое отображение, поэтому можно говорить о правоинвариантных векторных полях на Ds . Левоинвариантные поляне могут быть определены на Ds , т.к. левый сдвиг Lη при η ∈ Ds недифференцируем. Правоинвариантное векторное поле в общем случае оказывается только непрерывным. В соответствии сосвойством (G7) отображение dR : Te Ds+l × Ds → T Ds , определённое формулой dR(X, η) = dRη (X)будет класса C l .
Поэтому, если X ∈ Γs+l (T M ) = Te Ds+l , то правоинвариантное векторное поле : Ds → T Ds ,XX(η)= X ◦ η, η ∈ Ds(2.5)C l,l 0.является класса Y — соответствующиеПусть X, Y ∈ Γs+l (T M ) — векторные поля класса H s+l на M , l 1, и X,s Y ]им правоинвариантные векторные поля на D . Тогда легко видеть из (2.5), что скобка Ли [X,sбудет правоинвариантным векторным полем на D , порождённым векторным полем на M , равнымскобке Ли [X, Y ] полей X, Y на M , т.е.
Y ](η) = dRη ([X, Y ]).[X,Из свойств G4 и G5 следует, что на группе D композиция и операция взятия обратного являютсяILH-гладкими и в этом смысле D есть ILH-группа Ли с алгеброй Ли Te D = Γ(T M ) гладкихвекторных полей на M . При этом, скобка Ли в Te D (скобка правоинвариантных векторных полейна D) совпадает со скобкой Ли в пространстве Γ(T M ) гладких векторных полей на M . Касательноерасслоение T D состоит из всех гладких отображений X : M → T M , таких, что композицияπ ◦ X есть диффеоморфизм многообразия M .
Проекция π : T D → D касательного расслоения T Dдействует следующим образом: π(X) = π ◦ X, где π — проекция касательного расслоения T M .Риманова структура g на M определяет слабую риманову структуру на Ds формулой: дляXη , Yη ∈ Tη Ds ,(Xη , Yη )η =gη(x) (Xη (x), Yη (x))η(x) dμg (x),(2.6)Mгде dμ — риманов элемент объёма на M . Поскольку Xη , Yη ∈ Tη Ds , то π ◦ X = η и π ◦ Y = η.Поэтому для любого x ∈ M векторы Xη (x) и Yη (x) лежат в касательном пространстве Tη(x) M искалярное произведение (2.6) определено корректно.Замечание. Термин "слабая"риманова структура объясняется тем, что скалярное произведение(2.6) определяет в каждом касательном пространстве Tη D более слабую топологию, чем имеющаяся.
Именно, (2.6) определяет L2 -топологию против имеющейся C ∞ -топологии. Эбин и Марсден [94]показали, что для данной слабой римановой структуры (2.6) на D существует риманова связность,экспоненциальное отображение которой ξ : T Ds → Ds определено соотношением ξ(X) = exp ◦X,где exp : T M → M — экспоненциальное отображение римановой связности ∇ на M .Ковариантная производная ∇ слабой римановой структуры (2.6) однозначно характеризуется Y — гладкие правоинвариантные векторные поля на Ds , тоследующим свойством: если X,(∇X Y )η = dRη ∇X(e)Y(e),(2.7)где X(e),Y (e) ∈ Te Ds = Γs (T M ) рассматриваются как векторные поля на M , ∇ – ковариантнаяпроизводная римановой связности на M [94].В работах [22, 23] показано, что группа D является подходящим конфигурационным пространством для гидромеханики идеальной баротропной жидкости.2.2.
Группа симплектических диффеоморфизмов. Пусть (M, ω) — симплектическое многообразие, т.е. ориентируемое чётномерное многообразие с заданной на нём замкнутой невырожденной кососимметрической 2-формой ω. Если dim M = 2m, то ω m нигде на M не обращается внуль и является поэтому элементом объёма на M . Форма ω определяет изоморфизм расслоенийi : T M → T ∗ M , i(V ) = −iV ω = ω(., V ).Преобразование η : M → M называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму ω, т.е.
если η ∗ ω = ω, где η ∗ — кодифференциал диффеоморфизма η. Пусть Dω –ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК79группа всех гладких симплектических диффеоморфизмов многообразия M . Эбин и Марсден [94]показали, что группа Dω является ILH-группой Ли. Омори доказал [199], что Dω есть замкнутаясильная ILH-подгруппа Ли группы D.Алгебра Ли группы Dω состоит из всех векторных полей инфинитизимально сохраняющих форму ω, т.е. из таких векторных полей X на M , что LX ω = 0, где LX = iX ◦d+d◦iX — производная Ли.Такие векторные поля называются локально гамильтоновыми. Их определяющее свойство состоитв том, что форма iX ω = ω(X, .) — замкнута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
