Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Действительно, LX w = iX (dω) + d(iX ω) = d(iX ω) = 0.Векторное поле X на M называется гамильтоновым, если форма −iX ω точная, т.е. являетсядифференциалом некоторой функции F на M , ω(·, X) = dF . Функция F называется гамильтонианом поля X и в этом случае векторное поле X обозначается XF . Множество гамильтоновыхвекторных полей на M образует алгебру Ли относительно скобки Ли векторных полей, при этом,[XF , XH ] = X{F,H} ,где {F, H} = ω(XF , XH ) — скобка Пуассона функций F и H на симплектическом многообразииM . Пусть H — алгебра гладких гамильтоновых векторных полей на M . Омори показал [199],что существует сильная ILH-подгруппа G группы Dω алгебра Ли которой есть H. Аналогичныйрезультат получен в работе [212].
Группу G будем называть группой точных гамильтоновыхпреобразований многообразия M .3. ПРОСТРАНСТВОРИМАНОВЫХ МЕТРИК3.1. ILH-многообразие M. Пусть M — пространство всех гладких римановых структур на многообразии M . Пространство M является открытым выпуклым положительным конусом в пространстве Фреше S2 всех гладких симметричных 2-форм на M .
Поэтому M является многообразиемФреше и для любого g ∈ M, касательное пространство Tg M естественно отождествляется спространством S2 .Определим пространство M как ILH-многообразие. Пусть S2s = H s (S2 M ) — гильбертово пространство симметричных 2-форм класса H s , s > n2 . Обозначим C 0 M — пространство непрерывныхримановых метрик. Для s > n2 пусть Ms = H s (S2 M )∩C 0 M. Поскольку H s ⊆ C 0 (S2 (M )) и вложение непрерывно, то Ms открыто в S2s = H s (S2 M ) и является открытым выпуклым положительнымконусом. В частности, пространство Ms является гладким гильбертовым многообразием.
Система{M, Ms } образует сильное ILH-многообразие.Группа диффеоморфизмов D естественным образом действует справа на пространстве метрикM,A : M × D −→ M,A(g, η) = η ∗ g,(3.1)η ∗ g(x)(X, Y ) = g(η(x)) (dη(X), dη(Y )) ,для любых векторных полей X, Y на M и любого x ∈ M .В работе [198] (лемма 2.5) показано, что действие (3.1) является ILH-гладким. В частности,оно продолжается до непрерывного отображения отображением гильбертовых многообразий A :Ms × Ds+1 → Ms , A(g, η) = η ∗ g. При фиксированном η ∈ Ds+1 отображение Aη : Ms →Ms , A(g, η) = η ∗ g продолжается на пространство S2s как линейное непрерывное отображение.
Сдругой стороны, если мы зафиксируем гладкую метрику g ∈ M то отображениеAg : Ds+1 −→ Ms ,Ag (η) = η ∗ g(3.2)является [93] гладким отображением гильбертовых многообразий. Образом отображения Ag является орбита Ogs метрики g под действием группы диффеоморфизмов. Дифференциал отображенияAg выражается через производную Ли LX g метрического тензора. Пусть ηt ∈ Ds+1 — однопараметрическая группа диффеоморфизмов с полем скоростей X ∈ Γs+1 (T M ).
Тогда, dAe (X) = (ηt∗ g)t=0 =LX g. Таким образом, касательное пространство к орбите Tg Ogs состоит из симметричных 2-формh вида h = LX g, где X ∈ Γs+1 (T M ). В работе [93] показано, что орбита является гладкимподмногообразием.80Н. К. СМОЛЕНЦЕВ3.2. Разложение пространства M. Пусть V ⊂ Γ(Λn M ) — пространство гладких элементов объема на M , т.е. пространство гладких невырожденных n-форм на M , задающих ориентацию, совпадающую с исходной ориентацией на M .
Если зафиксирован элемент объема μ0 ∈ V, то пространство V может быть отождествлено с пространством F+ положительных функций на M : для μ ∈ Vсуществует единственная положительная функция ρ(x), такая, что μ = ρμ0 . Поэтому касательноепространство Tμ V к V в точке μ отождествляется с пространством функций F. Отметим также,что пространство V очевидным образом является ILH-многообразием. Определена естественнаяпроекция(3.3)vol : M −→ V, g −→ μgкоторая каждой метрике g ∈ M ставит в соответствие риманов элемент объема μg =(det gij )1/2 dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Слоем расслоения vol над μ ∈ V является пространство Mμ метрикс одним и тем же элементом объема μ. Из теоремы 1.2 следует, что отображение vol : Ms → V sявляется гладким.
