Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия) (1075679), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Аналогично, для g существует число ε > 0 с такими же свойствами.Пусть K = maxV ∈T M {g (V, V )/g(V, V }. Выберем конечное множество точек {pi } на M , такое,что нормальные (относительно g) координатные окрестности с центрами в точках {pi } и радиусаменьше, чем δ = K −1/2 min(ε, ε ), покрывают все M . В каждой точке pi выберем ортонормированный базис {Vij } касательного пространства Tpi M .Пусть {qi } ⊂ M , {Wij } ⊂ T M и подпоследовательность {ζk } такие, что ζk (pi ) → qi и dζn (Vij ) →Wij для всех i, j. По лемме 2 векторы {Wij } образуют базис Tqi M .Мы утверждаем, что существует ζ ∈ C 1 , такой, что ζk → ζ в C1 .
j jгде j (aji )2 < δ. ПоРассмотрим окрестность Ui точки pi . Если q ∈ Ui , то q = expj ai Vij jj jjjj= expk ◦dζkэтому ζk (q) = ζk expj ai Vij ai Vi . Поскольку dζk (Vi ) → Wi , то {dζk (Vi )}ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК87представляет собой ограниченное множество.
По лемме4 expm → exp на ограниченных множеjjjj1.Пустьζ(q)→expaWaWствах относительно C -сходимости, тогда ζk (q) → expj i ij i i .Тогда ζk → ζ на Ui относительно C 1 -сходимости. Продолжим ζ на все многообразие M , определив его на каждом Ui .
Поскольку отображения ζk определены на всем M и при q ∈ Ui ∩ Uj ,ζk (q) → ζ(q), то ζ определено корректно и поскольку ζk → ζ на каждой окрестности Ui , то ζk → ζна M .На окрестности Ui имеем, ζ = exp ◦L ◦ exp−1pi , где exppi : Tpi M → M — экспоненциальноеj jотображение и L : Tpi M → Tqi M — линейное отображение, определенное формулой LaV=j i i j jjj−1j ai Wi . Поскольку g (Wi , Wi ) K, то L ◦ exppi (Ui ) содержится в окрестности нуля радиуса1 ε (относительно g ). Поэтому exp |L ◦ exp−1pi (Ui ) есть C -диффеоморфизм.
Следовательно, ζ|Ui1есть C -диффеоморфизм на окрестность ζ(pi ).Для того, чтобы показать, что ζ есть C 1 -диффеоморфизм нам нужно проверить взаимную однозначность. Поскольку ζ|Ui есть C 1 -диффеоморфизм, то ζ(M ) открыто в M . Но M компактно,поэтому ζ(M ) также замкнуто в M .
Поэтому ζ(M ) совпадает с M . Покажем инъективность ζ.Пусть ρ, ρk и ρ — расстояния на M , соответствующие римановым метрикам g, ζk∗ (g) и g соответственно. Пусть l — число Лебега покрытия {Ui } относительно ρ, т.е. если ρ(p, q) < l, то такиеточки лежат в одной окрестности Ui . Мы знаем, что ζ|Ui инъективно. Теперь рассмотрим точки p, q ∈ M , для которых ρ(p, q) l.
Тогда ρk (ζk (p), ζk (q)) l для всех k. Но ζk∗ (g) → g иζk (p) → ζ(p), ζk (q) → ζ(q). Поэтому ρ (ζ(p), ζ(q)) l и поэтому ζ(p) = ζ(q).Таким образом, ζ есть C 1 -диффеоморфизм. Поскольку ζk → ζ в C 1 D, то ζk∗ (g) → ζ ∗ (g) в C 0 M,поэтому ζ ∗ (g) = g .Доказательство оставшейся части основано на идеях Р.Пале. Мы уже показали, что если∗ (g) → g в Ms , то существует подпоследовательность {ζ } в {η } такая, что ζ → ζ в C 1 D иηmmkkζ ∗ (g) = g . Пусть εlkij = Γlkij − Γijl , (см. доказательство леммы 4). Поскольку ζk∗ (g) → g в Ms , тофункции εlkij → 0 в топологии H s−1 и, следовательно, в C 1 . Если мы представим ζk в локальныхкоординатах функциями fki (x1 , . .