Дифференциал dg vol : Tg Ms → Tμg V s отображения vol : Ms → V s имеет видdg vol : S2s → H s (M, R),dg vol(h) =1tr H,2(3.4)где H = g −1 h = g ij hjk — эндоморфизм, соответствующий симметричной 2-форме h отностительнометрики g и tr — след эндоморфизма.Непосредственными вычислениями проверяется, что отображение vol : M → V эквивариантноотносительно действия группы D0 диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию M . А именно, длялюбого η ∈ D0 и любой метрики g ∈ M имеет место равенствоμη∗ g = η ∗ (μg ).(3.5)Расслоение vol : M −→ V тривиально, фиксация элемента объема μ ∈ V определяет разложениеM в прямое произведение: 2/nν(ν, h) →h,(3.6)ιμ : V × Mμ −→ M,μ μ 2/ng → μg ,g ,(3.7)ϕμ : M −→ V × Mμ ,μgгде положительная функция ρ =сечениеνμопределяется равенством ν = ρμ.
Метрика g ∈ M определяет 2/nνν→g.sμ : V −→ M,μПриведенные конструкции верны и в случае конечного класса гладкости.(3.8)3.3. Слабая риманова структура на M. Многообразие M обладает канонической слабой римановой структурой. Именно, если a, b ∈ Tg M = S2 — две гладкие симметричные 2-формы наM , представляющие элементы касательного пространства Tg M, то их скалярное произведениеопределяется формулойik jl(a, b)g = g(a, b)dμg = g g aij bkl dμg = tr(g −1 ag −1 b)dμg .(3.9)MMMДанная структура на M называется "слабой римановой" [93] потому, что скалярное произведениев касательном пространстве Tg M = S2 определяет топологию более слабую, чем имеющаяся C ∞ топология в пространстве S2 . Мы видим, что данная структура существенно зависит от g ∈ M.Подробное исследование многообразия M с канонической римановой структурой (3.9) проведенов работе Д.Эбина [93].Разложение Берже-ЭбинаTg (M) = S2 = αg (Γ(T M )) ⊕ S20ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК81определяет два распределения на M ортогональные относительно канонической слабой римановой структуры (3.9).
Первое распределение называется вертикальным и состоит из подпространств αg (Γ(T M )) касательных к орбите Dg. Второе, горизонтальное, распределение S20 = {h ∈S2 ; δg (h) = 0} ортогонально слоям проекции M → M/D. Вопрос о горизонтальных векторныхполях частично решается следующей теоремой [174] (см. также [206] для случая общей канонической структуры (3.19)).Теорема 3.1. Горизонтальное векторное поле на M, выражение которого содержит производные метрики g порядка не выше двух может быть представлено в виде:[n/2] 1kkck Ricg − Scalg ·g ,(3.10)g → c0 g +2kk=1гдеRickg∈ S2 — обобщенная кривизна Риччи,i1 ...i2kRi1 i2 i j2 Ri3 i4 j3 j4 .
. . Ri2k−1 i2k j2k−1 j2k ,(Rickg )ij = δjj2 ...j2k1 k [n/2],Scalkg = trg (Rickg ) — обобщенная скалярная кривизна и cl — константы.Доказательство основано на обобщенном тождестве Бьянки [174]:1δg Rickg = − d Scalkg .2kОчевидно, что слабая риманова структура (3.9) определена на каждом гильбертовом многообразии Ms при s > n/2.
Гладкая зависимость этой структуры от g ∈ Ms по существу вытекаетиз теоремы 1.2. Достаточно показать, что при фиксированных 2-формах a, b ∈ S2s отображениеMs → R, g → (a, b)g является гладким. Оно является композицией нескольких отображений. Вопервых, отображение vol : Ms → V s , g → μg является гладким. Аналогично, по теореме 1.2 прификсированных a, b ∈ S2s отображение Ms → H s (M, R), g → g(a, b)(x) = tr(g −1 ag −1 b)(x) является гладким. Теперь нужноприменить интегрирование M g(a, b)μg , которое является линейнойнепрерывной операцией : Γ(Λn M ) → R.Одним из наиболее важных свойств слабой римановой структуры (3.9) является ее инвариантность относительно действие группы диффеоморфизмов D.
Действительно, в локальных координатах на M действие группы D выражается матричной формулой (η ∗ g)(x) = (dηx )t · g(η(x)) · dηx .Тогда для подынтегрального выражения в (3.9) имеем,= tr(η ∗ g)(η ∗ (a), η ∗ (b))x dμη∗ g = tr((η ∗ g)−1 · η ∗ (a) · (η ∗ g)−1 · η ∗ (b))dμη∗ g =−1 −1 · (dηx )t · a · dηx · (dηx )t · g · dηx· (dηx )t · b · dηx η ∗ (dμg ) =(dηx )t · g · dηx= tr (dηx )−1 · g −1 (η(x)) · a(η(x)) · g −1 (η(x)) · b(η(x)) · dηx η ∗ (dμg ) == tr(g −1 (η(x)) · a(η(x)) · g −1 (η(x)) · b(η(x)))η ∗ (dμg ) = g(a, b)η(x) η ∗ (dμg ) = η ∗ (g(a, b)x dμg ).Теперь, используя полученное выражение и формулу замены переменной в интеграле, получаем∗∗∗(η (a), η (b))η∗ g = η (g(a, b)x dμg ) = g(a, b)dμg = (a, b)g .MMКак известно [10], если на гильбертовом многообразии задана гладкая риманова структура, тоей соответствует риманова связность.
Ковариантная производная находится по известной шестичленной формуле [7]. В нашем случае слабой римановой структуры на многообразии Ms существование римановой связности не вытекает из общей теории. Однако можно попытаться применитьшестичленную формулу для нахождения ковариантной производной. Пусть a, b, c ∈ S2s — постоянные (параллельные в S2s ) векторные поля на Ms . Тогда их скобки Ли равны нулю и шестичленнаяформула принимает вид:1(3.11)(∇a b, c)g = (a(b, c)g + b(c, a)g − c(a, b)g ).282Н.
К. СМОЛЕНЦЕВИз (3.11) пока следует, что ∇a b определена единственным образом как элемент пространстваH 0 (S2 (M )). Дальнейшие вычисления показывают, что на самом деле ∇a b ∈ S2s .Пусть A = g −1 a, B = g −1 b и C = g −1 c — эндоморфизмы, соответствующие 2-формам a, b, c ∈ S2s .Тогда из (3.9) следует(a, b)g =tr AB dμg .(3.12)MПусть gt = g + tc — кривая на Ms , выходящая в направлении c ∈ S2s . Тогда,1dc A = (gt−1 a)t=0 = −g −1 cg −1 a = −CA и dc μg = tr C μg .2Применяя последние формулы, легко находим выражение ковариантной производной ∇a b в точкеg ∈ Ms :11(3.13)∇a b = − (aB + bA) + (tr(A)b + tr(B)a − tr(AB)) g,24где aB = aik bkj .Таким образом, ковариантная производная ∇a b принадлежит пространству ∇a b ∈ S2s и онагладко зависит от метрики g ∈ Ms .
Следовательно, слабая риманова структура (3.9) определяетгладкую риманову связность ∇ на гильбертовом многообразии g ∈ Ms . Согласно общей теорииопределено экспоненциальное отображение Exp : Tg Ms = S2s → Ms .Геометрия пространства Ms изучалась в работе [116], см. также работу [124], которая посвященапространству метрик в случае некомпактного многообразия M .
Иные слабые римановы структурына M рассмотрены в работе автора [29].Геодезические на M найдены в работах [116, 124]. В следующей теореме используется разложение M = V × Mμ .Теорема 3.2 (см. [116]).1) Геодезические, выходящие из точки (μ, g) ∈ V × Mμ в направлении (β, b) ∈ Γ(Λn M ) × S2T имеют вид: rt122 2 2/narctanB ,(3.14)g expgt = q(t) + r trqгде S2T — пространство бесследовых симметричных2-форм на M , B = g −1 b, exp — опеβраторная экспонента, q(t) = 1 + 12 μ t, r = 14 n tr(B 2 ), если r = 0, то экспоненту нужнозаменить единицей. Изменение элемента объема определяется формулойμ(gt ) = q(t)2 + r2 t2 μ.2) Тензор кривизны имеет вид:1n 1tr(C) (tr(A)b − tr(B)a) +R(a, b)c = − g [[A, B], C] −tr(AC)bT − tr(BC)aT ,416161Tгде [A, B] = AB − BA и a = a − n tr(A)g — бесследовая часть тензора a.(3.15)Замечание.
Утверждения теоремы верны и для пространства Ms римановых метрик на Mсоболевского класса гладкости H s , s > n2 + 2.3.4. Естественные слабые римановы структуры на пространстве метрик M. В данном разделе мы рассмотрим ряд других естественных слабых римановых структур на M и получим дляних формулы ковариантной производной, тензора кривизны, секционных кривизн и геодезических.Все результаты справедливы как для пространства M, так и для Ms при s > n/2 + 1. Доказательства и вычисления можно найти в работах [29, 224].3.4.1.Плоская структура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