. , xn ), а ζk — функциями f i (x1 , . . . , xn ), тогда i −1 j −1 2 l i −1 j −1 l∂fk∂fk∂fk∂fk∂fk∂ fklΓkij =Γtrs−,(4.3)∂xt∂xr∂xs∂xs ∂xr∂xr∂xsгде Γtrs соответствуют метрике g, а степень −1 обозначает обратную матрицу. Первое слагаемое C 0 сходится к (∂f l /∂xt )Γtrs (∂f i /∂xr )−1 (∂f j /∂xs )−1 . Поэтому второе слагаемое сходится к выражению i −1 j −1 l∂f∂f∂ftΓrs− Γijl .(4.4)∂xt∂xr∂xsПоэтому ∂ 2 fkl /∂xs ∂xr сходится в C 0 к (4.4), умноженному дважды на матрицу ∂f i /∂xr .
Этоозначает, что fk сходится в C 2 , тогда, в частности, ζ лежит в C 2 D. Тогда Γijl удовлетворяетформуле (4.3), где fk заменено на f .Теперь предположим. что ζk → ζ в Dt при t s. Тогда, поскольку εlkij → 0 в топологии H s−1 и∂fki /∂xr → ∂f i /∂xr в H t−1 и в C 0 , то из (4.3) следует, что ∂ 2 fkl /∂xs ∂xr → ∂ 2 f l /∂xs ∂xr в H t−1 .Поэтому fk → f в топологии в H t+1 . Тогда по индукции мы получаем, что ζk → ζ в Ds+1 иg = ζ ∗ (g) ∈ φg (Ds+1 /Ig ), что означает, что замкнутость орбиты.Для доказательства теоремы осталось показать, что Ig ηm → Ig ζ в Ds+1 /Ig .
Предположим обратное, тогда существует окрестность U класса Ig ζ и подпоследовательность {ηn } последовательности {ηm } такая, что {ηn } ∩ U = ∅. Так же, как и выше, мы можем найти подпоследовательность{ζl } ⊆ {ηn } такую, что ζl → ζ в Ds+1 и (ζ )∗ (g) = g . Поэтому Ig ζ = Ig ζ и для больших l, Ig ζl ∈ U .Это противоречие завершает доказательство.4.2. Теорема о срезе. Инфинитизимальный вариант теремы о срезе дает разложение БержеЭбина(4.5)S2s = αg (Γs+1 (T M )) ⊕ S20,s ,88Н.
К. СМОЛЕНЦЕВгде S20,s = Ker δg = {a ∈ S2s ; δg a = 0}, поскольку оно дает разложение пространства Tg Ms = S2s наподпространство αg (Γs+1 (T M )) касательное к орбите Ogs и ортогональное ему подпространство.Теорема 4.3 (О срезе. Д.
Эбин, [93]). Пусть s > n2 + 2. Для каждой метрики g ∈ M существует гладкое подмногообразие Sgs ⊂ Ms содержащее g, такое, что1) если η ∈ Ig , то η ∗ (Sgs ) = Sgs ,2) если η ∈ Ds+1 и η ∗ (Sgs ) ∩ Sgs = ∅, то η ∈ Ig ,3) Существует окрестность U s+1 класса смежности [e] ∈ Ds+1 /Ig и локальное сечениеχ : Ds+1 /Ig −→ Ds+1 определенное в окрестности U s+1 , такое, что отображениеF : U s+1 × Sgs −→ Ms ,F (h, u) = (χ(u))∗ h,sесть гомеоморфизм на окрестность V элемента g ∈(4.6)Ms .Доказательство. Пусть Ag и φg — определенные ранее отображения и Ogs — орбита элемента g.Для Ogs определим нормальное расслоение N s = N s (Ogs ) в пространствT Ms обычным образом.Орбита Ogs является гладким подмногообразием в Ms , а Ms имеет гладкую слабую римановуструктуру, поэтому положимN s = {A ∈ T (Ms )|Ogs | (A, B) = 0, ∀B ∈ T (Ogs )}.Поскольку N s есть нормальное расслоение относительно слабой римановой структуры, то автоматически не следует, что N s является гладким подрасслоением в T (Ms )|Ogs .
Чтобы доказать гладкость, мы должны построить гладкий сюръективный морфизм векторных расслоенийP : T (Ms )|Ogs → T (Ogs ) ядром которого является N s .Из разложения Берже-Эбина следует, что слой Ngs в точке g ∈ Ms есть ядро дифференциальногооператора δg : S2s → Γs−1 (T M ). Пусть αg (X) = 12 LX g — сопряженный оператор.Определим Pg на слое Tg Ms = S9s в любой точке g ∈ Ms как операторPg = αg · (δg αg )−1 · δg ,где δg αg рассматривается как отображение из δg αg (Γs+3 (T M )) ⊂ Γs+1 (T M ) в пространствоδg αg (Γs+1 (T M )) ⊂ Γs−1 (T M ). Оператор δg αg является эллиптическим и самосопряженным, поэтому он является изоморфизмом указанных пространств. Поскольку δg (S2s ) = δg αg (Γs+1 (T M )),то композиция αg · (δg αg )−1 · δg имеет смысл.Таким образом, мы получили морфизмP : T Ms → T Msядром которого в каждой точке g ∈ Ms является подпространство Ker δg .По следствиям 7.4 и 7.5 к теореме 7.2 из § 7 операторы δg и αg гладко зависят от метрикиg ∈ Ms .Операция взятия обcатного отображения на группе изоморфизмов любого банахова пространства является гладкой, поэтому (δg αg )−1 также гладко зависит от метрики g.
Поэтому морфизмP является гладким. Ограничение морфизма P на гладкое подмногообразие Ogs yакже являетсягладким. Поэтому и нормальное расслоение N s = N s (Ogs ) является гладким.Приступим к построению среза. Для этого рассмотрим экспоненциальное отображение exp :T (Ms ) → Ms слабой римановой структуры на Ms . Тогда exp |N s есть диффеоморфизм окрестности нулевого сечения N s на окрестность Ogs в Ms . Следовательно существует сколь угодно малаяокрестность U в Ogs элемента g с сечением χ : U → Ds+1 расслоения Ds+1 → Ds+1 /Ig = Ogs и скольугодно малая окрестность V нуля в Ngs такая, что если W = {η ∗ h ; h ∈ V и η ∈ χ(U )} ⊆ N s , тоexp |W есть диффеоморфизм на окрестность g в Ls .В качестве окрестности V удобно взять шаровую окрестность относительно сильного скалярноепроизведение (, )g,s на S2s . V = Ngs,ε = {h ∈ Tg Ms ; h ∈ Ngs и (h, h)g,s < ε2 }.
Поскольку группа Igдействует как группа ортогональных преобразований пространства S9s , (, )g,s , то выбранная окрестность V инвариантна относительно действия Ig . Возьмем U и V достаточно малыми, так, чтобывыполнялось exp(A) ∩ Ogs = U .ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК89Теперь пусть ρs есть метрика, определенная на Ms сильной H s римановой структурой. ПустьBgr есть шар с центром g и радиуса r относительно расстояния ρs . Тогда для некоторого положительного δ, exp(W ) ⊇ Bg2δ . Возьмем U1 ⊆ U и ε1 < ε (которое определяет V1 ⊆ V ) так что еслиW5 = {η ∗ (h) ; h ∈ V1 , η ∈ χ(U1 )}, то exp(W1 ) ⊆ Bgδ .Пусть S = exp(V7 ).
Покажем, что данное множество S обладает свойствами среза.Доказательство (1). Пусть η ∈ Ig Тогда если a ∈ S и a = exp(h), h ∈ V1 то η ∗ (a) = η ∗ exp(h) =exp(η ∗ (h)). Элемент η ∗ (h) лежит в V1 , поскольку η ∗ : Ng → Ng и η ∗ сохраняет и слабое и сильноескалярные произведения. Поэтому η ∗ (a) = exp(η ∗ (h)) ∈ SДоказательство (2). Предположим, что существуют η ∈ Ds+1 и g1 , g2 ∈ S такие, что η ∗ (g1 ) = g2 .Поскольку ρs (g, g2 ) < δ и ρs (η ∗ g, η ∗ g0 ) = ρs (g, g2 ) < δ, то ρs (g, η ∗ g) < 2δ.
Тогда η ∗ g ∈ exp(W ) иη ∗ ∈ U . Следовательно, если g1 = exp(h1 ) и g2 = exp(h2 ), то exp(h7 ) = exp(η ∗ h6 ) и h2 , η ∗ h1 ∈ W .Из инъективности exp |W следует, что h2 = η ∗ h1 . Тогда, поскольку h1 , h2 ∈ Ngs,ε , то η ∗ g = g илиη ∈ Ug .Доказательство (3). Пусть χ и U такие, как выше. Пусть W2 = {η ∗ h ; h ∈ V6 , η ∈ χ(U )}. Тогдапоскольку exp |W2 есть диффеоморфизм на окрестность элемента g, то отобmажение F : U × S →Ms , F (u, a) = A(χ(u), a) является очевидно непрерывной биекцией на exp(W2 ).Для b ∈ exp(W2 ),F −1 (b) = π exp−1 (b), A (χ ◦ π ◦ exp−1 (b))−1 , bгде π : N → Ogs — проекция нормального расслоения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
